直動式溢流閥的分岔分析與實驗*

馬 威， 馬 飛， 周志鴻， 耿曉光

(北京科技大學機械工程學院 北京, 100083)

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直動式溢流閥的分岔分析與實驗*

馬 威， 馬 飛， 周志鴻， 耿曉光

(北京科技大學機械工程學院 北京, 100083)

為了改善廣泛應用的直動式溢流閥的顫振行為，考慮油液壓縮性、管道彈性和閥芯碰撞閥座時的能量損失，建立了溢流閥無量綱形式的數學模型。以4種不同的彈簧預壓縮量，作出了相位和向量場分布圖，得到了系統的穩定平衡狀態。應用非光滑動態系統理論和計算軟件MATLAB，畫出了單參數和雙參數分岔圖，發現系統存在Hopf分岔、極限環鞍結點分岔、廣義Hopf分岔和尖點分岔等分岔現象。搭建了測試平臺，得到了閥芯位移分岔圖和頻譜瀑布圖，對數學模型進行了實驗驗證。結果表明，小流量時為混沌或周期碰撞震蕩，增大流量可改善閥芯顫振行為，為周期非碰撞震蕩或穩定平衡狀態。此研究工作為直動式溢流閥的失穩機理和顫振行為提供了理論依據。

溢流閥； Hopf分岔； 極限環鞍結點分岔； 廣義Hopf分岔； 尖點分岔

引 言

直動式溢流閥是液壓系統中不可或缺的壓力控制元件，用來防止系統壓力過載，然而因為復雜的流固耦合作用，溢流閥往往會趨于失穩并發生自激振蕩的現象。溢流閥穩定性理論分析研究取得了大量成果。張懷亮等[1]建立了溢流閥的Simulink仿真模型，分析了基礎振動及結構參數對溢流閥動態特性的影響規律，發現調定壓力波動幅值隨基礎振動的振幅增大而線性增大。劉銀水等[2]針對海水液壓介質的特點，設計了一種直動式水壓溢流閥，在仿真分析的基礎上, 得到閥的主要結構參數即介質、運動質量、阻尼以及管路容積對閥動態響應特性的影響。吳珊等[3]采用現代控制方法獲得了溢流閥的狀態方程，并結合工程控制理論獲得傳遞函數模型，采用Routh穩定性判據對閥的穩定性做出了判定，并進行了相對穩定性分析，通過仿真分析獲得了該閥的動態特性曲線以及上升時間等動態特性參數，同時對閥在脈動流量輸入條件下的動態性能進行了仿真。張天霄等[4]應用振動理論對液壓沖擊情況下的液壓溢流閥進行了振動分析，建立了溢流閥的振動模型，研究了溢流閥的固有頻率和瞬態響應問題，并進行了仿真驗證。Eyres[5]建立了具有線性彈簧和非線性阻尼的溢流閥的閉環回路系統，用非光滑數值延拓法來跟蹤穩定和不穩定解，發現閥芯與閥座的碰撞導致擦邊分岔，另外，用數值仿真提出了不變環面的擦邊現象。Izuchi[6]發現溢流閥的動態失穩由閥芯運動和入口管內壓力波交互作用產生，延長入口管長度可減小閥芯的震蕩運動，通過數值仿真預測了入口管長度和出口區面積對溢流閥穩定性的影響。Li[7]建立了三維可壓縮湍流模型，用于獲取流量和溫度場，通過有限體積法來解流動和傳熱控制方程，結果表明，隨著閥門開度的增大，油液作用于閥芯上的軸向力先是減小然后增大。

得益于計算流體動力學(computational fluid dynamics，簡稱CFD)的發展，一些研究成果采用了先進的CFD解算器。陳青等[8]應用軟件Fluent,對三級同心溢流閥模型的多種工況進行了仿真計算和可視化研究，給出了錐閥閥腔內的速度場、壓力場分布圖。Srikanth等[9]對回路緊急切斷閥進行了移動網格化的二維流量分析。在溢流閥穩定性相關的實驗研究工作中，楊忠炯等[10]建立了溢流閥在強振動環境下的動力學仿真模型，結果表明，當系統穩定時，系統會衰減振動至穩定，但當干擾幅值超過臨界值時，系統會進入極限環的吸引域，產生周期性振動，通過增加閥口直徑、彈簧剛度和減小閥芯半錐角，可增強溢流閥的抗干擾能力。

針對以上溢流閥顫振相關的實驗研究工作的不足，筆者首先分析了液壓回路中溢流閥的結構特點，考慮油液壓縮性、管道彈性和閥芯碰撞閥座時的能量損失，建立了溢流閥的無量綱動力學數學模型；然后，分別設定4種開啟壓力，得到不同初值在時間序列上的閥芯運動軌跡，應用非光滑動態系統理論，畫出單參數和雙參數分岔圖，理論分析Hopf分岔、極限環鞍結點分岔、廣義Hopf分岔和尖點分岔等分岔現象；最后，通過動態測試，對數學模型的正確性和分岔分析的可行性進行了驗證。

1 數學模型

圖1描述了系統結構[11]。液壓油由動力部分提供，包括齒輪泵和附加安全閥用于保護系統，動力部分提供給系統流量Qpump。然而，由于液壓油的壓縮性和管道的彈性，進入溢流閥的流量和從泵流出的并不同。為了模擬壓縮效應，增加了一個假設的腔室，其體積等于系統中的油液體積，這個腔室代表著系統的剛度。

圖1 液壓系統結構圖Fig.1 Schematic diagram of hydraulic system

腔室的質量守恒公式如下

(1)

其中：ρ為液壓油密度(一般來說，液壓油的密度隨溫度的升高而略有減小，為了簡化建模過程，文中假設其為常量)；V為系統油液總體積；Qpump為泵出口流量；Qin為進入溢流閥的流量[12]。

(2)

(3)

其中：pvalve為溢流閥兩側的壓差；pin為溢流閥入口壓力；pout為溢流閥出口背壓。

假設閥芯部分開啟，閥芯和閥座之間的通流面積由圖2中的垂直距離h得到

其中：通流直徑d和閥座孔徑D由圖2定義；α為半錐角。

通過h=xsinα替代，最終得到

(4)

圖2 閥結構Fig.2 Geometry of the valve

根據圖2中的閥結構，并假設油液是正壓的，也就是它的密度只取決于壓力，式的左側可寫成

閥芯的動力學用牛頓第二定律描述，結合碰撞恢復系數r用來描述碰撞之后的能量損失。系統行為用常微分方程表示如下

(5)

(6)

其中：x和v分別為閥芯的位移和速度；ξ為阻尼系數；s為彈簧剛度；m為移動部分質量；x0為彈簧預壓縮量；A為系統壓力作用于閥芯底部的面積；pvalve為溢流閥兩側的壓差；E為考慮油液壓縮性和油管彈性之后的系統等效彈性模量；Qpump為泵出口壓力；V為系統全部油液體積；Cd為閥入口處的流量系數；A(x)為閥芯部分開啟時的有效通流面積；ρ為液壓油密度。

式(4)中表達的A(x)非常復雜，將它線性化并寫成A(x) =c1x，其中c1=sinαπD為線性系數，描述了通流面積和閥芯位移之間的線性關系。因為實驗中閥芯位移極小，可以認為線性化非常精確地描述了實際情況。

式(6)表示一次碰撞，v-為碰撞前的速度，v+為碰撞后的速度，r為碰撞恢復系數。

式(4)可寫成無量綱形式

(7)

(8)

表1為實驗室測得的溢流閥物理參數，用于計算無量綱參數，當開啟壓力popening= 1 MPa，得到κ= 1.23，β= 17.57，δ= 22.67。

表1 溢流閥物理參數

2 分岔分析

無量綱流量q是最容易改變的參數。首先，利用MATLAB軟件畫出以q作為自由參數的單參數分岔圖；其次,溢流閥的預設壓力也容易改變，無量綱預壓縮參數δ決定著閥的開啟壓力，因此通過同時改變q和δ得到雙參數分岔圖，揭示溢流閥的震蕩特性。

2.1 相位和向量場分布圖

改變無量綱預壓縮參數δ的值，即調節溢流閥的設定值，可得到不同初值在時間序列上的閥芯運動軌跡，如圖3所示。

圖3 δ分別為40，30，20和10時，時間序列上的閥芯運動軌跡Fig.3 Trajectories of valve poppet time history for δ = 40, 30, 20, 10

取不同的初值，不考慮瞬態的影響，在時間足夠長的情況下，由圖4(a)可知，當δ= 40時，閥芯將最終穩定在y1= 8.606，或者周期震蕩；由圖4(b)可知，當δ= 30時，閥芯將以兩個振幅做周期震蕩；由圖4(c)可知，當δ= 20時，閥芯將最終穩定在y1= 10.81；由圖4(d)可知，當δ= 10時，閥芯將最終穩定在y1= 12.616。

圖4 相位和向量場分布圖 Fig.4 Phase and vector field diagrams

2.2 Hopf分岔

為了畫出分岔圖，以q作為自由參數，對于每一個q值以一系列不同的初始條件運行仿真，記錄下瞬變消失后的點。選擇平面y2= 0作為三維相空間的二維Poincare截面。

圖5 δ = 22.67時單參數分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram for δ = 22.67

下面理論驗證Hopf分岔點。當q= 26時，考察系統(7)的平衡點

(9)

線性化系統得雅克比矩陣為

圖6 復平面內特征值λ1，λ2的運動軌跡Fig.6 The trajectories of eigenvalues λ1 and λ2 on complex plane

2.3 極限環鞍結點分岔

圖7 δ = 40時的單參數分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram for δ = 40

圖8 δ = 30時的單參數分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram for δ = 30

2.4 廣義Hopf分岔

圖9所示為雙參數分岔圖，H表示Hopf分岔曲線，LPC1和LPC2表示極限環鞍結點分岔曲線，CPC表示尖點分岔，GH表示廣義Hopf分岔。LPC1與H相交于GH點，坐標為(q，δ) = (28.493,25.262)；LPC1與LPC2相切于CPC點，坐標為(q，δ) = (25.065，22.831)。

圖9 雙參數分岔圖Fig.9 Two-parameter bifurcation diagram

圖10所示為廣義Hopf分岔(GH)示意圖，LPC1與H分岔曲線將參數平面分為4個區域，按逆時針方向排列分別為(1),(2),(3),(4)。區域(1)有1個穩定平衡點、1個穩定極限環和1個不穩定極限環；區域(2)有1個不穩定平衡點；區域(3)和(4)有1個穩定平衡點。

圖10 廣義Hopf分岔(GH)示意圖Fig.10 Qualitative diagram for generalized Hopf bifurcation(GH)

2.5 尖點分岔

如圖11所示的尖點分岔(CPC)示意圖，LPC1與LPC2分岔曲線以“楔形”將參數平面分為兩個部分。在區域(1)，“楔形”內有3個平衡點，2個穩定，1個不穩定；在區域(2)，“楔形”外有1個穩定平衡點。

圖11 尖點分岔(CPC)示意圖Fig.11 Qualitative diagram for cusp bifurcation of cycles (CPC)

3 動態測試

為了驗證動力學模型的正確性，搭建測試平臺如圖12所示。動力部分由電機1和泵2提供，安全閥3用來防止系統過載，壓力傳感器5、流量傳感器6和閥芯位移傳感器8輸出信號進入數據采集儀9，由計算機10顯示和存儲。動態測試在預設壓力popening= 1 MPa(彈簧預壓縮量x0= 5 mm)下進行。從低流量開始，通過比例調速閥4逐步增大到最大流量(約120 L/min)，記錄30組泵出口流量Qpump情況下的溢流閥入口壓力pin和閥芯位移x。

圖12 測試平臺Fig.12 Test platform

圖13 緩慢改變流量的測試分岔圖Fig.13 Measured bifurcation diagram of the system while slowly varying the flow rate

圖14 頻譜瀑布圖Fig.14 Waterfall diagram for the spectra

圖13為緩慢改變泵出口流量Qpump的測試分岔圖。圖14為溢流閥閥芯振動幅值隨泵出口流量Qpump變化的頻譜瀑布圖。圖15(a)～(d)為4個典型的閥芯時間序列上的位移和頻譜圖。

從圖13和圖14可以看出，流量極小時，閥芯是不穩定的，呈現出混沌碰撞震蕩的運動形式，典型軌跡如圖15(a)所示(Qpump=8 L/min)；增大流量，振蕩幅值和周期逐漸增大，典型軌跡如圖15(b)所示(Qpump=40 L/min)，基頻fm=0.585 4 Hz；流量達到95 L/min，即擦邊分岔，閥芯離開閥座，非碰撞周期振蕩開始，典型軌跡如圖15(c)所示(Qpump=100 L/min)，基頻fm=0.396 2 Hz；增大流量，振蕩幅值開始減小，在臨界值102 L/min之后，閥芯處于穩態平衡，典型軌跡如圖15(d)所示(Qpump=108 L/min)。

圖15 閥芯時間序列上的位移和頻譜圖Fig.15 Displacement time histories and spectrum diagram

4 結束語

1) 建立了溢流閥的數學模型，以不同的預壓縮參數δ作出系統相位和向量場分布圖，通過以q作為自由參數作出單參數分岔圖，發現了Hopf分岔，并進行了理論驗證。

2) 當δ= 40和30時，出現了極限環鞍結點分岔現象。同時改變q和δ得到了雙參數分岔圖，分析了廣義Hopf分岔和尖點分岔對參數平面區域的劃分。

3) 實驗證明，小流量時閥芯是不穩定的，呈現出混沌的運動形式。增大流量到20 L/min，系統進入周期性碰撞運動；直到95 L/min，當閥芯離開閥座，擦邊分岔之后，非碰撞周期振蕩開始；102 L/min之后，Hopf分岔出現，閥芯變得穩定。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.020

*國家自然科學基金資助項目(51274021)；"十二五"國家科技支撐計劃資助項目(2013BAB02B07)

2015-09-23；

2016-01-19

TH137.5

馬威，男，1987年5月生，博士生。主要研究方向為液壓傳動與控制。曾發表《基于AMESim的鑿巖鉆車防卡閥的建模與仿真分析》(《礦山機械》2014年第42卷第11期)等論文。

E-mail: maweiustb@163.com