截面對稱的高層建筑彎曲剪力流計算

李亞紅，王贊芝*，張余萍，馬瑞彥，李世碧，于世龍

（1.廣西科技大學土木建筑工程學院，廣西柳州545006；2.河北工程技術學院，河北石家莊050091）

截面對稱的高層建筑彎曲剪力流計算

李亞紅1，王贊芝*1，張余萍1，馬瑞彥2，李世碧1，于世龍1

（1.廣西科技大學土木建筑工程學院，廣西柳州545006；2.河北工程技術學院，河北石家莊050091）

基于平面假設和經典薄壁桿件理論，通過對截面對稱的薄壁桿件剪力流的計算與分析，推導了在剪力作用下，具有多室（三室以上）雙對稱截面高層建筑剪力流的簡化計算，為其它復雜且截面對稱的薄壁結構剪力流的計算提供了較精確的依據，并給出了算例及剪力流分布的圖示結果．

對稱；薄壁截面；多室；剪力流

0　引言

薄壁桿件剪力流計算時是以薄壁桿件理論和彈性力學作為理論基礎，但計算過于復雜［1－3］．一般地，對于具有n個室的多室閉口截面薄壁桿件，在剪力Qy作用下，首先在每個室的任意位置切開唯一的切口，使之成為一個完全開口截面桿，開口截面在剪力作用下的剪力流為q0，每個切口處的附加剪力流為qr（r＝1，2，…，n），再根據切口處兩邊縱向相對位移為零，推導出第i室切口處的位移協調條件，這樣n個室，就有n個位移協調條件，相當于解n階方程，n很大時，計算量隨之變大．王忠義等［4－5］在計算薄壁多室箱型截面結構的剪力流時，將其歸結為求解一個線性方程組，利用方程組系數矩陣正定的特點，運用了平方根解法；王強等［6－7］在薄壁桿件理論的基礎上推導出非對稱多室薄壁箱梁腹板彎曲剪力流的計算公式；張旭慧［8］運用有限元法分析薄壁腹板的剪力流，這些都大大提高了計算效率和結果的精度．但在實際工程和制造領域，雙對稱截面的薄壁桿件的使用相對更加廣泛［9］，如矩形或圓形截面的高層建筑等．充分考慮截面的對稱性可以進一步簡化剪力流的計算．基于此，本文在平面假設的前提下研究雙對稱截面薄壁桿件彎曲時的剪力流．

1　具有3室的對稱閉口截面薄壁桿件剪力流的計算

1．1閉室的編號及截面相關的原始數據標識符

各閉室編號分別為①，②，③，截面上下左右對稱，其對稱軸分別作為x，y軸，建立坐標系，如圖1所示．

圖1　閉室編號及截面原始數據示意圖Fig.1 Number of close room and coordinate system

1.2切口位置的選擇

切口位置的選擇決定著后續的簡化計算，如圖2所示，切口位置具有對稱性．

1.3在剪力Qy作用下剪力流q0

因截面為雙對稱，o x軸，o y軸均為主軸［10］，對x，y軸的主慣性矩分別為Ix，Iy；對x，y軸的靜矩分別為Sx，Sy，則在剪力Qy作用下的開口截面剪力流的計算公式為：

圖2　切口位置示意圖Fig.2 Cut position

式（1）中δ為壁厚，計算時假設Qy／Ix=1，利用對稱性，只需求出關鍵點的剪力流，得到的剪力流如圖3所示.

1.4各室附加剪力流qi

由于各室的切口是虛擬的，實際并無切口，即切口處的相對縱向位移為0，分別考慮周邊和附加剪力流引起的變形［11］，有第i室的位移協調方程為：

圖3　開口薄壁截面剪力流q0示意圖Fig.3 Shear fluid q0of open-thin section

式（2）兩邊同時乘以G得

式（3）中積分i∫表示沿第i室周邊的閉路積分，qi為i室隔壁的第k室的剪力流，積分ik∫表示沿相鄰的i室和k室的公共壁積分［12］．

當i＝1，2，3時，由式（3）列出方程組：

閉口截面薄壁桿件的剪力流q為q0與qi的疊加，最終的剪力流如圖4所示.

1.5對于此類具有多室閉口截面薄壁桿件剪力流計算的分析

通過上述分析，得出以下結論：

1)將閉口截面通過切口轉化為開口截面，剪力作用下相應的剪力流也轉化為開口截面的剪力流與各室附加剪力流的疊加，這樣間接地將一個復雜的問題轉變為2個簡單易分析的問題，起到了化繁為簡的目的；

2)由圖3可以看出開口截面①和③室的剪力流關于y軸反對稱，而①室和③室的附加剪力流的大小相等，符號相反，最后疊加所得的剪力流關于y軸反對稱；因此，此類規則截面薄壁桿件的剪力流，只需選?、偈?、②室進行計算，然后根據對稱，③室便可直接得到；

圖4　閉口薄壁截面的剪力流q示意圖Fig.4 Shear fluid q of close-thin section

3)切口位置的選擇對此類規則閉口截面薄壁桿件剪力流的計算能否簡化起到了至關重要的作用．切口位置關于y軸對稱使得中間②室的剪力流q0關于y軸反對稱，即而2)得出的q1＝－q3，使得最終計算出的②室附加剪力流q2=0，這一結論直接運用到工程實例中，可以大大簡化計算步驟．

2　計算、校核

圖5　底層結構平面圖Fig.5 Plane of bottom struction

圖6　底面剪力及坐標系Fig.6 Bottom shear and coordinate system

深圳市統建商業住宅樓是由兩座塔形主樓構成的高層樓房，底層結構平面如圖5所示，底層承受剪力Qx＝0，Qy＝1 037 kN，如圖6所示，計算出此截面的剪力流（框架剪力墻的墻厚δ=240mm）．

因截面為雙對稱，o x軸，o y軸均為主軸，Ixy＝0，Ix＝1 591．08m4，Qy／Ix＝0．652 kN／m4，由1.5節得出的結論，只需選取3個室進行分析計算，閉室的編號及假象的開口位置如圖7所示.

根據1.5節2），3）可知，只需求得①，②，④室的剪力流即可，④室的附加剪力流為0．設Qy／Ix=1，開口后截面的剪力流q0如圖8所示．

圖7　閉室編號及假象的切口位置Fig.7 Number of close room and virtual cut position

圖8　高層建筑開口截面剪力流q0Fig.8 Shear fluid q0of open-thin section of high rise building

由1.5節2）知：與①室，②室關于y軸對稱的室的附加剪力流的大小分別與①，②相等，符號相反．

①室的位移協調條件為：

因為Qy／Ix＝0．652 kN／m4，將算得的q1，q2疊加到q0，得到最后的剪力流如圖9所示.

1處上、左、右的剪力流分別為10．78，10．18，0．60；

2處的剪力流為2．03；

3處的剪力流為6．79；

4處的剪力流為8．40；

5處上、左、右的剪力流分別為為15．54，4．94，10．60；

6處下、左、右的剪力流分別23．34，11．20，12．14；

7處的剪力流為9．20；

8處的剪力流為24．14（剪力流的單位均為kN／m）．由于對稱性其他各室關鍵點的剪力流省略．

運用平方根法進行校核：

首先設Qy／Ix＝1，通過式（3）得到變形公式：

圖9　高層建筑截面剪力流示意圖Fig.9 Shear fluid of section of high rise building

A是7階對稱正定矩陣，存在下三角矩陣L滿足A=LLT．求得L后，求解方程組A qi=b，可以轉化為求解2個方程組Lc=b；LTqi=c，得到表1.

由上表可得，①，③，⑤，⑦室的附加剪力流大小相等；②，⑥室的附加剪力流大小相等；④室的附加剪力流為0，這與本文得到的簡化計算的結果基本一致．簡化計算后的q1，q2值與表1進行對比，誤差小于0．4％，且來自計算中的四舍五入．

表1　方程組的解Tab．1 Solution of equation group

3　結論

本文基于平面假設及經典薄壁桿件理論［13－14］，通過對雙對稱薄壁桿件剪力流計算的研究和分析，得出以下結論：

1）具有雙對稱截面的等厚薄壁桿件在關于主軸對稱的荷載的作用下，剪力流同樣具有對稱性，為簡化剪力流的計算和討論其影響提供了新方法；

2）本文論述的剪力流簡化計算方法與非對稱截面薄壁桿件的有所不同；

本文充分利用薄壁桿件截面的對稱性，選取具有對稱性的開口位置，開口薄壁截面也就具有對稱性，由式（1）和圖3可知，開口截面的剪力流也具有對稱性，然后通過公式推導得到1．5節的理論分析結果，減少計算附加剪力流過程中未知量的個數，為工程實例中薄壁桿件截面剪力流的簡化計算提供了一定的依據．

3）本文論述的剪力流計算方法較常規的剪力流計算有一定先進性，簡化步驟的同時還有較高的精度，但是也存在局限性，薄壁桿件的厚度相等是本文結論成立的前提條件．

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（學科編輯：黎婭）

Calculation of shear flow in high rise building with symmetrical section

LI Ya-hong1,WANG Zan-zhi*1,ZHANG Yu-ping1,MA Rui-yan2,LI Shi-bi1,YU Shi-long1
（1.School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006,China;2.Hebei Polytechnic College,Shijiazhuang050091,China）

Through calculating and analyzing the shear flow of thin-walled bar with three closed chamber and symmetrical section,the simplified calculation of the shear flow of the high rise building section with multi-chamber (three rooms above)is deduced under the action of shear,the accurate basis is provided for the calculation of shear flow of thin-wall structure with other complex and symmetrical section.The calculation examples and the shear flow distribution results are shown.

symmetry;thin walled section;multi-chamber;shear flow

TU33

A

2095-7335（2016）04-0081-06

10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.04.015

2016－05－16

廣西科技大學博士基金科研項目（院科博0901）資助．

王贊芝，博士，副教授，研究方向：橋梁與隧道工程，E－mail：568175754＠qq．com．