三自由度碰撞振動系統Poincaré映射叉式分岔的反控制

伍 新, 徐慧東, 文桂林, 魏克湘

(1.湖南工程學院 機械工程學院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大學 特種裝備先進設計與仿真教育部重點實驗室，長沙 410082；3.太原理工大學 力學學院，太原 030024)

?

三自由度碰撞振動系統Poincaré映射叉式分岔的反控制

伍 新1,2, 徐慧東3, 文桂林2, 魏克湘1

(1.湖南工程學院 機械工程學院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大學 特種裝備先進設計與仿真教育部重點實驗室，長沙 410082；3.太原理工大學 力學學院，太原 030024)

考慮到碰撞振動系統的Poincaré映射的隱式特點，在不改變原碰撞系統平衡解結構的前提下，采用線性反饋控制方法研究了一類三自由度含間隙雙面碰撞振動系統Poincaré映射的叉式分岔的反控制問題。首先，建立閉環控制系統的六維Poincaré映射，針對由特征值特性描述的傳統叉式分岔臨界準則在六維的高維映射中只能通過數值試算來確定控制增益的困難，利用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準則獲得了系統出現叉式分岔的控制參數區域。然后應用中心流形-范式方法進一步分析叉式分岔解的穩定性。最終數值仿真驗證了在任意指定的系統參數點通過控制能實現穩定的叉式分岔解。

叉式分岔；分岔反控制；穩定性；碰撞振動系統

碰撞振動在機械工程領域普遍存在，對碰撞振動系統復雜動力學行為的研究目前已成為非線性動力學研究中最為活躍的分支，研究的重點也由單參數的低維單自由度系統轉向多參數的高維多自由度系統。SHAW等[1]使用現代動力學的理論方法來研究具有簡諧激勵力作用下單側約束的剛性碰撞的振子系統，采用中心流形-范式降維理論分析了碰撞周期運動的分岔行為。HOLMES[2]證明了彈跳小球力學模型動力系統的周期運動存在一個倍化分岔的序列，并且在滿足某些條件時會存在Smale馬蹄。NORDMARK[3]引入局部不連續映射的概念詳細地分析了碰撞振子的擦邊分岔，并揭示了由擦邊分岔進入混沌的新途徑。BUREAU等[4]使用一種基于控制的延續算法來實驗研究一類電磁式作動器控制下的碰撞振動系統分岔時，建議了三種不同的方法來確定平衡點的穩定性，結果表明所建議的方法能很好的確定穩定的平衡點并在一定條件下可以通過有限時間的Lyapunov指數來確定不穩定的不動點。金棟平等[5]從理論上對Hertz接觸模型柔性梁的振碰響應進行了研究并做了相應的實驗驗證。LUO等[6]研究了一類兩自由度碰撞振動系統周期運動的擦邊和滑動等非光滑分岔行為并揭示了各種光滑和非光滑分岔之間的轉遷現象以及出現的各種吸引子跨越的豐富動力學行為。DING等[7]研究了一類三自由度碰撞振動系統的雙Neimark-Sacker復雜余維二分岔并揭示了由環面倍化通往混沌的新途徑。盛冬平等[8]通過考慮齒輪傳動系統中的各種非線性因素，建立了多間隙彎扭耦合非線性齒輪振動模型，采用數值積分方法研究了圓柱齒輪的彎扭振動特性隨轉速、支承間隙、齒側間隙以及嚙合阻尼系數等參數的分岔特性。金俐等[9]構建局部復合映射研究了剛性約束系統的李雅普諾夫指數，得到了區分系統周期運動及混沌的判定指標。YUE等[10]基于中心流形-范式方法研究了一類具有對稱剛性約束的三自由度碰撞振動系統周期運動的Neimark-Sacker-Pitchfork的余維二分岔行為。

與傳統的分岔控制不同，分岔反控制是在預先指定的系統參數點通過控制主動設計出具有所期望特性的分岔。CHEN等[11]通過發展一種washout-filter反饋控制器最早研究了連續系統的Hopf分岔反控制問題。隨后，ALONSO等[12]通過實驗對一類欠驅動鐘擺機械系統的Hopf分岔進行了反控制研究。劉素華等[13]采用非線性和線性狀態反饋控制方法對一類四維Qi系統零平衡點的Hopf分岔進行了反控制研究。WANG等[14]基于Hopf分岔理論和中心流形方法對一類改進的洛倫茲系統的Hopf分岔以及分岔后極限環的振幅進行了控制研究。魏周超等[15]通過一種非線性控制方法實現了一類混沌系統在兩個穩定結點共存情況下Hopf分岔的反控制。以上這些作者都是基于經典的分岔準則來實現分岔的反控制，對于維數較低的控制系統，其線性化矩陣的特征值具有解析的表達式，這樣基于由特征值特性來描述的經典分岔準則比較容易確定控制增益，但對于高于四維的控制系統，其線性化矩陣的特征值無法解析表示，若仍然基于經典的分岔準則就只能通過逐點取值去檢驗在某個參數點分岔的存在性來獲得控制增益，這顯然具有一定的局限性。

本文以一類雙面碰撞的三自由度高維碰撞振動系統為研究對象，針對傳統的映射叉式分岔臨界準則在高維系統反控制過程中存在的局限性，使用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準則通過線性反饋控制方法實現了碰撞系統的叉式分岔。然后，應用中心流形-范式方法進一步分析了叉式分岔解的穩定性。最后，通過選取適當的控制增益，數值實現了系統穩定的叉式分岔解。

1 碰撞振動系統及其周期運動

圖1是一個含間隙的三自由度雙面碰撞振動系統的力學模型。質量為M1，M2，M3的質塊分別由阻尼系數為C1，C2,C3的線性阻尼器和剛度為K1，K2，K3的線性彈簧聯接于支承，在簡諧激振力Pisin(ΩT+τ)的作用下每個質塊只作水平方向的運動(i=1,2,3)。當質塊M2的振幅較小而未與剛性約束A(或C)接觸時，系統作簡單的線性振動。當M2的振幅增加到與剛性約束A(或C)發生接觸碰撞時，系統作非線性的碰撞振動。假設力學模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復系數R確定。

圖1 三自由度含間隙雙面碰撞振動系統的力學模型Fig.1 The model of three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearances and doubling piece rigid constraint

未碰撞階段，系統的運動微分方程為[16]

(1)

碰撞時刻, 質塊m2的沖擊方程為

(2)

這里的式(1)和(2)是無量綱變換后的動力學方程，“·”表示對無量綱時間t求導數。

設式(1)和(2)的碰撞周期運動滿足如下條件：

x2(π/ω)=-x2(0),x2(0)=δ

(3)

(4)

2 碰撞振動控制系統及其Poincaré映射

對式(1)和(2)加線性反饋后的控制系統為

kx+v(x-xp)=psin(ωt+τ)

(5)

(6)

通過適當的變換，可以得到式(5)的通解為

(7)

(8)

(9)

(10)

3 碰撞振動控制系統Poincaré映射叉式分岔反控制

3.1 受控碰撞振動系統Poincaré映射發生叉式分岔的顯式臨界準則

為了通過線性反饋控制方法來主動實現碰撞振動系統周期運動的叉式分岔，主要任務是通過確定系統的控制增益向量ε=(k1,k2)在指定的原系統參數點來產生碰撞周期運動的叉式分岔。由式(10)可知受控系統的Poincaré映射是一個六維的高維映射，相應的6×6維的雅克比矩陣的特征值無解析表達式，若使用傳統的叉式分岔臨界準則，只能在參數空間內通過逐點取值來驗算系統的特征值是否滿足分岔的臨界準則進而來獲取控制增益，顯然這種數值搜尋的方法在確定控制增益參數時具有一定的局限性，而且非常耗時。因此為了克服傳統分岔臨界準則的這種局限性，本文采用不直接依賴于特征值計算的叉式分岔的顯式臨界條件來獲得控制參數。

Pμ(λ)=λ6+a1λ5+a2λ4+

a3λ3+a4λ2+a5λ+a6

(11)

這里ai=ai(μ,ε)是與控制參數ε和分岔參數μ有關的實數，i=1,…,6。

結合特征多項式(11)的系數，給出映射式(10)產生叉式分岔的顯式臨界準則如下：

引理1[17]對于映射式(10)，當且僅當特征多項式(11)的系數滿足下列條件(G1)和( G2)時，

(G1) 特征值分布條件：

1+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0

(12a)

1-a1+a2-a3+a4-a5+a6>0

(12b)

(12e)

(12f)

(12g)

(12h)

(G2) 橫截條件：

(13)

在μ=μ0處映射式(10)會發生叉式分岔。

其中(G1)中的條件式(12a)保證有一個實特征值+1，條件式(12b)～(12h)保證其它的特征值都位于單位圓內；條件(G2)保證+1特征值隨參數變化穿越單位圓時的速度不為零。

3.2 受控碰撞振動系統叉式分岔的存在性

選取系統的一組參數為：m2=0.5,m3=1.6,k2=2.5,k3=1.6,f10=0,f20=1,f30=0,δ=0.1,γ=0.01，R=0.7, 以ω為分岔參數(即μ=ω)。在指定的系統分岔參數點μ=μ0=1.5處，原碰撞系統處于穩定的周期運動(即對應Poincaré映射上的不動點)，如圖2所示。

圖2 Poincaré映射上的不動點Fig.2 The fixed point on the Poincaré map

圖3 控制參數分岔圖Fig.3 Control parameter bifurcation diagram

3.3 碰撞振動系統叉式分岔解的穩定性

受控的碰撞系統式(5)和(6)叉式分岔解的穩定性取決于映射式(10)的非線性項。本文中使用投影法[18]來分析分岔解的穩定性。

首先，取坐標變換

(14)

映射式(10)經過坐標變換式(14)變換成

(15)

變量變換后的新映射式(15)的不動點和分岔點都為原點。將映射式(15)在Yk=0處級數展開有

(16)

設q是A對應特征值λ(0)=1的特征向量，p是伴隨矩陣AT對應特征值λ(0)=1的特征向量，有下面關系式

Aq=λ(0)q，ATp=λ(0)p

(17)

其中的〈p,q〉=1滿足標準化形式。

式(16)中二次項Q(Yk,Yk)和三次項C(Yk,Yk,Yk)具有如下的一般形式

這樣，映射式(10)發生叉式分岔后解的穩定性可以由下面的引理2來確定。

〈p,Q(q,q)〉q))〉

(18)

基于中心流形-范式方法，計算式(18)得到

σ(0)=-1.239 4<0

因此，根據引理2可判斷原系統通過控制能實現超臨界的叉式分岔并產生相應的穩定分岔解。

3.4 數值實驗

在確定控制參數臨界點ε0后，在指定的系統分岔參數點μ=μ0的小鄰域內，取μ=μ0+0.001時，系統對稱周期運動(Poincaré映射的對稱不動點)失穩經叉式分岔產生一個非對稱的周期運動(Poincaré映射的非對稱不動點)，如圖4所示。為了體現通過控制實現的叉式分岔的效果，圖4中的Poincaré映射相圖是將正負擾動下的相圖放在一起得到的。

圖4 通過控制實現的由對稱不動點到非對稱不動點的叉式分岔現象Fig.4 Pitchfork bifurcation from symmetric fixed point to asymmetric fixed points obtained by control

4 結 論

針對傳統的映射叉式分岔臨界準則在高維系統中確定臨界控制增益的局限性，利用顯式的叉式分岔臨界準則獲得了一類三自由度含間隙高維碰撞系統產生叉式分岔的兩參數控制參數區域，此控制區域具有較大的分岔可行域范圍，比較容易實現魯棒性強的分岔反控制。數值實驗在指定的參數點實現了此碰撞振動系統穩定的叉式分岔解。

[1] SHAW S W，HOLMES P J. A periodically forced impact oscillator with large dissipation[J]. Journal of Applied Mechanics, 1983, 50(4a): 849-857.

[2] HOLMES P J. The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table[J]. Journal of Sound and Vibration, 1982, 84(2): 173-189.

[3] NORDMARK A B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 145(2): 279-297.

[4] BUREAU E, SCHILDER F, ELMEGARD M, et al. Experimental bifurcation analysis of an impact oscillator—Determining stability[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(21): 5464-5474.

[5] 金棟平，胡海巖，吳志強. 基于Hertz 接觸模型的柔性梁碰撞振動分析[J]. 振動工程學報，1998，11(1):46-51.

JIN Dongping, HU Haiyan, WU Zhiqiang. Analysis of vibro-impacting flexible beams based on Hertzian contact model [J]. Journal of Vibration Engineering,1998,11(1):46-51.

[6] LUO G W, Lü X H, SHI Y Q. Vibro-impact dynamics of a two-degree-of freedom periodically-forced system with a clearance: Diversity and parameter matching of periodic-impact motions[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 65: 173-195.

[7] DING W C, LI G F, LUO G W, et al. Torus T2 and its locking, doubling, chaos of a vibro-impact system[J]. Journal of the Franklin Institute, 2012, 349(1): 337-348.

[8] 盛冬平，朱如鵬，陸鳳霞，等. 多間隙彎扭耦合齒輪非線性振動的分岔特性研究[J]. 振動與沖擊， 2014，33(19): 116-122.

SHENG Dongping, ZHU Rupeng, LU Fengxia, et al. Bifurcation characteristics of bending-torsional coupled gear nonlinear vibration with multi-clearance [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(19): 116-122.

[9] 金俐，陸啟韶. 非光滑動力系統 Lyapunov 指數譜的計算方法[J]. 力學學報，2005，37(1):40-47.

JIN Li, LU Qishao. A method for calculating the spectrum of Lyapunov exponents of non-smooth dynamical systems[J]. Acta Mechanica Sinica, 2005, 37(1):40-47.

[10] YUE Y, XIE J H. Neimark—Sacker-pitchfork bifurcation of the symmetric period fixed point of the Poincaré map in a three-degree-of-freedom vibro-impact system[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics,2013,48:51-58.

[11] CHEN G R, LU J L, NICHOLAS B, et al. Bifurcation dynamics in discrete-time delay-feedback control systems[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, 9(1): 287-293.

[12] ALONSO D M, PAOLINI E E, MOIOLA J L. An experimental application of the anticontrol of Hopf bifurcations[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2001, 11(7): 1977-1987.

[13] 劉素華，唐駕時. 四維Qi系統零平衡點的Hopf分岔反控制[J]. 物理學報，2008，57(10): 6162-6168.

LIU Suhua, TANG Jiashi. Anti-control of Hopf bifurcation at zero equilibrium of 4D Qi system [J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(10): 6162-6168.

[14] WANG X D, DENG L W, ZHANG W L. Hopf bifurcation analysis and amplitude control of the modified Lorenz system[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 225: 333-344.

[15] WEI Z C, YANG Q G. Anti-control of Hopf bifurcation in the new chaotic system with two stable node-foci[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 217(1): 422-429.

[16] 羅冠煒，謝建華. 碰撞振動系統的周期運動和分岔[M]. 北京: 科學出版社，2004.

[17] XU H D, WEN G L. Alternative criterion for investigation of pitchfork bifurcations of limit cycle in relay feedback systems[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2014, 9(3): 031004.

[18] KUZNETSOV Y A. Elements of applied bifurcation theory [M]. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1998.

Anti-controlling pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system

WU Xin1,2, XU Huidong3, WEN Guilin2, WEI Kexiang1

(1. School of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China;2. Key Laboratory of Advanced Design and Simulation Techniques for Special Equipment of Education Ministry, Hunan University, Changsha 410082, China;3. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

In the premise of not changing periodic solutions of the original system and with considering the difficulties that are given by the implicit Poincaré map of the vibro-impact system, anti-control of Pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system was studied by using the linear feedback control method. Firstly, the six-dimensional Poincaré map of a close-loop system was established. To overcome the difficulty that the numerical computing method can only be used to determine control gains on the basis of the classical critical criteria of Pitchfork bifurcation described by the properties of eigenvalues in the six-dimensional map, an explicit pitchfork critical criterion without using eigenvalues was used to obtain the controlling parameters area of two parameters. Then, the stability of the pitchfork bifurcation was further analyzed by utilizing the center manifold and normal formal theory. Finally, the numerical experiments verify that the stable pitchfork bifurcation solutions can be generated at arbitrary specified parameters.

pitchfork bifurcation; anti-controlling bifurcation; stability; vibro-impact system

國家杰出青年科學基金項目(11225212)；國家自然科學基金項目(11472103);湖南省自然科學基金項目(2016JJ4027；14JJ5006)；湖南省高校科技創新團隊支持計劃資助(湘教通〔2014〕207號)

2015-12-28 修改稿收到日期：2016-03-04

伍新 男，博士，講師，1976年生

文桂林 男，博士，教授，1970年生

O313；TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.004