讓規范成為一種解題習慣

孫偉剛

讓規范成為一種解題習慣

孫偉剛

方程（組）與不等式（組）是初中數學中最基本、最核心的知識和技能之一，這塊內容也是歷年中考命題的重點和熱點.從近幾年各地中考的發展趨勢來看，既重視對基礎知識的考查，如直接考解方程（組）或解不等式（組），又注重考查綜合運用知識的能力，如考方程（組）與圖形的運動相結合問題，考不等式（組）與函數相結合的實際問題等.那么如何規范地解答有關方程（組）與不等式（組）的問題呢？筆者想通過舉例予以說明，旨在給同學們有所啟迪.

一、考查解方程與解不等式問題

例1（2015·慶陽）（本題滿分8分）已知關于x的一元二次方程mx2+mx+m-1= 0有兩個相等的實數根.

（1）求m的值；

（2）解原方程.

【考點】根的判別式；解一元二次方程.

【分析】（1）據題意得到：Δ=0，由此列出關于m的方程并解答；（2）用直接開平方法解方程.

∴Δ=m2-4×m×（m-1）=0，且m≠0，（3分）

解得m=2；（5分）

（2）由（1）知，m=2，則該方程為：x2+ 2x+1=0，（6分）

即（x+1）2=0，（7分）

解得x1=x2=-1.（8分）

【點評】本題考查了一元二次方程ax2+ bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ= 0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根.但必須注意上述結論是針對一元二次方程來說的，因此，同學們解答此題時，應首先考慮a≠0這個前提條件，也就是說，不能漏了m≠0這個踩分點，否則會影響答案的完整，白白扣了2分，會而不對，令人惋惜.

解答第（2）小題時，首先應明確是在解答了第（1）小題的前提下進行的，因此第（1）小題的結論“m=2”可以作為條件直接拿來使用，從而確定一元二次方程.而解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法.對本題來講，同學們任意選擇一種方法都是可以的，只是方程的解應寫成“x1=x2=-1”的形式，因為對于一元二次方程來說，要么沒有實數根，要么就一定有兩個實數根，如果把解寫成“x=-1”將會扣掉1分.可見，打牢基礎，注重細節，規范解題是何等的重要啊！

【考點】解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集.

【分析】先去分母，再去括號，移項，合并同類項，最后把x的系數化為1即可.

解：去分母得，4（2x-1）≤3（3x+2）-12，（1分）

去括號得，8x-4≤9x+6-12，（2分）移項得，8x-9x≤6-12+4，

合并同類項得，-x≤-2，（3分）把x的系數化為1得，x≥2.（4分）在數軸上表示為：

【點評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關鍵.一元一次不等式的解法步驟雖與解一元一次方程類似，但不完全相同，特別是“把x的系數化為1”這一步驟，兩者有質的區別.如，由“-x=-2”得到“x=2”顯得順理成章，而由“-x≤-2”得到“x≥2”卻是深入理解和掌握不等式基本性質3后才有的良好效果.同學們腦海中必須強化“不等式兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號方向改變”這一性質，才會牢牢抓住這寶貴的1分，如果僅僅歸結為粗心是不可取的，應上升到對不等式的基本性質缺乏理解和認識這一高度.讓自己的思維更嚴謹些，讓平時的做題更規范些，這才是同學們應有的態度.

另外，在數軸上表示不等式的解集時，可按如下“三部曲”進行：①畫數軸；②定邊界點，含等號用實心圈，無等號用空心圈；③定方向，大于向右畫，小于向左畫.按部就班，把最后這1分得到，讓這種方式成為你的解題習慣，你會因為好習慣受益終身.

二、考查方程（組）與不等式（組）的綜合應用問題

例3（2015·寧夏）（本題滿分8分）某校在開展“校園獻愛心”活動中，準備向南部山區學校捐贈男、女兩種款式的書包.已知男款書包的單價50元/個，女款書包的單價70元/個.

（1）原計劃募捐3 400元，購買兩種款式的書包共60個，那么這兩種款式的書包各買多少個？

（2）在捐款活動中，由于學生捐款的積極性高漲，實際共捐款4 800元，如果購買兩種款式的書包共80個，那么女款書包最多能買多少個？

【考點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的應用.

【分析】（1）設原計劃買男款書包x個，則女款書包（60-x）個，根據題意得：50x+ 70（60-x）=3 400，即可解答；

（2）設女款書包能買y個，則男款書包（80-y）個，根據題意得：70y+50（80-y）≤4 800，即可解答.

解：（1）設原計劃買男款書包x個，則女款書包（60-x）個，（1分）

根據題意得：50x+70（60-x）=3400，（2分）

解得：x=40，

60-x=60-40=20.（3分）

答：原計劃買男款書包40個，則女款書包20個.（4分）

（2）設女款書包能買y個，則男款書包買（80-y）個，（5分）

根據題意得：70y+50（80-y）≤4 800，（6分）

解得：y≤40，（7分）

所以女款書包最多能買40個.（8分）

【點評】本題考查了一元一次方程、一元一次不等式的應用，解決本題的關鍵是根據題意列出方程和不等式.對于第（1）小題，首先應熟知列一元一次方程解應用題的一般步驟：①根據問題設出未知數；②根據等量關系列出一元一次方程；③解出方程并驗根；④根據問題做出答.每個步驟各1分，其中第①步設未知數時需帶上單位，同時應把相關的量用含未知數的代數式表示出來，這1分就抓住了.而第③步注意看清要求的兩個量，除了求出男款書包的數量，還得求出女款書包的數量，這樣才能獲得1分.第④步作答讓解應用題步驟更完整，也有1分，不容小覷.

對于第（2）小題，同樣應熟知列一元一次不等式解應用題的一般步驟（與列一元一次方程解應用題的一般步驟類似，這里不贅述），也是每個步驟各1分.需要提醒同學們的是，第①步設未知數時有所變化，如果想當然地設為“女款書包最多能買y個”，就會失去這1分，因為列出的不等式求解實質上是求它的解集，而解集中的每個值不可能都是“y的值”，因此設為“女款書包能買y個”就比較恰當，事實上，諸如求“最多”量、“最少”量均可以在解集中尋找答案，這點提請同學們務必注意.

例4（2015·慶陽）（本題滿分8分）某體育用品專賣店銷售7個籃球和9個排球的總利潤為355元，銷售10個籃球和20個排球的總利潤為650元.

（1）求每個籃球和每個排球的銷售利潤；

（2）已知每個籃球的進價為200元，每個排球的進價為160元，若該專賣店計劃用不超過17 400元購進籃球和排球共100個，且要求籃球數量不少于排球數量的一半，請你為專賣店設計符合要求的進貨方案.

【考點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用.

【分析】（1）設每個籃球和每個排球的銷售利潤分別為x元，y元，根據題意得到方程組即可解得結果；

（2）設購進籃球m個，排球（100-m）個，根據題意得不等式組即可得到結果.

解：（1）設每個籃球和每個排球的銷售利潤分別為x元，y元，（1分）

答：每個籃球和每個排球的銷售利潤分別為25元，20元.（4分）

（2）設購進籃球m個，排球（100-m）個，

根據題意得：

∴m=34或m=35.（7分）

∴購進籃球34個、排球66個，或購進籃球35個、排球65個兩種購買方案.（8分）

【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用和二元一次方程組的應用，找準數量關系是解題的關鍵.在第（1）小題中，利用“銷售兩種球”所獲的不同利潤，尋找等量關系，建立二元一次方程組，并按步解答，不難獲得4分；在第（2）小題中，以“所用資金”和“球類數量”為線索，尋找不等關系，從而建立不等式組.需要強調的是，求出的結果要進行合理的取舍.如，求得m的取值范圍后，就需要同學們注意到“m為整數”這一隱含條件來確定m的值.而作答時，不僅僅是回答“有兩種方案”，還需回答具體的方案設計情況.看清問題的要求，作出規范的解答，養成良好的解題習慣，應成為同學們學習的常態.

同學們，考試的一個特點是以卷面為唯一依據，這就要求我們要做到會而且對，對而且全，全而且規范.不規范的解答，諸如“跳步驟”“缺步驟”“游離解題計劃”等是造成失分的重要根源.養成規范的解題習慣，注重步驟，注重細節，準不吃虧.因為數學是按步驟給分的，踩上知識點就給分，踩得多就給得多，這足以說明解題規范的重要性.讓規范成為一種解題習慣吧！

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學）