平行軸齒輪傳動系統動力學建模的有限單元法

常樂浩, 賀朝霞, 劉 更

(1.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064;2.西北工業大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072)

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平行軸齒輪傳動系統動力學建模的有限單元法

常樂浩1, 賀朝霞1, 劉 更2

(1.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064;2.西北工業大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072)

為了能獲取更為準確的軸承響應以預測齒輪箱體噪聲，提出了適用于平行軸外嚙合圓柱齒輪-軸-軸承-箱體系統動力學建模的有限單元法。該方法將連續分布的齒輪系統離散為軸段單元、嚙合單元和軸承-基礎單元，通過建立模塊化的單元運動方程，根據單元連接關系生成矩陣組裝規則，實現系統整體動力學模型的自動建立。模型中考慮了軸段剪切效應的影響，推導了齒輪副在不同旋向和轉向時的彎-扭-軸-擺全自由度耦合振動方程，提出了箱體柔性對轉子系統振動耦合作用的計入方法。以一對單級斜齒輪傳動為例，通過與已有實驗數據的對比驗證了此方法的有效性。結果表明，采用有限元法計算齒輪副和軸承響應比常規集中質量法具有更高的求解精度。利用此方法編寫了規范化程序，為工程中處理多級復雜平行軸齒輪系統的振動和噪聲問題提供了有效手段。

有限元法；齒輪；軸承；耦合振動；嚙合剛度

齒輪裝置的振動和噪聲問題一直是機械行業研究的焦點之一。目前國內外已有許多學者對齒輪系統振動進行了大量的研究，其中應用最廣泛的模型為齒輪嚙合副動力學模型[1-3]。這類模型側重于分析齒輪副的響應，一般將齒輪、軸和軸承視為一體，以簡單的彎曲和扭轉剛度代替彈性軸段之間的復雜耦合作用。由于未對軸段和軸承進行單獨建模，這類模型在求解齒輪嚙合動載荷時具有一定精度，但卻無法準確計算軸系和軸承的響應。而另一方面，軸承振動與箱體振動之間也存在著相互牽制，對箱體自鳴噪聲產生影響[4]。因此，建立齒輪-軸-軸承-箱體系統的耦合動力學模型來獲取更為準確的軸承響應，對更好地預測系統的振動噪聲具有重要意義。

NERIYA等[5]較早地將有限元理論引入齒輪轉子系統動力學的研究中，將彈性軸等效為離散的剛度和質量矩陣，建立了包含定值嚙合剛度的線性模型。?ZGüVEN等[6-7]在此基礎上建立了齒輪-軸-軸承系統的動力學模型來研究齒輪和軸承處的響應。KUBUR等[8]建立了具有N根軸N-1個嚙合副的齒輪系統動力學模型，發現軸段長度對軸承動載荷有很大影響。蔣慶磊等[9]和崔亞輝等[10]分別建立了單級和和兩級分支-匯流齒輪系統的有限元動力學模型。陳小安等[11]建立了單級斜齒輪-軸承-轉子的三維有限元模型，通過動態接觸分析計算了系統的非線性動力學響應，但這種方法計算時間較長，難以推廣應用于復雜齒輪系統。ZHU等[12]基于子結構法，建立了考慮箱體支撐影響的行星齒輪系統動力學模型。上述研究在不同程度上給出了齒輪副和轉子耦合振動的動態特性，但對多平行軸復雜齒輪-轉子-箱體系統的通用動力學建模方法缺乏總結性的研究。

本文借鑒有限元法原理，提出了一種適用于多平行軸外嚙合圓柱齒輪-軸-軸承-箱體系統的耦合動力學通用建模方法，給出了規范化的建模過程。該模型考慮了軸段彈性、嚙合剛度、齒輪誤差和箱體柔性等因素的影響。利用此方法能夠方便地實現不同傳動級數、不同齒輪類型和不同構型齒輪傳動系統動力學模型的自動建立，可有效減少重復建模并提高分析效率。

1 齒輪系統有限元模型劃分

實際齒輪裝置是一個質量連續分布的彈性系統，具有無窮多個自由度。典型的齒輪轉子系統通常由齒輪、彈性軸段和軸承三類部件組成。首先沿軸線把轉子系統按三類部件離散為一系列節點并組成不同類型單元，通過各單元受力分析建立單元運動方程。然后利用有限元法的思想將各單元矩陣進行組裝，可得到以各節點位移為廣義坐標的系統整體運動方程。這樣一個連續分布齒輪系統的振動問題，就可以化為有限個自由度系統的振動問題。

圖1為齒輪轉子系統離散節點示意圖。這些節點主要包含以下幾種類型：

圖1 單根齒輪轉子的離散化Fig.1 Division of single gear rotor

(1) 軸節點：通常選取在軸的端點、軸截面尺寸有突變處、齒輪齒寬端點處、功率輸入和輸出點；

(2) 齒輪節點：選取在齒輪齒寬中點處；

(3) 軸承節點：選取在軸承寬度中點處。

齒輪節點和軸承節點可以認為是特殊的軸節點。

將各軸分別進行節點離散，并按照軸的順序依次記錄節點位置和編號。根據各節點間的物理連接關系形成系統有限元模型。圖2為某單級齒輪轉子系統的有限元模型。其中包含的單元類型有三種：

(1) 軸段單元：位于同一根軸上兩相鄰節點形成的單元。由圖2可知，軸段單元有軸節點-軸節點、軸節點-齒輪節點和軸節點-軸承節點三種組合形式。

(2) 嚙合單元：一對齒輪副中兩嚙合齒輪節點之間形成的單元。

(3) 軸承-基礎單元：軸承節點與基礎之間形成的單元。

嚙合單元、軸承-基礎單元分別在齒輪節點和軸承節點與軸段單元實現物理連接和受力耦合。

圖2 單級齒輪轉子系統有限單元模型Fig.2 Finite element model of a single-stage gear-rotor system

按照以上規則劃分時，軸節點個數較少，僅能保證基本運算需要，在實際處理時可根據計算時間和計算精度需求，適當增加軸段節點數，劃分更為詳細的軸段單元。

2 各單元動力學模型

2.1 軸段單元

圖3為一彈性軸段單元示意圖，其受力狀態可借助于空間梁單元理論進行分析。工程中最常用的經典梁單元是Euler-Bernoulli梁單元，由于忽略了剪切變形的作用，僅適用于軸段直徑d遠小于寬度B時。而實際齒輪系統中有許多軸段寬徑比(B/d)較小，剪切變形不能忽略，采用經典Euler梁單元勢必造成較大誤差。剪切變形的計入可采用Timoshenko梁單元相關理論。

圖3 軸段單元坐標系定義Fig.3 Coordinate system of shaft element

假設軸段兩節點的廣義坐標為qs={x1,y1,z1,θx1,θy1,θz1,x2,y2,z2,θx2,θy2,θz2}，其中：xi,yi,zi(i=1,2)分別為節點i沿局部坐標方向的位移，θxi,θyi,θzi(i=1, 2)分別為節點i處截面繞3個坐標軸的轉角。利用彈性力學相關理論，可得到該軸段單元對應的Timoshenko梁單元12×12階的單元剛度矩陣Ks和一致質量矩陣Ms。由于篇幅限制，各矩陣的詳細形式可參見文獻[13]。軸段單元的阻尼矩陣Cs可用工程中常用的Rayleigh阻尼計算得到：

Cs=α0Ms+α1Ks

(1)

式中:α0、α1是Rayleigh阻尼比例系數。

軸段單元的運動微分方程為：

(2)

2.2 嚙合單元

圓柱齒輪分為直齒輪、斜齒輪和人字齒輪三種類型。由于直齒輪可以看作螺旋角為0的斜齒輪，而人字齒輪副可以看作是兩個螺旋線方向相反的斜齒輪組成，為了不失一般性，此處以一對斜齒輪副為例分析嚙合單元的受力情況。

圖4為主動輪左旋且逆時針旋轉時斜齒輪副全自由度動力學模型。將圖4中各齒輪振動位移向嚙合線方向投影，可得到齒輪副之間沿嚙合線的相對總變形為：

δ=Vqm-em

(3)

式中，qm={xp,yp,zp,θxp,θyp,θzp,xg,yg,zg,θxg,θyg,θzg}T，表示嚙合單元節點的位移列向量；em為齒輪副法向綜合嚙合誤差；V為各方向位移向嚙合線方向轉化的投影向量，可用下式表示：

V=[cosβbsinφ,±cosβbcosφ,?sinβb,

rpsinβbsinφ,±rpsinβbcosφ,±rpcosβb,

-cosβbsinφ,?cosβbcosφ,±sinβb,

rgsinβbsinφ,±rgsinβbcosφ,±rgcosβb]

(4)

式中:rp，rg分別為主、從動輪的基圓半徑；βb為基圓螺旋角，規定各齒輪右旋時取正值，左旋時取負值；φ定義為端面嚙合線與y軸正向的夾角。

圖4 斜齒輪副全自由度動力學模型Fig.4 Fully coupled dynamic model of a helical gear pair

由于嚙合面的方向隨著主動輪的轉向變化而改變，所以會導致式(4)各元素前的正負號產生變化，其中上半部分對應于主動輪逆時針旋轉時，下半部分對應于主動輪順時針旋轉時。主動輪轉向變化同時會影響夾角φ的取值：

φ=α?φ

(5)

式中:α為齒輪副嚙合角，φ為主動輪至從動輪中心連線矢量與坐標系x軸的夾角，即安裝相位角。

根據牛頓第二定律，可得該嚙合單元的運動微分方程為：

(6)

式中:mi(i=p, g)為主、從動齒輪質量；Ixi,Iyi,Izi(i=p, g)分別為主、從動輪繞x,y,z軸的轉動慣量；km為法向綜合嚙合剛度；cm為嚙合阻尼，可用式(7)計算：

(7)

將式(3)代入式(6)，并整理成矩陣形式可得嚙合單元的運動微分方程組：

(8)

將式(8)移項后可得嚙合單元運動方程矩陣形式：

(9)

式中，Fe為嚙合單元內部由誤差產生的激振力向量。

通過研究式(3)和式(6)，可得式(9)中各矩陣及向量的簡便計算形式為：

Km=kmVTV

(10)

Cm=cmVTV

(11)

Mm=diag{mp,mp,mp,Ixp,Iyp,Izp,

mg,mg,mg,Ixg,Iyg,Izg}

(12)

(13)

2.3 軸承-基礎單元

根據箱體的剛性情況，軸承-基礎單元分為以下兩種類型：

(1) 箱體剛性較大時

此時軸承-基礎單元可認為是軸承節點直接通過軸承剛度與基礎直接連接在一起，如圖5所示。

圖5 箱體剛性較大時軸承-基礎單元動力學模型Fig.5 Dynamic model of bearing-base element with rigid housing

實際工作中軸承在各自由度位移之間均存在著耦合關系，通用軸承剛度矩陣Kb可用式(14)表示。由于多數耦合項較小，在計算時可僅保留主要剛度項。如當軸承為滾動軸承時，常僅保留kxx,kyy,kzz三項，其中kxx,kyy均為徑向剛度，kzz為軸向剛度；當軸承為滑動軸承時，常僅保留kxx,kxy,kyx,kyy四項，該四項為滑動軸承的剛度系數。軸承單元的阻尼矩陣Cb結構形式與剛度矩陣Kb相同。

(14)

若此軸承對應軸節點的編號為si，則軸承-基礎單元的運動微分方程為：

(15)

式中，qsi為軸節點si在6個方向的位移列向量。

(2) 箱體剛性較差時

此時需要考慮箱體柔性對齒輪轉子系統響應的耦合作用，將軸承-基礎單元由兩部分組成，即軸承-箱體單元和箱體-基礎單元，如圖6所示。軸承-箱體單元中軸承節點與箱體節點通過軸承剛度相連，如圖6(a)所示。箱體-基礎單元為包含多個箱體等效節點的超單元，其剛度矩陣可通過子結構法獲得。圖6(b)給出的為包含四個軸承的箱體單元示意圖。為了能與整體動力學模型中的軸承節點相匹配，在箱體有限元模型中各軸承中心處分別建立一節點，如圖7所示。將這些節點分別與相應軸承座圓環面上的節點之間通過剛性梁單元建立變形耦合關系。箱體在底座及各螺栓處施加位移全約束。將所有軸承中心節點定義為一個超單元并施加主自由度，通過內部自由度的凝聚得到該超單元質量矩陣和剛度矩陣。根據子結構理論可知，這兩個矩陣綜合反映了箱體在各軸承處的支撐效果，同時還包含了各軸承之間的相互作用，即為箱體等效質量矩陣Mh和等效剛度矩陣Kh。箱體等效阻尼矩陣Ch可利用Rayleigh阻尼轉換得到。

圖6 箱體剛性較差時軸承-基礎單元動力學模型Fig.6 Dynamic model of bearing-base element with flexible housing

圖7 箱體等效剛度矩陣和質量矩陣的提取Fig.7 Extraction of stiffness and mass matrices of gearbox

通過對圖6(a)的模型進行受力分析，可得第i個軸承-箱體單元的運動微分方程為：

(16)

式中，qhi為箱體第i個等效節點的位移列向量。

通過對圖6(b)的模型進行受力分析，可得箱體-基礎單元的運動微分方程為：

(17)

3 系統整體動力學模型與分析

建立各單元相應的矩陣和載荷向量后，就可以組裝系統整體剛度、質量、阻尼矩陣和節點載荷向量。系統整體矩陣組裝過程與常規結構力學分析中有限元整體剛度矩陣的組裝過程完全相同，即根據各單元節點局部編號與系統節點整體編號的對應關系，依次將單元矩陣的子矩陣按照自由度位置疊加到整體矩陣相應的位置即可[14]。對于含有2根軸、4個軸承和箱體的單級齒輪傳動，其整體剛度矩陣組成如圖8所示。當圖中某節點所在方塊由兩種陰影組成時，表明該節點為某兩類單元的耦合節點，該節點自由度元素為兩不同類型單元子矩陣的代數疊加。若箱體剛性較大，則箱體自由度所在的行與列均可劃去。由于各單元局部坐標系與整體坐標系方向相同，所以各單元矩陣向整體矩陣組裝時不需要進行坐標轉換。

系統整體的運動微分方程可寫為：

(18)

式中:X(t)為所有節點位移列向量；M、C、K(t)分別為系統整體質量、阻尼和剛度矩陣；P0為系統外載荷向量，Fe為由誤差引起的激振力。

根據此流程建模并編寫規范化的計算程序后，只需按規定格式輸入系統基本信息后，即可自動生成系統動力學模型。這種方法能夠適用于多級、分支、并車等復雜齒輪傳動系統動力學建模，有效減少了重復建模，可大大提高分析效率。

圖8 整體剛度矩陣的組成示意圖Fig.8 Schematic diagram of overall stiffness matrix

系統動力學方程式(18)中K(t)、Fexc(t)均為時間的周期函數，表達了一個參數自激系統。此參變微分方程組需要借助數值積分方法求解。Newmark積分算法作為直接積分法的一種，當選取的控制參數滿足一定關系時，該方法是無條件穩定的，同時時間步長的大小不影響解的穩定性。另外對于多自由度系統，Newmark積分法的計算效率相對于Runge-Kutta法要大為提高。

求得系統各自由度的動態位移后，沿嚙合線方向的動態傳遞誤差DTE(Dynamic Transmission Error)為：

DTE=Vqm

(19)

齒輪副法向嚙合動載荷Fd為：

(20)

軸承動載荷Fb的計算式為：

(21)

式中:qb為軸承各自由度的振動位移向量。

4 計算模型驗證

以Kubur在2004年完成的單級齒輪系統動態響應實驗為依據，驗證本文動力學模型的有效性。該實驗臺為美國俄亥俄州立大學齒輪實驗室在20世紀90年代建立的一套相對較為完備的實驗裝置，已被應用于研究直齒輪系統的響應幅值跳躍、參數共振及混沌響應等非線性動力學行為[15]以及研究修形和重合度[16]的影響。詳細的實驗裝置組成、測試方法及數據處理過程可參考文獻[15]的描述。系統由兩個參數相同的斜齒輪組成，軸承采用滾動軸承且剛性固定在支架上，主要參數見表1。系統有限元模型簡圖如圖9所示，共劃分36個節點，34個軸段單元，1個嚙合單元和4個軸承-基礎單元，共216個自由度。

表1 實驗齒輪系統主要參數

圖9 實驗齒輪系統模型(mm)Fig.9 Model of the experimental gear system(mm)

利用作者在文獻[17]的方法進行齒輪承載接觸分析，得到嚙合剛度和綜合嚙合誤差如圖10所示。另外為了與傳統集中質量法進行對比，將齒輪、軸和軸承視為一體，建立系統的集中質量動力學模型，嚙合剛度、綜合誤差和軸承參數不變。本文計算方法、集中質量法與實驗測量的DTE均方根隨轉速變化的歷程對比如圖11所示，其中轉速每隔50 r/min計算一次，計算的DTE均方根去除了均值部分，只考慮其波動部分。

從圖11中可以看出，采用有限元法計算的系統共振轉速(3 400 r/min)與實驗測量的共振轉速(3 500 r/min)非常接近，二者僅相差100 r/min，且動態傳遞誤差曲線形狀與實驗結果基本吻合。而當采用集中質量法時，計算的主共振轉速(3 200 r/min)要低于實驗和有限元法計算的數值。這是因為集中質量模型將軸段的質量集中在齒輪副節點，而有限元法中軸段質量分布于整根軸，但兩種方法中嚙合剛度是相同的，所以導致集中質量模型對應的固有頻率略低于有限元模型，從而使共振轉速降低。另外，采用有限元法計算的在共振轉速時的DTE數值為1.68 μm，與實驗數值1.70 μm僅相差1.2%，而集中質量法的數值為1.99 μm，與實驗數值相差17.1%。這是由于有限元法考慮了彈性軸段的影響，對齒輪副的振動具有一定的緩沖和阻礙作用，這與Kubur在文獻[8]中的分析結論一致。

圖10 齒輪副嚙合剛度和綜合誤差Fig.10 Mesh stiffness and integrated error of the gear pair

圖11 齒輪副動態傳遞誤差隨轉速變化Fig.11 Dynamic transmission error of the gear pair

采用有限元法與集中質量法計算的軸承1和軸承2的動載荷波動量隨轉速的變化歷程對比如圖12所示。集中質量法建模時將每根軸上的兩個軸承同時等效到齒輪處，所以只能得到兩軸承力的合力。從圖12中能夠看出，兩種方法計算的軸承動載荷存在與DTE相同的主共振轉速，但軸承動載荷的各次諧波共振成分更為明顯。集中質量法在高次諧波共振時的軸承載荷要大于有限元法。另外，由于齒輪兩側至兩軸承的軸段直徑并不相等，所以兩軸承的動載荷并不完全相等?？梢姡S段的彈性直接影響到系統的振動傳遞和軸承處的響應。當齒輪兩側軸段直徑差距增大時，兩軸承動載荷的差距將更加明顯。而集中質量法忽略了軸段彈性的影響，無法體現出此種差別。

圖12 有限元法與集中質量法軸承動載荷對比Fig.12 Comparison of dynamic bearing forces using finite element method and lumped mass method

5 結 論

(1) 本文基于有限元法的思想，提出了平行軸外嚙合圓柱齒輪-軸-軸承-箱體系統的耦合動力學通用建模方法。通過規范化的建模過程并編寫計算程序，可適用于各種齒輪類型(直齒/斜齒/人字齒)和多種構型(單支/分流/匯流)齒輪傳動系統動力學自動化建模。

(2) 提出了齒輪副在不同旋向和轉向時的彎曲-扭轉-軸向-擺動全自由度的耦合振動模型，考慮了箱體柔性對齒輪系統振動耦合作用。通過引入投影向量，總結了嚙合單元各類矩陣和誤差激振力的快速計算形式。

(3) 通過與已有實驗數據的對比，證明了在預測齒輪及軸承動態響應時，采用有限元方法比常用的集中質量法具有更高的求解精度。

該模型和方法在處理復雜齒輪轉子系統的振動問題時具有較好的通用性和應用價值，能有效提高分析效率和計算精度。

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Dynamic modeling of parallel shaft gear transmissions using finite element method

CHANG Lehao1, HE Zhaoxia1, LIU Geng2

(1. Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of Ministry of Education, Chang’an Univeristy, Xi’an 10064, China;2. Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

In order to obtain more accurate bearing responses to predict the noise of gearbox, a comprehensive fully coupled dynamic model of a parallel-shaft external cylindrical gear-shaft-bearing-case system was proposed. The continuous gear system was divided into discrete shaft element, mesh element, and bearing-base element. The modularized equations of motion for each element were built, and the dynamic model of the system was automatically created according to the relationship between different elements. The shear deformation effect of the shaft element was considered in the model. The dynamic equations with all degrees of freedom coupled (transverse-rotational-axial-pendular) were given as well. The effect of different gear hand direction and rotating direction were considered. Then the coupling vibration between the gear rotor system and the case was also introduced in the analysis. A single-stage helical gear pair was taken as an example to validate the proposed method by comparing the predicted data with the experimental ones. The results show that the finite element method has higher precision than the common lumped mass method to predict the dynamic response for both gears and bearings. A standardized program for the proposed method has been created, which can provide an effective means to predict the vibration and noise of multi-stage complex parallel shaft gear transmissions in engineering practice.

finite element method; gear; bearing; coupled vibration; mesh stiffness

國家青年自然科學基金(51535009;51205029);陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(2015JQ5162)

2015-07-28 修改稿收到日期：2015-11-19

常樂浩 男，博士，講師，1987年1月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.008