不確定微觀結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的隨機(jī)均勻化熱性質(zhì)

尤 芳,陳建軍,馬 娟,曹鴻鈞

(1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安 710071; 2.西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西楊凌 712100)

不確定微觀結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的隨機(jī)均勻化熱性質(zhì)

尤 芳1,2,陳建軍1,馬 娟1,曹鴻鈞1

(1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安 710071; 2.西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西楊凌 712100)

將等效夾雜法和隨機(jī)因子法相結(jié)合,研究了單向纖維三維復(fù)合材料有效熱特性的隨機(jī)均勻化分析問(wèn)題.充分考慮微觀結(jié)構(gòu)形態(tài)和組成材料特性的隨機(jī)性及參數(shù)之間的相關(guān)性,推導(dǎo)了單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料隨機(jī)有效熱性質(zhì)(如熱膨脹系數(shù))及其相關(guān)性,并與隨機(jī)因子法和蒙特卡羅法的結(jié)果進(jìn)行了比較.通過(guò)對(duì)兩種方法的結(jié)果分析表明,微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性和相關(guān)性對(duì)隨機(jī)均勻化結(jié)果具有影響,并得出一些重要結(jié)論.

復(fù)合材料;均勻化;隨機(jī);相關(guān)性;有效熱性質(zhì)

非均勻材料可滿足傳統(tǒng)均勻材料所不能滿足的特殊功能要求,在航空航天、汽車、民用建筑等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.在材料和力學(xué)領(lǐng)域中,基于微觀結(jié)構(gòu)幾何形狀和材料特性知識(shí)的均勻化技術(shù)作為連接微觀尺寸特征與宏觀響應(yīng)的有效方法被廣泛用于非均勻材料有效性質(zhì)的計(jì)算.在制造過(guò)程中的不確定性將不可避免地影響幾何形狀和材料參數(shù),材料的不確定性將進(jìn)一步影響結(jié)構(gòu)的響應(yīng).目前,針對(duì)非均勻材料在增強(qiáng)相的位置/形狀、基體中孔/顆粒等空間分布以及各組成物力學(xué)特性具有不確定性的研究越來(lái)越多.文獻(xiàn)[1]結(jié)合等效夾雜法,基于攝動(dòng)理論估算了形狀和體積分?jǐn)?shù)等幾何不確定性對(duì)均勻化彈性特性概率特征的影響.文獻(xiàn)[2]對(duì)具有不同纖維縱橫比的隨機(jī)纖維復(fù)合材料的彈性特性進(jìn)行了三維數(shù)值模擬.文獻(xiàn)[3-6]提出多尺度譜隨機(jī)方法、擴(kuò)展有限元法等方法,求解了具有隨機(jī)細(xì)觀結(jié)構(gòu)特性或隨機(jī)形態(tài)(如圓盤狀或狹縫狀隨機(jī)裂紋)的非均勻材料的有效響應(yīng).文獻(xiàn)[7]提出一種等效熱傳導(dǎo)系數(shù)均勻化方程數(shù)值求解方法,預(yù)測(cè)單向纖維復(fù)合材料以及金屬蜂窩夾芯板的等效熱傳導(dǎo)系數(shù).文獻(xiàn)[8]研究了顆粒形狀、體積分?jǐn)?shù)和空間分布參數(shù)等微結(jié)構(gòu)特征對(duì)復(fù)合材料有效熱傳導(dǎo)系數(shù)的影響.

迄今為止,現(xiàn)有模型主要考慮微觀結(jié)構(gòu)形態(tài)或材料特性的隨機(jī)性.尤其是在均勻化模型中,微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的相關(guān)性及隨機(jī)均勻化結(jié)果之間的相關(guān)性均未考慮.與微觀結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性相比,微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)間的相關(guān)性對(duì)聯(lián)系材料整體特性和微觀結(jié)構(gòu)特征起著重要作用.此外,諸如纖維增強(qiáng)類的復(fù)合材料通常承受熱載荷[9],隨機(jī)均勻化熱分析對(duì)于估算承受熱應(yīng)力復(fù)合結(jié)構(gòu)的可靠性很重要.因此,對(duì)不確定微觀結(jié)構(gòu)特征及其宏觀轉(zhuǎn)變的均勻化進(jìn)行合理描述將有助于非均勻材料性能預(yù)測(cè).

基于上述原因,筆者在充分考慮微觀結(jié)構(gòu)不確定性的情況下,將隨機(jī)因子法(Random Factor Method,RFM)應(yīng)用于計(jì)算單向纖維增強(qiáng)三維復(fù)合材料的隨機(jī)有效熱特性,對(duì)兩相的形態(tài)參數(shù)和材料特性的不確定性以及上述隨機(jī)變量之間的相關(guān)性做出說(shuō)明.通過(guò)比較隨機(jī)因子法和蒙特卡羅法(Monte-Carlo Method,MCM)所得到的結(jié)果來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性.最后,利用蒙特卡羅法獲得了宏觀有效熱特性的相關(guān)性.

1　纖維增強(qiáng)復(fù)合材料有效熱特性的隨機(jī)均勻化

1.1復(fù)合材料均勻化熱膨脹系數(shù)張量αEI

等效夾雜法作為估算復(fù)合材料均勻化彈性性能的有效方法,當(dāng)利用基于Mori-Tanaka理論的等效夾雜方法估計(jì)單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料有效熱膨脹系數(shù)時(shí),其均勻化有效熱性能即有效熱膨脹系數(shù)張量αEI為

其中,αm為基體有效熱膨脹系數(shù),Vf是纖維體積分?jǐn)?shù).矩陣g和φ分別為

其中,I是單位陣,S是材料Elsherby張量,Em、Ef分別是基體及纖維彈性張量,αf是纖維有效熱膨脹系數(shù),A=-Vf(S-I),H=(Ef-Em)(S-I)+Ef,β=AH-1,D=I+β(Ef-Em).

對(duì)于各向同性材料,其彈性張量E為

其中,e是材料彈性模量,ν是泊松比.

則αEI可表示為

1.2αEI的數(shù)字特征

假設(shè)基體及纖維的彈性模量em、ef,泊松比νm、νf,有效熱膨脹系數(shù)αm、αf,纖維橫截面尺寸a1、a2,纖維體積分?jǐn)?shù)Vf都具有隨機(jī)性,同時(shí)考慮em和νm、ef和νf、a1和a2之間的相關(guān)性.

根據(jù)隨機(jī)因子法[10],隨機(jī)變量y可表示為隨機(jī)因子和均值μy的乘積,即y=·μy.可反映y的隨機(jī)性,并和y服從相同的概率分布.此時(shí),上述隨機(jī)參數(shù)可分別表示為:.其中和分別為相應(yīng)隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)因子;和是各隨機(jī)參數(shù)的均值.隨機(jī)因子的均值為1.0,均方差為和.

當(dāng)不考慮隨機(jī)參數(shù)之間相關(guān)性時(shí),αEI的均方差為

當(dāng)充分考慮隨機(jī)參數(shù)之間的相關(guān)性時(shí),αEI的均方差為

αEI的變異系數(shù)為

2　算 例

文中利用基于隨機(jī)因子法的均勻化分析對(duì)單向纖維增強(qiáng)塑料復(fù)合材料微觀不確定性造成的αEI變化率進(jìn)行研究.隨機(jī)微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)(如材料特性、E-玻璃纖維和環(huán)氧樹(shù)脂基體兩種組分的熱參數(shù)以及纖維橫截面尺寸)的均值如表1所示.Vf均值設(shè)定為0.25,蒙特卡羅法的模擬次數(shù)是10000.

表1　纖維和基體的隨機(jī)參數(shù)均值

表2　em、νm、a1和a2的10個(gè)算例(γem=γνm=γa1=γa2=0.05)

基于隨機(jī)向量協(xié)方差矩陣的丘拉斯基分解,通過(guò)蒙特卡羅法得到隨機(jī)微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)性的模擬.根據(jù)表1中隨機(jī)參數(shù)em、νm、a1和a2的均值,通過(guò)蒙特卡羅法生成服從正態(tài)分布和滿足不同相關(guān)性條件的算例如表2所示.

2.1微觀參數(shù)隨機(jī)性對(duì)αEI的影響

考慮微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性,由隨機(jī)因子法和蒙特卡羅法分別得到αEI的均方差和變異系數(shù),如表3所示.

由表3所示結(jié)果可得以下結(jié)論:

(1)隨機(jī)因子法和蒙特卡羅法所得結(jié)果相互吻合,從而驗(yàn)證了筆者所提的隨機(jī)因子法步驟.

(2)各隨機(jī)參數(shù)對(duì)αEI隨機(jī)性具有不同的影響,尤其是對(duì)αEI主對(duì)角線元素α1、α2和α3影響不同.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,αm的隨機(jī)性對(duì)αEI的隨機(jī)性影響最大;其次是Vf的隨機(jī)性,主要影響元素α1和α2;再次是νm的隨機(jī)性,對(duì)元素α2產(chǎn)生較大影響;之后是em、ef、a1、a2的隨機(jī)性,前兩個(gè)主要影響元素α3,而后兩個(gè)則對(duì)元素α1和α2影響較大;最后是νf和αf的隨機(jī)性,分別影響元素α2和α3.另外,νf、em、ef、a1和a2的隨機(jī)性依次對(duì)元素α1、α2、α2、α3和α3的隨機(jī)性沒(méi)有影響.

2.2微觀參數(shù)相關(guān)性對(duì)αEI的影響

同時(shí)考慮微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性及變異系數(shù)時(shí),αEI的均方差和變異系數(shù)見(jiàn)表4和表5.其中,γ為

表4和表5表明了不同隨機(jī)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)所造成的相互影響.表4和表5中的變異系數(shù)遠(yuǎn)大于表3中的,這表明αEI中每個(gè)元素的隨機(jī)性是所有參數(shù)相互作用和相互補(bǔ)充的結(jié)果.其次,在同時(shí)考慮各參數(shù)隨機(jī)性的情況下,當(dāng)參數(shù)變異系數(shù)從0.05變化到0.10時(shí),將增大.此外,考慮所有隨機(jī)參數(shù)相關(guān)性所得到的變異系數(shù)不同于不考慮或部分考慮相關(guān)性所得到的變異系數(shù),再次表明了和對(duì)隨機(jī)均勻化結(jié)果相互作用和相互補(bǔ)充的影響.如隨或的增大而稍微增大,但當(dāng)增大時(shí),它幾乎保持常量.因此,將隨著或或的增大而稍微增大.

表4　不同相關(guān)性下αEI的σαEI和(γ=0.05,Vf=0.25)

隨機(jī)因子法所得結(jié)果蒙特卡羅法所得結(jié)果ρσα1σα2σα3γα1γα2γα3σα1σα2σα3γα1γα2γα3(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2)(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2) ρ=0.0 0.558 0.529 0.753 5.079 5.085 4.923 0.558 0.529 0.753 5.078 5.084 4.922 ρ=0.5 0.558 0.529 0.754 5.074 5.082 4.925 0.557 0.529 0.754 5.074 5.082 4.925 ρemνm=0.558 0.529 0.754 5.079 5.085 4.926 0.558 0.529 0.754 5.079 5.085 4.926 0.5 ρefνf=0.558 0.529 0.753 5.079 5.085 4.924 0.558 0.529 0.754 5.079 5.085 4.923 0.5 ρa(bǔ)1a2=0.558 0.529 0.753 5.074 5.082 4.923 0.557 0.529 0.753 5.073 5.081 4.922 0.5

表5　不同隨機(jī)性和相關(guān)條件下αEI的和

表5　不同隨機(jī)性和相關(guān)條件下αEI的和

隨機(jī)因子法所得結(jié)果蒙特卡羅法所得結(jié)果γ及ρσα1σα2σα3γα1γα2γα3σα1σα2σα3γα1γα2γα3(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2)(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2) γ=0.05,ρ=0.0 0.558 0.529 0.753 5.079 5.085 4.923 0.558 0.529 0.753 5.078 5.084 4.922 γ=0.05,ρ=0.8 0.557 0.529 0.754 5.071 5.080 4.927 0.557 0.528 0.754 5.070 5.081 4.927 γ=0.10,ρ=0.0 1.116 1.058 1.506 10.160 10.170 9.845 1.116 1.058 1.507 10.160 10.170 9.845 γ=0.10,ρ=0.8 1.114 1.057 1.508 10.140 10.160 9.854 1.115 1.057 1.508 10.140 10.160 9.854

2.3不同因素對(duì)αEI元素間相關(guān)性的影響

在充分考慮所有參數(shù)的隨機(jī)性及其相關(guān)性的情況下,利用蒙特卡羅法可得αEI各元素間的相關(guān)性,如表6所示.

表6　αEI元素間的相關(guān)系數(shù)(Vf=0.25,γ=0.05)

從表6中可知,無(wú)論參數(shù)間相關(guān)性的強(qiáng)弱如何,元素α1、α2和α3都表現(xiàn)出從0.98變化到1.00的強(qiáng)正相關(guān)性.αEI相關(guān)性隨參數(shù)相關(guān)性的增大而增大,這表明參數(shù)相關(guān)性對(duì)αEI相關(guān)性有正的以及直接的影響.

3　結(jié) 論

筆者研究具有微觀結(jié)構(gòu)不確定性的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的隨機(jī)均勻化問(wèn)題,得到微觀結(jié)構(gòu)不確定性與宏觀熱性能之間的關(guān)系,推導(dǎo)了均值、均方差和變異系數(shù)等數(shù)字特征以及有效熱膨脹系數(shù)張量的相關(guān)系數(shù).分別對(duì)隨機(jī)因子法和蒙特卡羅法得到的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較,得出以下結(jié)論:

(1)在較低計(jì)算成本下,所提方法就可達(dá)到與蒙特卡羅法相同的精度;

(2)微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性及其相關(guān)性都會(huì)影響隨機(jī)有效熱膨脹系數(shù)張量αEI,且不同的隨機(jī)參數(shù)及其相關(guān)性對(duì)αEI的影響不同;微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)間的相關(guān)性不僅影響有效熱膨脹系數(shù)張量各元素的隨機(jī)性,而且還影響其取值范圍和相關(guān)性;αEI的相關(guān)性很高,而且隨著隨機(jī)參數(shù)相關(guān)性的增大而上升.

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(編輯:郭 華)

Stochastic homogenized thermal properties of composites with an uncertain microstructure

YOU Fang1,2,CHEN Jianjun1,MA Juan1,CAO Hongjun1
(1.School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China; 2.College of Mechanical&Electronic Engineering,Northwest A&F Univ.,Yangling 712100,China)

Random homogenization analysis of the effective thermal properties of a three-dimensional composite material with unidirectional fibers is presented by combining the equivalent inclusion method with the Random Factor Method(RFM).The randomness of the micro-structural morphology and constituent material properties as well as the correlation among these random parameters are completely accounted for,and stochastic effective thermal properties as thermal expansion coefficients as well as their correlation are then found.Results from the RFM and the Monte-Carlo Method(MCM)are compared.The impact of randomness and correlation of the micro-structural parameters on the random homogenized results is revealed by two methods simultaneously,with some important conclusions obtained.

composites;homogenization;random;correlation;effective thermal properties

TB330.1;O242

A

1001-2400(2016)05-0075-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.05.014

2015-06-26 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2015-12-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175398,11102143)

尤 芳(1973-),女,講師,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:youfang@nwsuaf.edu.cn.

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151210.1529.028.html