二次函數常見考點探究

張　玲

二次函數常見考點探究

張玲

二次函數是中考的重點考查內容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識等結合在一起綜合考查.下面就對2015年中考試卷選擇題和填空題中出現的有關二次函數的幾類考點加以說明.

考點一二次函數的概念

例1（2015·蘭州）下列函數解析式中，一定為二次函數的是（）.

A.y=3x+1B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1D.

【解析】二次函數，是指形如y=ax2+bx+c的函數，其中a，b，c都是常數，且a≠0.

A項是一次函數，B項必須要求a≠0，C項正確，D項錯誤，因為二次函數必須是整式函數.

【點評】本題考查二次函數概念，要緊扣概念形式和牢記限定條件，同時注意二次函數解析式兩邊都是整式.

考點二二次函數的圖像和性質

例2（2015·泰安）某同學在用描點法畫二次函數y=ax2+bx+c圖像時，列出了下面的表格：

x…-2-1012…y…-11-21-2-5…

由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數值是（）.

A.-11B.-2C.1D.-5

【解析】本題主要考查二次函數的圖像對稱性，根據關于對稱軸對稱的自變量所對應的函數值相等可以得到答案.

根據二次函數圖像的對稱性，初步判斷點（-1，-2），（0，1），（1，-2）在函數圖像上，把三個點坐標代入y=ax2+bx+c得到關于a，b，c的三元一次方程組，解得函數解析式為y=-3x2+1，當x=2時y=-11，所以選D項.

【點評】利用函數圖像關于對稱軸對稱是解題關鍵，同時也考查了待定系數法求函數解析式.

例3（2015·常州）已知二次函數y= x2+（m-1）x+1，當x＞1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（）.

A.m=-1B.m=3

C.m≤-1D.m≥-1

【解析】本題主要考查二次函數的增減性，根據圖像開口向上，可知在對稱軸右側，y隨x的增大而增大.

【點評】熟記函數圖像增減性，正確列出不等式是解題關鍵.

考點三二次函數的圖像和系數a，b，c的關系

例4（2015·遂寧）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，下列結論：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2-4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a-2b+c＜0，其中正確的個數是（）.

圖1

A.2B.3C.4D.5

【解析】本題考查函數圖像和系數a，b，c的關系.

（1）由拋物線開口向下得到a＜0，由對稱軸在x=1的右側得到，利用不等式的性質得到2a+b＞0，故①正確；

（2）由a＜0，對稱軸在y軸的右側，a與b異號，得到b＞0，拋物線與y軸的交點在x軸的下方得到c＜0，于是abc＞0，故②錯誤；

（3）拋物線與x軸有兩個交點，所以Δ= b2-4ac＞0，故③正確；

（4）由x=1時，y＞0，可得a+b+c＞0，故④錯誤；

（5）由x=-2時，y＜0，可得4a-2b+c＜0，故⑤正確.

綜上所述正確結論個數有3個，故選B項.

【點評】本題考查了二次函數圖像與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像，a＞0，開口向上，a＜0，開口向下；對稱軸為直線，a與b同號，對稱軸在y軸的左側，a與b異號，對稱軸在y軸的右側；當c＞0時，拋物線與y軸的交點在x軸的上方；當c＜0時，拋物線與y軸的交點在x軸的下方；當Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個交點.

考點四二次函數圖像與幾何變換

例5（2015·龍巖）拋物線y=2x2-4x+3繞坐標原點旋轉180°所得的拋物線的解析式是________.

【解析】根據旋轉的性質，可得a的絕對值不變，根據中心對稱，可得答案.

將y=2x2-4x+3化為頂點式，得y=2（x-1）2+ 1，可知頂點坐標是（1，1），求拋物線y=2x2-4x+3繞坐標原點旋轉180°所得的拋物線，關鍵要確定旋轉后所得拋物線的頂點和開口方向.旋轉后的拋物線開口方向與原來相反即開口向下，開口大小不變，故二次項系數為-2，而頂點變為（-1，-1）.所得的拋物線的解析式是y=-2（x+1）2-1，化為一般式，得y=-2x2-4x-3，故答案為：y=-2x2-4x-3.

【點評】本題考查了二次函數圖像與幾何變換，利用了中心對稱的性質，注意抓住關鍵點的變化.

考點五二次函數的應用

例6（2015·朝陽）一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h（m）與足球被踢出后經過的時間t（s）之間具有函數關系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后經過4 s落地，則足球距地面的最大高度是______m.

【解析】首先由題意得：t=4時，h=0，然后再代入函數關系h=at2+19.6t可得a的值，再利用函數解析式計算出h的最大值即可.

由題意得：t=4時，h=0，因此0=16a+19.6× 4，解得：a=-4.9，

∴函數關系為h=-4.9t2+19.6t，足球距離地面最大高度為

故答案為：19.6.

【點評】此題主要考查了二次函數的應用，關鍵是正確確定函數解析式，把最大高度問題轉化為函數圖像的頂點縱坐標來求.

考點六二次函數與方程，不等式

例7（2015·蘇州）若二次函數y=x2+bx的圖像的對稱軸是經過點（2，0）且平行于y軸的直線，則關于x的方程x2+bx=5的解為（）.

A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5

C.x1=1，x2=-5D.x1=-1，x2=5

【解析】本題是二次函數和一元二次方程的綜合，考查二次函數的性質和解一元二次方程.

根據題意得對稱軸是直線x=2，所以得b=-4，把b=-4代入到x2+bx=5，得方程為x2-4x=5，解得x1=-1，x2=5，故選D項.

例8（2015·柳州）如圖2，二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸相交于（-2，0）和（4，0）兩點，當ax2+bx+ c＞0時，x的取值范圍是（）.

A.x＜-2B.-2＜x＜4

C.x＞0D.x＞4

圖2

【解析】本題考查二次函數與不等式，根據函數圖像確定使y＞0成立的自變量x的取值范圍.

根據函數圖像，二次函數值大于0部分的圖像位于x軸上方，所對應的自變量x的取值范圍是-2＜x＜4，故選B項.

【點評】能正確把不等式問題轉化為函數問題，利用函數圖像解決問題是關鍵.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）