基于約束最小二乘法的剪切型框架結構損傷識別新方法

羅 鈞， 劉 綱,2， 黃宗明,2

(1.重慶大學 土木工程學院，重慶 400045; 2.山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045)

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基于約束最小二乘法的剪切型框架結構損傷識別新方法

羅 鈞1， 劉 綱1,2， 黃宗明1,2

(1.重慶大學 土木工程學院，重慶 400045; 2.山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045)

針對現有基于模態驅動的損傷識別方法在定位和定量方面的不足，提出了一種適用于剪切型框架結構的損傷識別算法。根據結構動力學特征方程，推導了剪切型結構的單元損傷系數方程，建立起單元損傷系數與損傷前后結構模態參數之間的關系；根據剪切型結構的單元損傷系數方程和約束線性最小二乘法，提出了一種適用于剪切型框架結構的損傷識別新指標，可以利用較少的模態階次直接進行損傷的定位和定量識別。最后利用一個6自由度數值模型和試驗室3層框架試驗驗證算法的有效性。

損傷識別；模態參數；單元損傷系數；約束線性最小二乘法；剪切型框架

結構在長期動力荷載作用下將產生損傷，結構的可靠性隨之降低[1]，及時對結構的安全狀態進行識別直接關系著人民的生命財產安全，具有十分重要的意義。目前，土木結構的安全狀態識別主要采用定期檢測和健康監測兩種手段，后者結合數據采集、數據傳輸和損傷識別等方法，對結構運行狀態進行實時監測，近年來得到了廣泛應用。

基于振動的損傷識別方法以其諸多優勢得到業界的廣泛認可。目前此類研究方法大致可分為基于數據驅動的方法和基于模態驅動的方法，前者大多直接利用結構的響應數據建立數學模型，進而提取損傷指標進行損傷的定位定量判斷，在實驗室結構中得到了初步應用[2-3]，但數學模型階次的確定仍然受諸多因素的影響，具有一定的不確定性，常對損傷識別帶來不利的影響；后者具有較明確的物理意義，結合工作模態分析方法(如隨機子空間法等)可實現環境激勵下的損傷識別。

損傷識別主要致力于解決四個層次的問題，即判定結構有無損傷、損傷部位、損傷程度和剩余壽命[4]。目前基于模態驅動的方法可以實現前三個層次的問題。如文獻[5]利用單元模態應變能的小波系數差進行簡支梁和斜拉橋的損傷識別研究，數值模擬和模型試驗研究表明小波變換系數的變化可以識別出結構的損傷位置；文獻[6]首先利用改進的損傷變量法進行損傷定位，然后將前幾階模態振型擴充為實用完備模態空間，結合改進的單元剛度折減系數法進行損傷定量，并利用連續梁、桁架和框架結構數值算例驗證了該方法的有效性。

然而上述研究需要建立精準的基準有限元模型，這在實際工程中常常無法實現，因此直接利用損傷前后模態信息進行損傷識別成為較為實用的方法。如文獻[7]利用振型曲率指標對高層建筑的損傷識別問題進行研究，結果表明振型曲率對損傷較為敏感，但在階數較高時可能出現非損傷位置變化最大的情況；文獻[8]利用模態柔度曲率差作為損傷指標識別框架結構的損傷，數值模擬結果表明該方法可以對損傷進行定位。雖然上述方法在數值模擬或實驗室結構上實現損傷的定位和定量，但仍存在諸多不足，如振型曲率法高階模態誤判嚴重、柔度曲率法選取的階次數目無明確標準、損傷變量法缺少基準有限元模型時無法實現損傷程度的定量識別。

針對以上不足，本文首先基于結構動力學特征方程，推導了剪切型結構各單元損傷系數方程，建立了單元損傷系數與結構損傷前后結構各階模態參數之間的關系；其次基于單元損傷系數方程和約束線性最小二乘法，提出了一種適用于剪切型框架結構的損傷識別新指標，可以利用結構損傷前后任意兩階模態參數進行損傷的定位和定量識別，避免了基準有限元模型的建立。最后利用一個6自由度數值模型和試驗室3層框架試驗驗證算法的有效性。

1 剪切型框架結構的單元損傷系數方程

框架結構在日常工作狀態下，主要的激勵源是風荷載、地脈動和人群走動等，這些激勵力均較小，僅能引起框架結構的微幅振動，故可近似將非線性框架等效為線性結構進行單元損傷系數方程的建立。

1.1 剪切型結構的特征方程

考慮一個n自由度的剪切型結構體系，如圖1所示。質量塊間以彈簧和阻尼裝置連接，各彈簧剛度系數為ki，各阻尼裝置阻尼系數為ci，各質量塊質量為mi。則該剪切型結構體系的動力學特征方程為：

(1)

式中，φr為結構體系第r階模態振型向量；ωr為第r階模態的無阻尼圓頻率；剛度矩陣[K]和質量矩陣[M]可表示為：

(2)

圖1 剪切型結構體系Fig.1 Shear model system

1.2 剪切型結構的單元損傷系數方程

將式(2)代入式(1)后展開，有：

為便于公式推導，分別以上標u、d表示結構體系處于健康狀態和未知狀態。令vru=(ωru)2,代入式(3)可得：

以剪切型結構彈簧剛度降低來模擬結構的損傷，即kid=(1-ai)ki，并將各單元的損傷狀態采用損傷系數向量a={a1,a2,…,an}表示。設損傷前后結構的質量不變，令vsd=(ωsd)2,代入式(3)可得：

(5)

將式(4)中的三個等式分別對應代入式(5)的三個等式中，可得：

(1) 當自由度i=1時：

(6a)

(2) 當自由度i=2至n-1時：

(6b)

(3) 當自由度i=n時：

(6c)

式(6)建立的單元損傷系數方程中，健康狀態第r階模態參數和損傷狀態第s階模態參數可以通過測試得到，除單元損傷系數值外，健康狀態下相鄰單元剪切剛度比值亦為未知量。但注意到，健康狀態下第r階和第q階的模態振型均滿足式(4)，分別將兩階模態振型代入式(4)，并消去質量項，可得：

將上式進行化簡，可得：

(7)

將式(7)代入式(6),整理化簡后有：

(i=2,3,…,n-1)

(8)

式中：

式(8)給出了剪切型結構的單元損傷系數方程。根據該公式可知，僅需得到健康狀態下任兩階r,q的自振頻率、模態振型，以及損傷狀態下的任一階s的自振頻率和模態振型，構成一個模態階次組{r,p,s}，則可利用線性方程求解算法得出單元損傷系數值，從而識別出結構的損傷部位和絕對損傷程度。

2 剪切型框架結構的損傷識別新指標

2.1 基于約束最小二乘的損傷識別新指標

對于一個n自由度的剪切型框架結構,健康狀態和損傷狀態下測試得到的模態階次常常是一致的，若測試得到健康狀態和損傷狀態下兩個模態階次的數據，記為r1、r2、s1、s2，可組合為四個模態階次組：

(9)

對式(9)中的任一個模態階次組，按式(8)可建立n個方程，四個模態階次組可建立4n個方程，此時的未知量為n個單元損傷系數，則方程數總是大于未知量個數，利用線性最小二乘法可以求解出各單元損傷系數。

考慮到單元損傷系數總是介于0和1之間的，為保證線性最小二乘方法計算結果的合理性，本文采用約束線性最小二乘法進行求解。

當單元未損傷時，該單元的單元損傷系數為0。當單元完全損傷時，該單元的單元損傷系數為1。然而由于測試噪聲和計算誤差的干擾，辨識的單元損傷系數可能大于1。故本文將約束最小二乘法的上限設置為2以檢驗算法是否收斂到真值。

2.2 損傷識別步驟

本文建立起剪切型框架結構的損傷部位和絕對損傷程度的方法，同時考慮可能存在的測試噪聲的影響，本文的識別步驟如下：

(1) 對健康狀態下的結構進行多次測試，并將得到的加速度數據分為兩部分，一部分為基準狀態，另一部分為參考狀態；

(2) 利用基準狀態下的加速度數據進行模態分析，得到結構體系在基準狀態下的各階模態參數；

(3) 利用參考狀態下的加速度數據進行模態分析，得到結構體系在參考狀態下的各階模態參數；

(4) 對未知狀態下的結構進行多次測試，并進行模態分析，得到結構體系在未知狀態下的各階模態參數；

(5) 利用基準狀態和參考狀態下的任意兩階模態參數，按2.1節的方法建立單元損傷系數線性方程組，并采用約束線性最小二乘法求解得到參考狀態下的單元損傷系數向量{ar}；

(6) 利用基準狀態和未知狀態下的任意兩階模態參數，按2.1節的方法建立單元損傷系數線性方程組，并采用約束線性最小二乘法得到未知狀態下的單元損傷系數向量{ad}；

(7) 在測試誤差和計算誤差的影響下，不同測試數據集得到的單元損傷系數向量是波動的，然而參考狀態和未知狀態下損傷系數向量的均值差可以反映兩種狀態的平均分離程度，故本文分別計算參考狀態和未知狀態下的單元損傷系數向量的均值向量{amr}和{amd}，并將其差值作為最終的單元損傷系數向量{a}，即：

a=amd-amr

(10)

3 數值模擬算例

3.1 模型算例及損傷工況

如圖2所示6自由度集中質點模型驗證所提算法的性能。ki={1 500,1 000,1 500,1 000,1 500,1 000}，mi=1(i=1,2,…,6)；采用瑞雷阻尼假定，即[C]=α[M] +β[K]，α=0.308 09，β=7.5×10-4。損傷工況如表1所示。

圖2 6自由度測試結構Fig.2 Six degree of freedom system

工況12345損傷部位k2k2k5k5k2k5損傷程度5%10%5%10%10%10%

3.2 有噪聲情況下的損傷識別結果

實際工程中，頻率和振型的測量常常利用加速度信號進行模態分析得到。為了更貼近實際情況，本文采用在加速度信號中添加白噪聲的方式來考慮噪聲的影響，并考慮不同噪聲水平，噪聲幅值與信號幅值比NSA分別取0.05、0.1、0.15。

加速度響應信號的采樣頻率為100 Hz。采用數據驅動隨機子空間法[9]分別計算結構健康狀態和損傷狀態的模態參數。分別選取參考狀態、健康狀態和未知狀態的100個數據段進行計算，每個數據段長度為50 000個點。

從前述理論推導可見，任意選取兩個階次的模態參數，按2.2節所示步驟均可實現損傷的定位和定量。考慮到實際測試中低階模態更容易被準確識別，選取第1階和第2階模態參數的識別結果如表2至表4所示。從表2至表4的識別結果可以看出，本文方法可以正確識別結構的損傷部位和損傷程度。

表2 識別的損傷位置和損傷程度(NSA=0.05)

表3 識別的損傷位置和損傷程度(NSA=0.10)

表4 識別的損傷位置和損傷程度(NSA=0.15)

3.3 不完備測點布置的影響

從前面的分析可知，對于剪切型框架結構而言，需要測試各樓層的水平加速度響應。若由于客觀條件限制，無法實現各樓層全部測試時，則可將相鄰兩個或幾個樓層視為1個等效樓層進行測試。若等效樓層中某一層或某幾層發生損傷，本文方法仍可以將損傷定位至等效樓層范圍，所計算得到的損傷程度亦為等效樓層的等效損傷程度。

若算例中僅3個加速度傳感器，不失一般性地，可以將傳感器按圖3方式進行布置，得到等效樓層模型，損傷識別結果如表5所示，準確實現了損傷部位的識別。當然也可以按另外方式組合，如單元3和單元4組合在一起，限于篇幅，此處不再贅述。

圖3 加速度傳感器數量不足時的等效模型Fig.3 Equivalent modal with lack of the accelerometers

等效單元號①②③工況1a0.0200.0000.000工況2a0.0410.0000.000工況3a0.0000.0000.013工況4a0.0000.0000.029工況5a0.0400.0000.034

4 試驗室框架試驗

4.1 試驗概況

采用寬65 mm，厚4 mm，長為350 mm的鋼板組成框架的梁和柱，并通過節點板和螺栓進行連接，框架的外觀如圖4所示。每個節點板共安裝4顆螺栓，2顆與柱相連，2顆與梁或剛性基座相連。試驗中通過更換標準破壞件來模擬損傷，標準破壞件如圖4所示，從左至右依次切割20%，30%，40%的寬度，切割長度為210 mm。沿側柱布置4個加速度傳感器，從下到上依次編號為1～4，如圖4所示。試驗結構的激振力來自于激振器，通過增加底層剛度的方式將其作為上部三層鋼框架的嵌固端。此時作為本文考察對象的三層鋼框架結構承受來自嵌固端的穩態激勵。加速度響應的采樣頻率為250 Hz，為了削弱外部激勵特性、測試噪聲和計算誤差對識別結果的影響，將各結構狀態的測試數據劃分為64個數據段進行計算，每個數據段長度為27 500個點。具體的損傷工況設置如表6所示。健康狀態下第1個數據段中傳感器4的時域波形如圖5所示。

4.2 損傷識別結果

采用確定性隨機子空間法[10]識別該三層結構的各階模態參數，識別的健康狀態下第1個數據段的穩定圖如圖6所示。本試驗激勵形式下僅識別出第2階和第3階模態參數，故本文采用第2、3階模態參數進行損傷定位和定量識別，識別結果如表7所示。

圖4 三層框架模型和標準破壞件Fig.4 3-story steel frame and standard damage element

圖5 健康狀態下第1個數據段中傳感器4的時域波形Fig.5 The acceleration response of the sensor 4 from the first dataset with the heath state

損傷位置損傷狀態工況11層兩根柱替換為20%切割的標準破壞件工況21層兩根柱替換為30%切割的標準破壞件工況31層兩根柱替換為40%切割的標準破壞件工況41層兩根柱替換為40%切割的標準破壞件2層兩根柱替換為20%切割的標準破壞件工況51層兩根柱替換為40%切割的標準破壞件2層兩根柱替換為30%切割的標準破壞件

從表7的識別結果可見，本文方法可以準確識別出結構損傷的位置和損傷程度。然而識別的損傷程度與真實值并不完全相同，原因在于加速度測試過程中存在著的噪聲干擾、試驗設備測試精度、計算誤差和層側移剛度降低值測試裝置的系統誤差。

4.3 構件損傷范圍對側向剛度的影響分析

由于試驗中梁柱構件的連接采用螺栓連接，準確計算層剛度的降低值較為困難。為大致了解構件切割損傷引起的層剛度降低值，本文采用圖7所示裝置測試損傷前后層剛度的降低值。首先在健康狀態的層節點處施加一個水平節點力，并利用千分表測量1層節點的靜態位移wu，然后將柱構件替換為標準損壞件，并測量損傷情況下相同水平力作用時第1層節點的靜態位移wd，最后利用式(11)計算層側移剛度的降低比例α：

(11)

為了減少測試誤差的影響，對各種結構狀態，采用多次測量平均的方法得到最終的節點位移值，測試的各狀態下節點位移值和層剛度降低比例見表7中真實值。值得注意的是，為避免非線性的影響，水平節點力不應過大，故本文將節點靜態位移控制在0.5 mm以內。

圖6 識別的健康狀態下第1個數據段的穩定圖Fig.6 The stabilization diagram for the first dataset with the health state

1層a真實值2層a真實值3層a真實值工況10.130.100.010.000.000.00工況20.180.180.020.000.000.00工況30.230.210.020.000.000.00工況40.210.210.120.100.000.00工況50.220.210.180.180.000.00

注：表中真實值為第4.3節方法測試得到。

圖7 層側移剛度降低比例測試裝置Fig.7 The test equipment for testing the lateral stiffness reduction ratio

數值算例和試驗分析的識別結果可以看出，提出方法可以準確識別框架結構的損傷部位和絕對損傷程度。地震等突發事件發生后，大面積的框架結構將發生一定程度的損傷，由于使用功能和裝飾功能的要求使得目視等檢測手段的應用受到限制，且裂縫形狀通常為不規則形狀，較難進行準確測量，使得絕對損傷程度難以通過常規方法準確獲取，而本文可以為突發事件發生后框架結構的快速檢測提供有效手段。

其次，相對于基于模態柔度曲率的損傷識別方法而言，本文方法采用任意兩階模態參數，且可以進行損傷絕對量的識別；相對于基于單元損傷變量法和模態靈敏度法的損傷識別方法而言，提出方法無需知道結構的質量和剛度參數信息，具有較好的普適性。

5 結 論

本文基于結構動力學特征方程和約束線性最小二乘法，提出了一種適用于剪切型框架結構的損傷識別算法。首先推導出剪切型結構的單元損傷系數方程，建立起單元損傷系數與損傷前后結構模態參數之間的關系；然后利用約束線性最小二乘法和任意兩個階次的模態參數對建立的單元損傷系數方程進行求解，得到單元損傷系數向量，實現剪切型框架結構的損傷定位和定量。理論推導、6自由度數值模擬和試驗室3層框架試驗表明：

(1) 本文方法無需知道結構的質量和剛度參數信息，具有較好的普適性。

(2) 本文方法可以進行絕對損傷程度的識別，為結構剩余承載力或使用壽命的評估提供依據。

(3) 除對模態階次數量的選取有要求外，本文方法對損傷前后的模態階次選取無其余要求。在理論上，本文方法在監測初期僅需測試任意兩階模態，在損傷狀態未知情況下僅需測試一階模態，且無需與監測初期測試的模態相匹配，具有較好的實用性。

(4) 本文提出的損傷識別算法能較為準確識別剪切型框架結構的損傷部位和損傷程度，且具有較好的抗噪性。

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Damage detection for a shear frame structure based on the constrained least squares method

LUO Jun1， LIU Gang1,2， HUANG Zongming1,2

(1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;2. The Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area of the Ministry of Education, Chongqing University, Chongqing 400045, China)

In view of the existing damage detection methods in identifying the damage location and degree of the insufficiency, which are modal driven, this article proposed a new damage detection approach that allows for the damage localization and quantitative identification in a shear frame structure. Based on the structural dynamic characteristic equation, the damage coefficient equation of the shear structure was deduced, and then the relationship between the damage coefficient and the structural modal parameters before and after damage was established. Based on the damage coefficient equation and constraint linear least squares method, this work proposed a new damage identification index for shear frame structure, which allows for the damage localization and quantitative identification in a shear frame structure using a small modal parameters. Finally a simulated model and a lab-scale frame structure were conducted to verify the algorithm.

damage identification; modal parameter; element damage coefficient; constrained linear least square method; shear frame structure

中央高校理工跨學科重點項目(CDJZR14205501)

2015-06-18 修改稿收到日期：2015-10-05

羅鈞 男，博士生，1986年5月生

黃宗明 男，教授，博士生導師，1957年5月生

E-mail:zmhuang@cqu.edu.cn

TU279.7+44

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.019