再談“羊車門”問題

田晨景 胡雄 王馨賢 鄭鶴鵬 蓋春樺 周華任

摘要：本文通過對“羊、車”趣味問題的思考，提出了自己的見解，并分別運用邏輯推理、條件概率方法、計算機模擬這三種方法進行了解答，進一步對問題出現不同答案的原因進行了分析，最后得出結論。

關鍵詞：羊車門;邏輯推理;條件概率;隨機模擬

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）42-0200-02

一、引言

羊車門問題出自美國《parade》雜志中一個叫作“ask marilyn”的專欄，問題表述如下：臺上有三個門，一個后邊有汽車，其余后邊是山羊。主持人讓你任意選擇其一。然后他打開其余兩個門中的一個，你看到是山羊。這時，他給你機會讓你可以重選，也就是你可以換選另一個剩下的門。那么，你換不換？這個問題在當時掀起了全球的討論熱潮，直至今日也存在著許多不同的看法。下面便是我們的一點觀點和解答方法。

二、問題的解答

下面我們用三個方法來討論這個問題。

1.邏輯推理方法。我們按照邏輯推理方法進行解答，思路如圖1所示。圖中其中括號內為事件發生的概率。

由圖1，我們可以看出：這個事件一共會出現四種情況，雖然交換得到羊和交換得到車的情況數相同，都為兩種。但每種情況出現的概率并不相同，出現這種情況的主要原因是主持人在參選者選擇車這一情況下的選擇有兩種，而這兩種選擇的概率也就退化成了。

所以我們可以得出結論：如果進行交換的參選者得到車的概率為+=，得到羊的概率為。

2.條件概率方法。設主持人打開門中為羊為事件H，則P（H）=1。

第一次選中羊為事件A，第一次選中車為事件A。

經主持人選擇后，剩下的一扇門中是羊為事件B，剩下一扇門為車為事件B。

所以，我們可以得到：

P（B）=P（A∪H）=P（A）×P（H）=×1=

P（B）=P（A∪H）=×1=

即剩下的一扇門中是羊的概率為，剩下一扇門為車的概率為。

3.計算機模擬方法。我們還可以利用計算機進行模擬實驗，（以下程序是由codeblock中的c語言進行編寫）。

程序代碼如下：

#include

#include

#include //用到了time函數

int main（）

{ int i，sheep=0，car=0，a[100000]，b[100000]，c[100000];

srand（（unsigned） time（NULL））;//用時間做種，每次產生隨機數不一樣

for （i=0;i<100000;i++）//第一種情況，1、2代表羊，0代表車。

{

a[i] = rand（） % 3;//產生0-2的隨機數

if（a[i]==1||a[i]==2）

car++;

else ?sheep++;

}

for （i=0;i<100000;i++）//第二種情況，0，1代表羊，2代表車。

{

b[i] = rand（） % 3;//產生0-2的隨機數

if（b[i]==0||b[i]==1）

car++;

else ?sheep++;

}

for （i=0;i<100000;i++）//第三種情況，0，2代表羊，1代表車。

{

c[i] = rand（） % 3;//產生0-2的隨機數

if（c[i]==0||c[i]==2）

car++;

else ?sheep++;

}

printf（"總共進行了30 0000次試驗＼n"）;

printf（"得到的結果為：＼n交換過后，贏得的獎品為車的次數為%d，贏得的獎品為羊的次數為%d＼n"，car，sheep）;

printf（"因此，得到車的概率為%f，得到羊的概率為%f"，car/300000.0，sheep/300000.0）;

return 0;

}

此程序共進行了30 0000次試驗，為使實驗更具有說服力，取三種排列各10 0000次，其中包括（羊，羊，車）、（車，羊，羊）、（羊，車，羊）。

實驗結果如下：

從這次模擬實驗中，可以得出結論，聯系以上兩種思路所得出的結果，我們不難看出當實驗次數趨于無限大時，得到車這一事件出現的頻率將接近于這一事件發生的概率，同樣，得到羊這一事件出現的頻率也會接近于它發生的概率。

三、結語

與此同時，筆者也在反復思考，那為什么會有不同的答案呢？

問題就出在這位主持人到底知不知道這三扇門后究竟都是什么呢？如果他知道，那么他抽中羊的概率顯然就是1，如果他不知道，那么這個概率顯然就不是1了，這就好比三個人一同去抓三個鬮（同樣是一輛車，兩只羊），僅僅是因為第二個抓鬮的人先打開了鬮，結果是羊，第一個人就嚷著要跟第三個人換，這無疑是有些可笑的。而我們上面的思路則是按照主持人事先已經知道了哪個門后是羊，哪個門后是車。

問題講到這兒貌似就已經結束了，但是筆者還想說一句，我們只能說交換過后你獲得車的概率更大一些，而不是一定獲得車。所以我們講概率論這門科學它只能告訴我們當一件事情發生很多次時，這件事情呈現一種什么樣的態勢，而不是告訴我們此次事情的發生會出現一種什么樣的結果。

參考文獻：

[1]周華任，劉守生.概率論與數理統計應用案例評析[M].南京：東南大學出版社，2016.

[2]張惠麗.對一道趣味概率問題的再討論[J].思茅師專學報，1996，（1）.

[3]郭之盈.談一道趣味概率問題的解答[J].數學通報，1993，（10）.

[4]祝國強.羊和車——一個有趣的概率問題[J].中國統計，2011，（5）：42-42.

[5]淑生.汽車、山羊及其他——一道概率趣題及由此引起的思考[J].自然雜志，1992，（12）：935-939.

Particular View on the Game of "Sheep and Car"

TIAN Chen-jing，HU Xiong，WANG Xin-xian，ZHENG He-peng，GE Chun-hua，ZHOU Hua-ren*

（PLA university of science and technology Institute of Science，Nanjing，Jiangsu 211101，China）

Abstract：Deeply thinking in the game of “sheep and car”，this article put forward special views，which ?is explained by three methods of logical reasoning，conditional probability and computer simulation.And there are further analysis on the cause of different answers.Then，we finally arrive at a conclusion.

Key words：sheep and car;logical reasoning;conditional probability;computer simulation