函數問題錯解鉤沉

張新松

函數問題錯解鉤沉

張新松

函數是初中數學的重要內容，也是形成數學思想的核心之一，本文對同學們在解題中常見的錯誤略作分析，以期對大家的復習有所幫助.

一、與函數概念有關的錯解

例1如果關于x的函數y=（m-3）xm2-3m+2+ mx+1是二次函數，則m的值一定是（）.

A.0B.3C.2D.0或3

【錯解】由m2-3m+2=2，解之得m1=0，m2= 3，故選D.

【正解】沒有考慮到二次項系數m-3≠0，即m≠3，故選A.

二、與函數圖像有關的錯解

例2已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表：

?

寫出該拋物線的對稱軸.

【錯解】由表中觀察可得該拋物線的對稱軸為直線x=1.

【正解】實際上，點（0，1）與點（3，1）和直線x=1并不“等距”，正確的答案為：該拋物線的對稱軸為直線

例3若函數y=（m-1）x2+6x+1的圖像與x軸只有一個交點，求m的值.

【錯解】因為函數y=（m-1）x2+6x+1的圖像與x軸只有一個交點，所以判別式Δ=0，由62-4×（m-1）×1=0，得m=10.

【正解】實際上，題中并沒有指明該函數為二次函數，因此，不存在m-1≠0（即m≠1）這樣一個前提條件，當m=1時，直線y=6x+1的圖像與x軸也只有一個交點，故m的值為10或1.

我們知道，若m-1≠0，m-1越小，拋物線y=（m-1）x2+6x+1的開口越大，當m-1趨近于0時，拋物線趨近于一條直線，因此，拋物線向直線的漸變也是一個量變到質變的過程.

例4如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c過A（1，2）、B（3，1）兩點，若在該拋物線上找一點P，使△ABP為等腰三角形，則這樣的點P共有_______個.

【錯解】分別以A、B為圓心，AB長為半徑作弧，均與拋物線相交，得到2個滿足條件的點；作線段AB的垂直平分線，與拋物線相交，得到滿足條件的第3個點.因此，滿足條件的點共有3個.

圖1

【正解】還存在滿足條件的第4個點，理由如下：首先，求出拋物線的解析式為y=x2-，直線AB的解析式為，設直線AB和x軸、y軸分別交于點E（5，0）、，線段AB的垂直平分線l分別交AB和x軸于點C、D，根據A、B兩點的坐標，可求點C坐標為利用△ECD∽△EOF，可求點D坐標為，從而求出直線l的解析式為，和拋物線的解析式y=聯立，消去y，整理得關于x的一元二次方程，該方程的判別式Δ=，所以直線l和拋物線有兩個交點.

三、與函數性質有關的錯解

例5已知一次函數y=kx+b，當1≤x≤4時，3≤y≤6，求k、b的值.

【錯解】由題意知直線y=kx+b過點（1，3）和（4，6）兩點，將這兩點的坐標代入解析式，即可求出k=1，b=2.

【正解】上述的解法是想當然地認為y隨x的增大而增大，實際上也可能y隨x的增大而減小，這時將兩點的坐標（1，6）和（4，3）代入解析式，即可求出另一組值：k=-1，b= 7.所以，正確的答案為：k=1，b=2或k=-1，b=7.

例6已知函數y=x2-4x+3，當-1＜x＜3時，求y的取值范圍.

【錯解】把x=-1和x=3分別代入解析式，得y的相應值為8和0，所以y的取值范圍為0＜y＜8.

【正解】因為y=x2-4x+3=（x-2）2-1，該拋物線的對稱軸為直線x=2，而x的取值范圍-1＜x＜3在對稱軸的兩側，其增減性不同，因此，y的取值范圍包含最小值-1，所以，正確的答案為：-1≤y＜8.

四、與函數自變量取值范圍有關的錯解

例7已知拋物線y=x2-2mx+m2+m+2與x軸的交點為（a，0），（b，0），求a2+b2的最小值.

【錯解】因為a2+b2=（a+b）2-2ab=（2m）2-2（m2+m+2）=，所以，當m=時，所求最小值為

【正解】上述的錯解是忽視了拋物線與x軸有交點的條件，即要判別式Δ≥0，正確的解法應當是：由題意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2，在拋物線的對稱軸左側函數值隨自變量的增大而減小，所以，m=-2時，a2+b2的最小值為8.

例8如圖2，在矩形ABCD中，點P是邊AD上的動點，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點Q，垂足為點M，連接QP.已知AD=13，AB=5，AP=x，BQ=y.求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍.

圖2

【正解】上述解答錯誤在自變量的取值范圍，由題中“線段BP的垂直平分線交邊BC于點Q”，可知點Q運動的終點是點C.令=13，解之得x1=1，x2=25（舍去），所以x的取值范圍為1≤x≤13.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）