變截面桿中縱波傳播特性的實驗研究*

魏義敏， 楊世錫， 甘春標

(浙江大學機械工程學院 杭州，310027)

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變截面桿中縱波傳播特性的實驗研究*

魏義敏， 楊世錫， 甘春標

(浙江大學機械工程學院 杭州，310027)

以往的理論研究結果表明，泊松效應和剪切變形對桿件中縱波的傳播特性有著不可忽略的影響，縱波的傳播特性也與桿件兩端橫截面面積比值的大小相關。為了對理論進行驗證，搭建了實驗系統并進行相關實驗。實驗結果表明：桿件材料的泊松效應、剪切變形使桿的截止頻率變大；同時，變截面桿端面面積比值越大，截止頻率越高。實驗結果驗證了以往的理論預測結果，幫助獲取真實的振源振動信號，同時也為狀態監測和降噪提供依據。

縱波； 變截面桿； 泊松比； 剪切變形； 傳播特性

引 言

變截面桿是一種常見部件，振動在其中以波的形式進行傳播。對于桿來說，波成分以縱波為主，其他類型的波通常可以忽略[1]。桿的振動問題牽涉到結構設計、力學及降噪等多方面的內容，往往伴隨隨機性、非均一性及噪聲干擾等問題，實際工作情況復雜。波在通過桿等部件后，其成分可能會發生變化，在某些情況下，需要知道準確的振動信號來進行狀態監測或者降噪。狀態監測通常采用的是信號的幅值量等，同時，相位信號也可以提供豐富的信息[2-3]。桿等部件的振動會引起噪聲，某些設備如艦船等對噪音有一定的要求，可以在噪音的傳播路徑上進行控制和抑制[4]。因此，有必要對變截面桿中縱波的傳播特性進行研究。

變截面桿中彈性波傳播特性研究一直受到國內外學者的關注，Krawczuk等[5]將桿的基本波動理論、Love理論以及Mindlin-Herrmann理論等幾種波動理論進行了分析對比，并利用波數對縱波的傳播特性進行了分析。皮鈞等[6]根據回形變截面桿的結構特點和振動傳播特性, 研究了縱波在變幅桿圓盤中發生的模態形式變化，并進行了實驗。楊永軍等[7]對波在輸電線路中的傳播特性進行了分析，得到了彈性波在輸電線傳播的群速度頻散曲線，對不同的傳播模態及頻散特性進行了討論。張再云[8]對彈性波在不同介質中的傳播特性以及穩定性進行了研究。Guo等[9]對一組非均一桿中波的傳播情形進行了研究，并對波在非均一桿傳播時的截止頻率進行了分析。Gaul等[10]采用基于能量的模型對桿與桿之間的耦合進行了研究，并進行了實驗驗證。Benatar等[11]對波黏彈性材料桿中相速度以及衰減進行了分析，并以某桿為例進行了實驗驗證。Mahata等[12]從實驗的角度采用了不同的基于最小均方根的方法對黏彈性桿的彈性模量和泊松比進行了分析。對于縱波來說，影響其在變截面桿中傳播的因素不僅包括桿材料的物理特性、桿的幾何參數，也包括泊松效應、剪切變形等。

文獻[13]基于基本波動理論、Love波動理論以及Mindlin-Herrmann波動理論，對桿材料的泊松比、剪切變形以及截面變化方式、端面面積比進行了分析研究，并且利用有限元方法進行了仿真分析，發現泊松效應和剪切變形的影響不可忽略，同時桿兩端橫截面面積比越大，變截面桿的截止頻率越高。筆者在此基礎上，搭建實驗臺，分析縱波傳播時的幅值和相位等傳播特征，對文獻[13]的理論分析和有限元仿真的結果進行進一步的驗證。

1 理論介紹

研究縱波在變截面桿中的傳播特性時，通常假設桿內所有點的運動均為簡諧運動。首先，利用基本波動理論、Love波動理論以及Mindlin-Herrmann波動理論，對桿內的點進行分析，求出桿的運動方程；其次，建立桿的傳遞矩陣；然后，對傳遞矩陣進行分析，求解其特征值，分析縱波向前傳播時的幅值和相位特點；最后，推知縱波在變截面桿中的傳播特性。

1.1 運動方程的建立

圖1為變截面桿的示意圖，桿的橫截面面積沿著中性軸變化。基本波動理論中，假設桿上所有的點只進行縱向運動，因此只存在縱向位移，并且位于同一垂直于中性軸的橫截面上，所有的元素具有相同的位移。Love波動理論認為，由于泊松效應，桿上的每一個點除了縱向運動，還同時存在一個徑向速度[5]。

圖1 變截面桿示意圖Fig.1 A schematic of a rod with variable cross-section

(1)

如果令γ=0，則式(1)即為由基本波動理論推導得出的運動方程。

由于泊松效應，桿上的任一點不僅存在縱向位移，還具有一個徑向速度。事實上，這個徑向速度還將進一步導致每個點具有獨立的剪切變形。在Love波動理論的基礎上考慮剪切變形即為Mindlin-Herrmann理論[5]。假設桿上所有點的運動為簡諧運動，則有u(x,t)=U(x)eiωt,ψ(x,t)=Ψ(x)eiωt。其中，ψ(x,t)為剪切變形。由Mindlin-Herrmann理論推導得出的桿的運動方程[13]為

(2μ+λ)A(x)U(x),xx+(2μ+λ)A(x),xU(x),x+

λA(x),xΨ(x)+λA(x)Ψ(x),x=

-ρA(x)ω2U(x)

(2)

(3)

其中：I(x)=∫A(x)r2dA；μ=E/(2(1+γ))；λ=γE/((1+γ)(1-2γ))。

1.2 傳播特性

上面給出了3種不同波動理論下變截面桿的運動方程，根據運動方程可以對傳播特性做進一步分析。通常，桿上所有點的運動狀態可以通過狀態向量Y=[φuMV]T來表示，其中：φ，u，M，V為廣義物理量，這些廣義物理量一般是位移、斜度、力和力矩等。如圖1所示，設縱波從變截面桿的某一位置O開始傳播，通過變截面桿傳播到位置S處，該傳播過程可以寫成

YS=TYO

(4)

其中:T為傳遞矩陣。

傳遞矩陣T的特征值就包含了波的傳播特征信息[14]。設T的特征值為λi，λi可以寫成指數次冪的形式

(5)

其中：μi為傳播常數；αi為衰減因子，反應了波傳播過程中的幅值信息；βi為相位角，反應了波在傳播時的相位信息。

如果某頻段內波成分相位角為0或者±π，則表示該波成分在向前傳播時與反射的波相遇并且相互抵消，該波成分不能通過該介質，該頻段稱為阻帶；反之，波成分能夠通過的頻率范圍稱為通帶；通帶和阻帶的臨界頻率稱為截止頻率，文中用ωc來表示。

建立傳遞矩陣時，對基本波動理論和Love波動理論來說，通常選取[UU,x]T為傳遞矩陣的基向量，而對Mindlin-Hermann波動理論來說，通常選用[UΨU,xΨ,x]T作為傳遞矩陣的基向量。對傳遞矩陣T的特征值進行求解，就可得知縱波的傳播特性。可以求出，由基本波動理論推知的縱波的傳遞矩陣的特征值為

(6)

(7)

可以求出，由Love波動理論推知的縱波的傳遞矩陣的特征值為

(8)

由式(8)可知，特征值是否存在非0虛部，主要取決于指數中的根號項的運算結果。如令(P-K)2-4ρω2LW≥0，則λ1,2只有實部，虛部為0。對不等式進行化簡求解并且考慮到ω≥0，因此，桿的截止頻率為

(9)

頻率低于ωc的波成分，將不能通過變截面桿；而頻率高于ωc的波成分則可以通過。同樣可以得出，變截面桿中縱波傳播時的阻帶為[0，ωc]。由式(9)可知，截止頻率不僅與桿材料的物理參數有關，同時也與桿兩端面截面積比值的大小相關，M越大，ωc越大。

可以求出，由Mindlin-Herrmann理論推導的傳遞矩陣的特征值為

(10)

(11)

(12)

同樣可得，變截面桿中縱波傳播時的阻帶為[0，ωc]。由式(12)可知，桿的截止頻率不僅與桿本身有關，也與桿兩端面截面積比值的大小相關。截面面積變化越大，則截止頻率也越大。

3種波動理論推導得出的通帶、阻帶以及截止頻率均不相同，需要對其進行分析研究，以確定何種理論更適合用來分析縱波的傳播特性。

2 實驗系統設計及可行性分析

2.1 實驗內容及實驗系統設計

實驗內容設計為兩個部分：a.驗證變截面桿是否存在截止頻率，泊松效應和剪切變形是否存在影響；b.驗證截止頻率與桿截面面積的變化方式以及桿端面面積比的關系。選用2根截面面積變化方式不同的變截面鋁桿以及1根等截面鋁桿作為實驗對象，見圖2。首先，通過變截面桿與等截面桿的對比分析，研究變截面桿的截止頻率；然后，通過不同變截面桿的對比分析，分析截面變化方式對傳播特性的影響。2根變截面桿為指數變截面桿A(x)=A0e0.693 1x/L和多項式變截面桿A(x)=A0(1+2x/L)0.630 9，變截面桿端面的寬度保持不變，高度隨著x的變化而變化。兩變截面桿端面面積A0均為0.02 m(寬)×0.02 m(高)，桿長度L相同且均為1 m。對于這兩種變截面情形來說，均滿足A(L)=2A(0)。等截面桿的端面尺寸為0.02 m(寬)×0.028 9 m(高)，其長度也為1 m，與指數變截面桿具有相同體積。由機械手冊可以查得，鋁的密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為72.7×109Pa，泊松比為0.3。

圖2 變截面桿Fig.2 The rods with variable cross-section

實驗系統以隔振臺為基座，由桿、支撐架、力錘、加速度傳感器、數據采集系統以及其他附件組成，如圖3所示。實驗系統中，2個支撐架安裝在隔振臺上，桿通過連接在支撐架上的橡皮繩被懸掛在支撐架上。力錘用來敲擊桿的端面，模擬縱波的產生。加速度傳感器安裝在桿的另一端，可以測量出桿的縱向加速度。信號采集系統用來采集力錘和加速度傳感器的信號，并對數據進行本地存儲。實驗時，力錘敲擊桿的小端，模擬產生入射的縱波，縱波產生后，便沿著桿的方向向前傳播，當縱波傳播到大端后，此時縱波的信號會被加速度傳感器所獲取。與此同時，信號采集系統從力錘敲擊開始，同步采集力錘以及加速度傳感器的信號，并進行本地存儲。在獲取力錘和加速度傳感器的數據后，就可以對其進行分析，對縱波在變截面桿中的傳播特性進行研究。

圖3 實驗系統框圖Fig.3 A schematic of the experiment setup

2.2 實驗的可行性分析

進行理論分析時，桿模型邊界條件為雙端自由，且縱波已經在桿中向前傳播。因此，實驗中也需要使桿的邊界條件為雙端自由，產生縱波，并且讓其沿桿進行傳播。此外，為了對縱波進行分析，還需要數據采集系統對縱波信號進行精確采集，便于后續分析。

實驗系統中，2個支撐架被固定在隔震臺上，支撐架并沒有和桿直接接觸，而是通過橡皮繩進行彈性連接,如圖4所示。由于橡皮繩具有良好的彈性，且在進行實驗時，桿的運動位移小，可以近似認為桿的運動狀態未受到橡皮繩的影響，桿的自由度保持不變。因此，可以認為兩端懸掛的支承方式滿足雙端自由的邊界條件。

圖4 支撐架Fig.4 The support frame

實驗系統中選用的力錘自帶傳感器，敲擊時可以輸出力的大小信號。力錘配有4種不同材質的錘頭，分別是鋼錘頭、鋁錘頭、尼龍錘頭以及橡膠錘頭，每種錘頭敲擊時產生的信號頻率范圍均不同。實驗中選取了尼龍錘頭，如圖5所示。尼龍錘頭激發的信號頻率，可以覆蓋本研究中通帶、阻帶的頻率范圍，力錘在實驗中用來敲擊桿的端面，模擬縱波的產生。

圖5 力錘Fig.5 The force hammer

力錘敲擊桿端面后，縱波沿著桿向前傳播，當縱波傳播到另一端時，會被安裝在端面的加速度傳感器所獲取，實驗中選用的加速度傳感器的量程為0～100g，可以滿足測量需求，如圖6所示。數據采集系統選用了LMS數據采集系統，它由數據采集器以及采集器上位機兩部分組成，如圖7所示。該數據系統采樣頻率最高可達204.8 kHz，并且可以對多個通道進行同步采集及分析，能夠滿足對縱波的采集和分析要求。

圖6 加速度傳感器Fig.6 The acceleration sensor

圖7 LMS數據采集系統Fig.7 The LMS data acquisition system

通過以上分析可知，本實驗系統滿足了理論分析時的相關條件，可以用來研究變截面桿中縱波的傳播特性。

3 實驗與理論分析對比

3.1 理論分析結果

第1節推導出了3種波動理論下縱波的傳播常數以及截止頻率，將第2節中變截面桿的相關參數相應地代入式(6)、式(8)、式(10)和式(11)，便可以繪制縱波在變截面桿中的傳播常數圖。由于指數變截面方式和指數變截面桿傳播常數結果相同，筆者僅給出了指數變截面桿的傳播常數圖，如圖8所示。圖8給出了衰減因子以及相位角和波成分頻率的對應關系，從圖中可以看出，相位角從“零”變為“非零”的轉折點和衰減因子的轉折點對應。從截止頻率的定義可知，該點對應的頻率即為截止頻率。相位角為零時，表示對應的波成分與反射回來的波成分相遇，相互抵消，無法通過桿進行傳播。變截面桿具有類似“低通濾波器”的特性，處于阻帶頻帶范圍內的波成分無法通過，這一特性可以加以利用來對“噪聲”進行抑制，也為狀態監測提供了依據。

圖8(a)中由基本波動理論推導得出的阻帶為[0,260]，截止頻率為260 Hz；圖8(b)中由Love波動理論推導得出的阻帶為[0,280]，其截止頻率為280 Hz；圖8(c)中，由Mindlin-Herrmann理論推導的截止頻率為[0,340]，截止頻率為340 Hz。從阻帶的大小上看，泊松效應和剪切變形對傳播特性的影響不可忽略。

圖8 理論分析得出的傳播常數圖Fig.8 Propagation constants deduced from the theoretical analysis

3.2 實驗結果與分析

實驗中，分別對指數變截面桿、多項式變截面桿以及等截面桿進行多次實驗，并完整記錄了所有實驗的數據。利用力錘進行敲擊時，存在以下兩種情況：a.力度過大或者過小，力度過小，傳感器輸出信號信噪比低，不利于分析；力度過大，傳感器會發生過載；b.重復敲擊，在敲擊時存在2次或者多次敲擊的現象，力錘的信號出現2個或者多個峰值，對分析結果不利。上述情形下的實驗數據，不能作為實驗結果分析的數據。

力錘在每次敲擊時，敲擊力度可能不一樣，因此，筆者在對實驗數據進行分析時，以力的大小為依據，選取了5組錘擊力范圍在80～100 N之間的實驗數據進行分析。分析結果表明，盡管5組數據的時域信號不一樣，但是所求得的通帶、阻帶以及截止頻率偏差很小，誤差控制在5%以內。現以其中的一組為例進行分析說明。

圖9為經過歸一化以后力錘的時域信號圖以及快速傅里葉變換(fast Fourier transform,簡稱FFT)。由圖可看出，力錘的時域信號有效長度為0.001 s，其能量分布主要集中在頻率范圍[0,2 000]內，該范圍包含了桿的截止頻率，可以用來進行傳播特性的研究。

圖9 力錘信號分析Fig.9 Analysis for the signal of the force hammer

通過實驗發現，指數變截面和多項式變截面的桿，所得出的分析結果一致，以指數變截面桿為例給出了實驗分析結果。實驗中數據采集器采集了加速度傳感器以及力錘的信號值，對這些響應信號進行時頻分析，就可以得知縱波的傳播特性。結合各種時頻方法的分析特點及實際效果，筆者采用了短時傅里葉變換(short time Fourier transform,簡稱STFT)來進行時頻分析。通常，不能直接對響應完整的時域信號進行分析，因為其中包含了大量的反射波成分以及其他的干擾成分，需要對時域響應進行適當的截取[13]。在對信號進行截取時，信號長度如果過長，雖然頻率分辨率很高，但縱波可能已經發生多次反射；若長度過短，頻率分辨率太低，無法對理論的結果進行驗證。因此，此處截取了前0.02 s的時域信號進行分析。0.02 s的信號長度，對應的頻率分辨率可達50 Hz，雖然其中仍包含少量的反射成分，但分析發現反射成分未對分析結果造成明顯影響。

圖10 指數變截面桿和等截面桿實驗結果分析Fig.10 Comparison between the experimental results from the rods with exponentially variable cross-section and with uniform one

圖10(a)為截取的指數變截面桿的響應時域信號，信號長度為0.02 s；圖10(b)為與圖10(a)對應的STFT圖；圖10(c)為截取的等截面桿的響應時域信號，信號長度為0.02 s；圖10(d)為與圖10(c)對應的STFT圖。通過圖10(b)和(d)的對比，發現變截面桿在頻率范圍[0,360]內沒有能量分布，說明沒有波成分存在，因此可以認為，變截面桿確實存在阻帶、通帶以及截止頻率。可以看出，該頻率范圍與由Mindlin-Herrman理論推導得出的阻帶吻合，說明剪切變形和泊松效應對縱波的傳播有著不可忽略的影響。

此外，等截面桿可以看成一種特殊的端面面積比為1的指數變截面桿。從理論分析和實驗結果可知，其截止頻率為0，而變截面桿A(x)=A0e0.693 1x/L，端面面積比為2，截止頻率為360 Hz。實驗結果表明，桿兩端橫截面面積比越大，截止頻率越大。

4 結 論

1) 實驗結果表明，相較于基本波動理論和Love理論，由Mindlin-Herrmann理論模型得出的阻帶與實驗最為吻合，因此可以認為，剪切變形和泊松效應對縱波的傳播有著不可忽略的影響，同時也驗證了理論分析結果的正確性。

2) 變截面桿截止頻率與截面面積變化方式無關，但與桿兩端橫截面面積的比值有關，且橫截面面積比值越大，截止頻率越高。這一實驗結論也與理論預測結果相吻合。

3) 變截面桿具有類似“低通濾波器”的特性，這一特性幫助了解真實的振源振動信號，有利于進行狀態監測以及降噪等。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.015

國家自然科學基金資助項目(11172260，11372270，51375434)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20110101110016)；浙江省科技計劃基金資助項目(2013C31086)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(2013XZZX005)

2014-04-16；

2014-06-19

TH113.1

魏義敏，男，1986年6月生，博士生。主要研究方向為機械部件中彈性波傳播機理。曾發表《Longitudinal wave propagation in a rod with non-uniform cross-section》(《Journal of Sound and Vibration》2014，Vol.333,No.2)等論文。

E-mail：yiminwei@126.com