基于裂縫梁動力特性和自振頻率的參數敏感性

石魯寧， 閆維明， 何浩祥， 陳彥江

(北京工業大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室 北京, 100124)

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基于裂縫梁動力特性和自振頻率的參數敏感性

石魯寧， 閆維明， 何浩祥， 陳彥江

(北京工業大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室 北京, 100124)

基于Bernoulli-Euler理論，將開口裂縫梁視為變截面梁，利用模態攝動方法建立了一種求解帶任意數量開口裂縫簡支梁和連續梁動力特性的半解析分析方法。在等截面無損梁的模態子空間內將裂縫梁的變系數微分方程的求解轉化為非線性代數方程組的求解；利用無損梁的自振頻率和振型函數攝動求解裂縫梁的模態參數；通過矩形開口裂縫簡支梁和兩跨連續梁的動力試驗驗證了筆者方法的準確性；最后，利用開口裂縫梁動力特性的半解析解研究了簡支梁和兩跨連續梁的自振頻率對裂縫尺寸和位置的敏感性。

開口裂縫； 自振頻率； 振型函數； 模態攝動法； 裂縫參數

引 言

簡支梁和連續梁廣泛應用于結構工程和機械工程中，在長期或者偶然荷載作用下不可避免的會出現損傷，而損傷的直接表現形式就是裂縫。裂縫的出現將會引起結構剛度的下降，進而引起結構自振頻率、振型和阻尼等模態參數的變化。模態參數的變化還與裂縫的位置和尺寸有著密切關系[1-3]；通過模態參數的變化還可以對結構的損傷程度和位置進行識別。因此,研究裂縫梁的動力特性并分析裂縫參數對結構動力特性的影響具有重要的工程意義。

Dimarogonas等[1,4]基于斷裂力學理論提出在裂縫梁的損傷位置利用無質量等效轉動彈簧模擬裂縫，給出了彈簧剛度的計算公式，通過理論和試驗研究了裂縫對結構動力特性的影響。Khiem等[5-6]利用轉動彈簧模型和傳遞矩陣方法研究了帶任意數目裂縫梁的動力特性，分析了裂縫數量和邊界條件等對自振頻率的影響。Krawczuk等[7]將裂縫等效為無質量的轉動彈簧利用譜元方法研究了帶裂縫Timoshenko梁的動力特性。Hamed等[8]研究了帶裂縫預應力混凝土梁的非線性動力特性。Baris[9]利用轉動彈簧模型研究了的軸向力下多個開口裂縫梁的振動問題。Zheng和Kisa等[10-11]利用有限元方法通過添加附加剛度矩陣反映結構的損傷進而獲得損傷梁的自振頻率和振型，分析了裂縫位置和深度對自振頻率的影響。Cheng等[12-13]研究了呼吸裂縫梁的動力特性，但是呼吸裂縫梁的振動過程是非線性的，其分析方法與開口裂縫存在明顯的不同。Zheng等[14]利用改進的Fourier級數方法研究了帶任意數量開口裂縫Timoshenko梁的動力特性，分析了裂縫位置和尺寸對結構自振頻率的影響。Torabi等[15-16]研究了變截面裂縫梁的動力特性，并分析了裂縫參數對結構動力特性的影響。Rezaee等[17]將裂縫梁簡化為帶彈簧質量阻尼的單自由度體系，采用攝動方法研究了呼吸裂縫簡支梁的動力特性。郭智剛等[18-19]基于一階攝動理論推導了帶多條開口裂縫的歐拉梁的特征模態參數的理論計算公式，研究了簡支梁和懸臂梁自振頻率對裂縫參數的敏感性，但是文獻[17-19]的研究不適用于連續梁也未考慮裂縫形式的影響在算法上與模態攝動方法也有明顯的區別。Zheng等[20]利用改進的Rayleigh法獲得損傷梁的頻率方程，分析了裂縫參數對自振頻率的影響。冀偉等[21]對波形鋼腹板簡支箱梁豎向頻率的影響因素進行了分析。肖和業等[22]對變阻尼層復合梁動力特性進行了優化分析。綜上所述，現有的裂縫模擬方法大致分兩類：a.通過轉動彈簧模擬裂縫;b.通過截面剛度的折減。裂縫梁振動方程的求解方法有：Fourier級數法、Rayleigh-Ritz法、傳遞矩陣法、能量法、攝動法和有限元法等。受制于裂縫模擬方法和振動方程求解方法，現有的針對于帶任意數量開口裂縫連續梁的動力特性和裂縫參數對結構動力特性影響的研究尚不成熟。提出將開口裂縫梁視為變截面梁，基于模態攝動法給出了帶任意數目開口裂縫簡支梁和連續梁動力特性的半解析解，并通過試驗驗證了方法的準確性。利用裂縫梁動力特性的半解析解研究了裂縫參數對簡支梁和連續梁動力特性的影響。

1 裂縫梁振動方程

1.1 裂縫梁動力特性計算模型

等截面n跨連續梁第i跨(1≤i≤n)損傷前后模型如圖1所示。無損梁的慣性矩和面積分別為I0和A0，如圖1(a)所示。連續梁共有N個矩形開口裂縫，其中第j個開口裂縫起點距坐標原點的距離為xj，裂縫寬度為bj，高度為hj，如圖1(b)所示。

圖1 裂縫梁模型Fig.1 The modal of crack beam

(1)

連續梁由無損狀態轉變為損傷狀態慣性矩和面積的變化量為

(2)

如圖1(a)所示，無損梁的自由振動方程為

(3)

其中：EI為梁截面抗彎剛度；A為梁截面面積；ρ為密度；μ(x,t)為結構的位移。

如圖1(b)所示，損傷梁的自由振動方程為

(4)

將式(2)代入式(4),整理得

(5)

定義矩形窗函數

(6)

將窗函數式(6)代入式(5),整理得

(7)

顯然，損傷梁可看作是無損梁經過截面參數變化后得到的變截面梁。為了求解該變截面梁(損傷梁)的振動方程式(7)，可利用無損梁的模態參數攝動求解損傷梁的模態參數。

1.2 裂縫梁振動方程的求解

(8)

裂縫梁振動方程式(7)可采用變量分離方法求解，假定解的形式為

(9)

將式(9)代入式(7)，整理得

(10)

根據模態攝動理論[23]，把式(7)所表示的開口裂縫梁看作是如圖1(a)所示的等截面無損梁經過截面慣性矩I0和面積A0變化后得到的新體系，這個新體系主模態函數及特征值可以利用無損梁的模態函數進行攝動求得。假設

(11)

(12)

(13)

其中：qj為模態線性組合系數。

將式(11),(12)代入式(10)，利用式(8)進行簡化整理得

(14)

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

顯然，式(16)～(18)需要利用無損梁的前η階主模態參數進行積分獲得，第2節將詳細推導式(16)～(18)的具體表達式。

分別令式(15)中k=1,2, …,η，可獲得η個關于未知數Δλi和qj(j=1,2,…,η;j≠i)的非線性代數方程，整理簡化為矩陣形式如下

(19)

其中

其中：未知向量q的第i個元素qi=Δλi/λi。

這樣,就把開口裂縫梁的變系數微分方程式(10)轉化為非線性矩陣方程式(19)。本方法也適用于其他形式的開口裂縫梁動力特性的計算。

1.3 非線性方程組的求解

非線性矩陣方程組式(19)可采用Newton-Raphson法或遺傳算法等并行智能算法求解，筆者采用Newton-Raphson法求解式(19)。Newton-Raphson法對于初值選取非常重要，給定合理的初值不僅可以減少迭代次數,還可以獲得更加準確的收斂結果。根據式(19)的物理意義以及向量q內各組合系數的含義，給定q的初值為

q=0

(20)

迭代終止條件[19-20]可采用

(21)

其中：上角標κ為方程迭代次數；ξ為收斂誤差。

將求得的未知向量q代入式(11)和式(12)，可獲得開口裂縫梁的第i階自振頻率和振型。令式(11)和式(12)中i=1,2,…,n,重復迭代過程可獲得開口裂縫梁的前n階模態參數。

1.4 無損梁的頻率方程和振型函數

為了求解式(19),首先需要獲得等截面無損梁的自振頻率和振型函數。根據文獻[21],簡支梁的第n階頻率方程和歸一化振型函數為

(22)

(23)

其中：L為梁長。

連續梁的頻率方程和振型函數可采用如下方法獲得。取n跨等截面連續梁的第i跨梁段為研究對象，如圖2所示。

圖2 連續梁第i跨梁段模型Fig.2 The ith span beam

假設第i跨梁段起點i的轉角位θi,i+1，彎矩為Mi,i+1，終點i+1處的轉角位θi+1,i，彎矩為Mi+1,i，第i跨梁長Li。第i跨的自由振動方程為

(24)

第i(2≤i≤n-1)跨與相鄰兩跨的支座處的彎矩和轉角需滿足如下關系式

(25)

第一跨和最后一跨與其相鄰跨的彎矩和轉角需滿足如下關系式

(26)

連續梁第i跨梁段的振型函數為

Cisinh(ax)+Dicosh(ax)

(27)

其中：ω2=a4EI/m；Ai，Bi，Ci和Di為實常數，可由梁端邊界條件(位移、轉角和彎矩)計算得到。

根據圖2第i跨梁段梁端位移和彎矩分別為

(28)

將式(26)代入上述邊界條件可得

(29)

將Ai,Bi,Ci和Di代入式(27)可得

(30)

對于支座i，由于Mi=Mi,i+1=Mi,i-1，則支座i(2≤i≤n)兩側轉角可寫為

(31)

n跨連續梁相鄰兩跨轉角需滿足θi,i-1=θi,i+1(2≤i≤n)，則由式(31)可得

(32)

取

整理式(32)得

(33)

將式(33)整理成矩陣形式，并利用n跨連續梁兩端的彎矩M1=0，Mn+1=0，簡化得

(34)

其中：M0=[M2,M3,…,Mn]T;

對于n跨連續梁在任意激勵作用下，式(34)必存在非零解，則有

(35)

式(35)為n跨連續梁的頻率方程。將ωi代入振型方程組式(30)即可求得n跨連續梁的第i階振型。筆者給出兩跨和三跨連續梁的振型函數表達式。

兩跨連續梁第n階振型函數

(36)

三跨連續梁第n階振型函數

(37)

通過上述方法可獲得n跨連續梁的頻率方程和振型函數的表達式。將振型函數和自振頻率代入式(16)～(18)通過求解即可獲得非線性矩陣方程各系表達式。僅以帶任意數量矩形開口裂縫簡支梁為例給出了各系數的計算方法和具體表達式。

2 矩形開口裂縫簡支梁系數的計算

2.1 系數mk的計算

將簡支梁的振型函數式(23)代入式(16)積分,得到系數mk值為

(38)

2.2 系數Δkki的計算

根據文獻[23]，式(17)可簡化為

(39)

將式(2)代入式(18)，得

(40)

將式(23)代入式(40),積分可得

(41)

2.3 系數Δmki的計算

將式(2)代入式(18)，得

(42)

將簡支梁振型函數式(23)代入式(42),積分可得

(43)

將系數mk，Δkki和Δmki值代入非線性矩陣方程組式(19)，通過求解式(19)即可獲得開口裂縫梁的模態參數。對于兩跨和三跨裂縫梁,需將振型函數式(36)和式(37)代入式(16)～(18),按同樣的方法進行分段積分,即可獲得系數mk，Δkki和Δmki值。

3 試驗驗證

通過矩形截面簡支梁和兩跨連續梁的動力試驗對本方法獲得的開口裂縫梁動力特性半解析解的準確性進行驗證。鋼梁截面為5 cm×5 cm，梁長為1.8 m；材料參數采用試驗值，彈性模量為195 GPa，鋼材密度為7 830 kg/m3。利用該鋼梁同時做1.7 m簡支梁和0.85 m+0.85 m兩跨連續梁的動力試驗。在簡支梁和兩跨連續梁動力試驗的各個工況中7個輕質加速度傳感器布置位置不變。試驗中首先用橡膠錘施加激勵以獲取簡支梁的振動響應，然后將中間支座固定于簡支梁跨中位置用同樣的方法采集兩等跨梁的振動響應。裂縫采用切割機切割產生，首先在主裂縫位置分級切割，然后在次裂縫處分級切割。簡支梁和兩跨連續梁的高跨比分別為0.029 4和0.058 8，顯然試驗梁的高度遠小于跨度屬于Bernoulli-Euler梁，在裂縫梁動力特性計算中可以忽略轉動慣量和剪切變形的影響。裂縫位置和傳感器布置如圖3(a)所示，簡支梁和兩跨連續梁的試驗照片如圖3(b)和3(c)所示。

試驗采用錘擊激勵方式，裂縫采用切割機切割產生，信號采樣頻率為1 000 Hz。裂縫尺寸和試驗工況如表1所示。圖4為工況2簡支梁和兩跨連續梁的加速信號和頻譜圖。

將實測加速度信號進行傅里葉變換獲得各工況試驗梁的自振頻率；利用Matlab軟件編程求解非線性矩陣方程組式(19)。簡支梁和兩跨連續梁在不同

表1 裂縫尺寸和試驗工況表 (單位：mm)

圖3 試驗梁圖Fig.3 Test beam

圖4 試驗梁振動信號處理Fig.4 The test results of signals

工況下的自振頻率實測值和本方法計算值如表2,3所示。其中，簡支梁在工況1下實測獲得的結構1階和2階自振頻率分別為39.10和156.40 Hz；兩跨連續梁在工況1下實測獲得的結構1階和2階自振頻率分別為156.10和243.87 Hz。

表2 簡支梁自振頻率(單位：Hz)

表3 兩跨連續梁自振頻率(單位：Hz)

由表2,3可知，攝動方法求得的矩形開口裂縫簡支梁和兩跨連續梁的前兩階自振頻率與實測值較接近，隨著損傷程度的增加攝動絕對誤差稍有增大，但相對于損傷引起的頻率變化量而言這種計算誤差是比較小的，在實際工程中是可以接受的；當η=35時，攝動方法的最大誤差僅有0.36%，當η=15時，最大誤差也僅有1.01%。這表明本研究方法可以較準確地獲得開口裂縫梁的模態參數。隨著η值的增大攝動法計算結果趨向于實測值，理論上當η取值越大，計算結果越接近于真實值。筆者計算結果總是由較大值趨向于實測值；分析認為該方法屬于Ritz法，計算結果總大于結構的真實值，計算精度取決于η的取值。本方法可較準確地獲得開口裂縫梁的動力特性。

4 單裂縫對自振頻率的影響

圖5 裂縫深度對自振頻率的影響Fig.5 Influence of crack depth on natural frequency

以試驗梁為例，分析裂縫參數對簡支梁和兩跨連續梁自振頻率的影響。假定開口裂縫寬度為15 mm，定義第i條裂縫的相對深度為hi/h，相對位置為xi/L，頻率比為f′/f；h為梁高，L為梁長，f′為損傷梁自振頻率，f為無損梁自振頻率。圖5給出了簡支梁(x1/L=0.5)和兩跨連續梁(x1/L=0.25)在跨中位置出現損傷，裂縫深度對裂縫梁前4階自振頻率的影響。由圖5可知，簡支梁跨中裂縫對第2，4階自振頻率幾乎無影響，兩跨梁跨中裂縫對第3階自振頻率幾乎無影響。分析認為裂縫位置對自振頻率的影響與振型函數值有內在的聯系，當裂縫位于振型的反彎點位置時，裂縫對該階自振頻率幾乎無影響，如圖5簡支梁的第2，4階自振頻率和兩跨梁的第3階自振頻率；當裂縫位于振型的峰值處時，對該階自振頻率的影響較大，如圖5簡支梁的第1，3階自振頻率和兩跨梁的第1，2階自振頻率。隨著裂縫深度的增加各階自振頻率相應降低，其頻率的變化量還與裂縫的位置有關。

當裂縫相對深度為h1/h=0.3時，裂縫位置對簡支梁和兩跨連續梁自振頻率的影響如圖6所示。分析認為簡支梁裂縫位置對各階自振頻率的影響與其振型函數值存在聯系；當裂縫位于振型峰值位置對該階自振頻率的影響較大，當裂縫位于振型的反彎點附近對該階自振頻率的影響微弱。對于兩跨連續梁的奇數階自振頻率亦有此規律，但是對于兩跨連續梁的偶數階自振頻率，當裂縫位于中間支座附近時自振頻率的變化較大，分析認為兩跨連續梁偶數階振型為正對稱振型，中間支座處轉角為零，因此可將兩跨梁簡化為如圖7所示結構計算其偶數階振型。當裂縫位于兩跨梁中間支座附近時，相當于圖7梁體的固定端附近出現損傷，顯然對自振頻率的影響較大，本結論適用于偶數跨連續梁的偶數階自振頻率對裂縫參數的敏感性分析。通過上述分析可知,當偶數跨連續梁對稱軸處梁體出現損傷時，利用頻率對損傷程度進行評判時，建議采用偶數階自振頻率而不宜采用基頻。

單個矩形裂縫深度和位置對簡支梁和兩跨連續梁自振頻率的影響，如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出,不同裂縫深度和位置對簡支梁和兩跨連續梁前四階自振頻率的影響。

圖8 簡支梁裂縫深度和位置對自振頻率影響Fig.8 Influence of crack location and crack depth on natural frequency of simply supported beam

圖9 兩跨梁裂縫深度和位置對自振頻率影響Fig.9 Influence of crack location and crack depth on natural frequency of two span beam

通過研究多個裂縫對簡支梁和兩跨梁自振頻率的影響，結果表明裂縫數量的變化并沒有改變裂縫參數對自振頻率的影響規律。本方法也適用于其他裂縫形式損傷梁動力特性的求解；將損傷梁截面慣性矩和面積的函數表達式代入式(16) ～(18)進行積分，獲得參數mk，Δkki和Δmki值，通過求解式(19)即可獲得裂縫梁的模態參數。

5 結束語

基于Bernoulli-Euler理論，將開口裂縫梁視為變截面梁，利用模態攝動方法獲得了帶任意數量開口裂縫簡支梁和連續梁動力特性的半解析解。給出了等截面連續梁動力特性的解析解，推導了非線性代數方程組系數矩陣的具體表達式。通過矩形開口裂縫簡支梁和兩跨連續梁的動力試驗驗證了本方法的準確性。利用開口裂縫梁動力特性的半解析解研究了簡支梁和兩跨連續梁的自振頻率對裂縫尺寸和位置的敏感性。不同的裂縫的深度和位置對結構模態參數的影響也是不同的。通常隨著裂縫深度的增加，自振頻率會出現下降，其變化規律與振型函數值有關；但自振頻率的變化量與裂縫出現的位置有著密切關系。當偶數跨連續梁對稱軸處梁體出現損傷時，利用頻率對損傷程度進行評判時，建議采用偶數階自振頻。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.05.010

國家自然科學基金資助項目(51378039，51378037，51478024)

2014-08-21；

2014-10-22

TU311.3; TH82

石魯寧，男，1987年5月生，博士生。主要研究方向為結構振動與健康監測。曾發表《帶任意附加質量的變截面彈性支承梁動力特性的解析解》(《工程力學》，2016年第33卷第1期)。

E-mail: shiluning1987@163.com

簡介： 閆維明,男，1960年5月生，博士、教授。主要研究方向為結構監測及控制。

E-mail: yanwm@bjut.edu.cn