一類擬線性方程初值問題的可解性

金啟勝

(安慶職業(yè)技術(shù)學院，安徽安慶 246003)

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一類擬線性方程初值問題的可解性

金啟勝

(安慶職業(yè)技術(shù)學院，安徽安慶 246003)

本文通過一類擬線性方程的特征曲線和積分曲面之間的關(guān)系，研究了一類擬線性方程初值問題的可解性，并給出實例驗證了結(jié)論的正確性。

特征曲線；積分曲面；初值問題

1 前言

考察一階擬線性方程

a(x,y,u)ux+b(x,y,u)uy=c(x,y,u).

(1)

其中，u=u(x,y).稱方向(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))是方程(1)的特征方向，處處與特征方向相切的曲線是方程(1)的特征曲線.設(shè)特征曲線的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t),z=z(t)，則沿著特征曲線有

即

(2)

稱(2)為方程(1)的特征方程.顯然，處處與特征方向相切的曲面z=u(x,y)是方程(1)的積分曲面，積分曲面z=u(x,y)是方程(1)的解.

下面討論方程(1)的初值問題.設(shè)有空間曲線?！?x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))，s為參數(shù).方程(1)的初值問題就是求方程(1)的解z=u(x,y)，使之滿足h(s)≡u(f(s),g(s))，即積分曲面過已知曲線Γ.在許多情況下，x表示空間變量，y表示時間變量，所以就有y=0時刻的初值問題u(x,0)=h(s)，空間曲線Γ的參數(shù)方程為x=s,y=0,z=h(x).

2 主要結(jié)論及證明

定理1

若特征曲線γ上一點P(x0,y0,z0)位于積分曲面S∶z=u(x,y)上，則γ整個位于S上.

證明 設(shè)γ的方程為x=x(t),y=y(t),z=z(t)，由特征曲線定義可知，它是方程組(2)的解，并且對某參數(shù)t=t0滿足x0=x(t0),y0=y(t0)，z0=z(t0)=u(x0,y0).

(3)

其中，x=x(t),y=y(t).因為z=u(x,y)是(1)的解，所以U=0是(3)的解.根據(jù)常微分方程初值問題解的唯一性定理，由U(t0)=0知U(t)≡0，即z(t)≡u(x(t),y(t))，所以γ∈S.

根據(jù)定理1可知，特征曲線完全位于積分曲面內(nèi)，積分曲面S是特征曲線γ的并，即過S上每一點都有一條包含在S中的特征曲線；反之，如果曲面S∶z=u(x,y)是特征曲線的并，則該曲面必是積分曲面.根據(jù)定理1還可得到，兩個有公共點P的積分曲面必沿著一條過點P的特征曲線γ相交；反之，如果積分曲面S1和S2沿著曲線γ相交而不相切，則γ必是特征曲線.

定理2

設(shè)曲線γ∶(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))光滑，且f′2+g′2≠0，在點P0=(x0,y0,z0)=(f(s0),g(s0),h(s0))處，行列式為

(4)

又設(shè)a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在γ附近光滑.則初值問題

(5)

在s=s0某鄰域內(nèi)存在唯一解.

證明 在s0附近，即在|s-s0|<δ,δ>0中求特征方程(2)的解

x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t).

(6)

使得當t=0時，等式(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))成立，其中|s-s0|<δ,0≤t

x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t)具有連續(xù)的一階偏微商，它們關(guān)于s,t滿足

Xt=a(X,Y,Z),Yt=b(X,Y,Z),Zt=c(X,Y,Z).

(7)

X(s,0)=f(s),Y(s,0)=g(s),Z(s,0)=h(s).

(8)

因為J≠0，根據(jù)隱函數(shù)定理，可以從(6)的前兩個式子求出光滑函數(shù)s=S(x,y),t=T(x,y)，當|s-s0|<δ1,0≤t≤T1時，滿足S(x0,y0)=s0,T(x0,y0)=0，則

z=Z(S(x,y),T(x,y))=u(x,y).

(9)

就是初值問題(5)的解.

對函數(shù)(9)分別求偏微商，得到

Zx=ZsSx+ZtTx，Zy=ZsSy+ZtTy.

(10)

對x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t)前兩個式子分別就x求偏微商得

(11)

其中，Δ=XsYt-XtYs≠0，因為J≠0.類似對y求偏微商得

(12)

把(11)，(12)代入(10)，并把(10)第一個式子乘以a(X,Y,Z)，再加上第二個式子乘以b(X,Y,Z)，得到[a(X,Y,Z)Zx+b(X,Y,Z)Zy]Δ=(ZsYt-ZtYs)a+(ZtXs-ZsXt)b.

把a,b,Δ代入化簡得a(X,Y,Z)Zx+b(X,Y,Z)Zy=c(X,Y,Z)，即u(x,y)=Z(S(x,y),T(x,y))是初值問題(5)的解.則存在性得證.

根據(jù)定理1可知，任何通過曲線γ的積分曲面包含過γ上各點的特征曲線，所以其中必包含曲面(6)，從而局部地與這個曲面重合，也就是說，解是唯一的.

3 應(yīng)用舉例

[1]陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國科學技術(shù)大學出版社,2004:32-42.

[2]金啟勝,鐘金標,周宗福.一類擬線性橢圓型方程邊值問題的可解性[J].數(shù)學的實踐與認識,2015,45(22):249-252.

[3]胡業(yè)新.一類擬線性橢圓型方程邊值問題的穩(wěn)定性[J].數(shù)學學報,2014,57(6):1181-1190.

[4]周長亮,王遠弟.一類擬線性拋物型方程的非局部邊值問題[J].上海大學學報:自然科學版,2011,17(5):606-613.

[5]楊志林.擬線性橢圓型方程邊值問題解的存在性與唯一性[J].合肥工業(yè)大學學報:自然科學版,2002,25(6):1180-1183.

The Solvability of a Kind of Quasilinear Equation Initial Value Problem

JIN Qi-sheng

(Anqing Vocational and Technical College, Anqing Anhui 246003, China)

In this paper,the relationship between the characteristic curve and the integral surface of a kind of quasilinear equation, studied solvability of a kind of quasilinear equation the initial-value problem. And an example is given to verify the correctness of the conclusion.

characteristic curve; integral surface; initial value problem

2016-05-27

2015年安徽省質(zhì)量工程項目“微分方程在高職數(shù)學建模中的創(chuàng)新型應(yīng)用研究”(2015jyxm539)；2016年安徽省自然科研項目“動態(tài)粒子群優(yōu)化的數(shù)學建模”(KJ2016A447)。

金啟勝(1972- )，男，副教授，碩士，從事微分方程研究。

O175.2

A

2095-7602(2016)08-0001-03