巧用“參照物”，建立認知表象

方灶娣

【摘 要】在數學概念教學中，教師要十分重視表象的教學，這既符合認知發展規律，也符合兒童發展的特點。有效建立認知表象概括起來就是“先建立標準表象，然后用標準表象去‘量”，在“量”的過程中，反過來又有助于標準表象的建立和鞏固。教學上作如此處理，不僅適用于“毫米的認識”的教學，同時也適用于其他計量單位概念的教學。

【關鍵詞】認知規律 標準 參照物 有效建立 認知表象

在數學概念教學中，教師要十分重視表象的教學，這既符合認知發展規律，也符合兒童發展的特點。因為三年級兒童雖然處于形象思維向抽象思維過渡的階段，但還是以形象思維為主，所以，教師必須充分運用并發揮表象的作用。但在目前教學中，特別是計量單位教學中，教師并不重視表象的建立，或是由于對參照物的誤用，導致學生難以有效建立表象，不能真正理解、掌握、體驗計量單位。下面筆者就以“毫米的認識”教學磨課為例，談談如何巧用“參照物”，有效建立表象。

第一次教學

【教學片段】

進一步認識1毫米，建立表象。

（說明：前面剛剛學習了尺子上的1毫米）

1. 用手比畫1毫米。

師：1毫米究竟有多長，你能用手比畫給大家看嗎？

2. 借助學生卡比畫1毫米。

師：不好比畫吧？老師教大家一個好方法。拿出你的學生卡，這張卡的厚度是1毫米，請你仔細看一看，用手捏一捏這張卡，你有什么感覺？用手捏住，然后捏卡的兩個手指保持不動，把卡抽出來。這時，我們兩指間的這道縫的寬度大約就是1毫米。

學生按照教師的指導同步操作。

師：換一只手，不借助學生卡，用手勢表示1毫米。再把學生卡插進去，比照一下，看自己表示得對不對。

3. 找生活中的1毫米。

師：生活中哪些物體的厚度大約是1毫米呢？

生：鉛筆芯的厚度。

生：螞蟻的長度。

生：頭發絲的厚度。

生：學生卡的厚度。

……

學生舉例后，教師再出示收集到的物品（光盤、1分硬幣、部分紐扣、身份證、學生卡）。

4. 測量幾張白紙的厚度是1毫米。

師：下面我們來做個游戲，好嗎？這是一張紙的厚度（手上展示），猜一猜幾張紙的厚度大約是1毫米？

生1：5張。

生2：10張。

生3：4張。

……

師：到底猜得對不對呢？我們來驗證一下，數學書除封面外，從數學書中量出1毫米，然后數一數有幾張，量的時候要注意，把紙捏緊。同桌兩人合作，一個捏紙，一個量。（學生量，并匯報）

師（小結）：像我們數學書這樣的紙，把它捏緊，10張紙的厚度大約就是1毫米。

【教學思考】

這四個環節是我們平時教學中經常能看到的，粗一看，這四個環節都非常好，用四種不同的學習活動幫助學生建立1毫米的表象，但仔細思考，這樣的教學設計真的能有效幫助學生建立1毫米的表象嗎？

1. 缺乏標準的建立。

數學表象是通過感知獲得的，沒有感知數學表象就不能形成。感知來自于具體的形象，來自于標準的建立。因此，沒有具體的形象、標準就很難建立表象。

尺子上的1毫米和實物中的1毫米，從學生認知的角度講是有差距的，尺子上的1毫米雖然抽象但是精準（或者說標準），實物中的1毫米雖然形象但存在誤差。因此，學生剛剛初步感知了尺子上的1毫米，還尚未建立起1毫米的精確表象，這時教師希望通過“用手比畫1毫米”“借助學生卡比畫1毫米”“找生活中的1毫米”幫助學生建立1毫米的表象就顯得有些急于求成。我們不妨作如下思考：這樣做，是否有礙學生對1毫米的標準的理解？是否有礙學生正確建立對1毫米的表象呢？事實上，在實際教學中，當教師讓學生用手比畫1毫米的長度，學生比畫的結果五花八門也不足為奇；當教師讓學生舉例生活中的1毫米，學生舉了“鉛筆芯的厚、螞蟻的長、頭發絲的厚、樹葉柄的厚……”也是情理之中的事了。

2. 缺乏可操作性。

平時教學中，我們經常看到教師喜歡借助學生卡來比畫1毫米，因為直接用手比畫難度太大，所以想借助參照物來比畫，這個主意確實不錯。但筆者做過實驗，“用手捏住，然后捏卡的兩個手指保持不動，把卡抽出來”。這個動作說說容易，做起來非常困難，當把卡從兩手指間抽出的時候，兩手指由于慣性會不自覺地碰在一起，所以教師說的操作過程是非常理想化的狀態，實際情況并非如此。

再者，當學生卡拔出后，這時展示在學生面前的是一個整體（兩個手指和縫隙），不是只有一條縫隙的寬。課堂上，教師往往會提醒學生去關注那條縫隙的寬，但由于干擾太多，學生到底是關注縫隙的長多一些呢，還是關注縫隙的寬多一些呢？不得而知。但有一點可以肯定，讓三年級的學生把所有注意力都集中到那條細縫的寬上去，估計是有難度的。

3. 缺乏估的“尺子”。

通過“測量幾張白紙的厚度大約是1毫米”讓學生感受1毫米的厚度，這個活動本身出發點和意圖都很好，但是在測量之前，教師請學生猜一猜“幾張白紙的厚度大約是1毫米”，這個提問站在學生角度講，和前面環節——請學生舉例哪些物體的厚度是1毫米，學生舉例一張白紙的厚度，是矛盾的，前面學生還認為一張白紙的厚度大約是1毫米，現在教師又來問學生幾張白紙的厚度大約是1毫米，學生在認知上產生了歧義。教師提問的目的是想讓學生先估再測量，而從實際情況看，他們不能較準確、有方法地估，他們是憑感覺亂估。因此，在估之前，有必要先給學生提供估的“尺子”。

第二次教學

基于以上這些思考，筆者對這些環節重新進行調整，做了以下教學嘗試。

【教學片段】

1.充分利用教學材料，建立標準1毫米的表象。

材料準備：1號學具袋：學生卡、一元硬幣、白紙、4厘米厚的紐扣、泡沫紙各一份；2號學具袋：一小疊A4白紙，約20張。

第一次估：剛好是1毫米的實物。

師：剛才大家的表現都非常棒，下面我們來活動一下，好嗎？請拿出抽屜里的1號學具袋。學具袋里有一元硬幣、學生卡、白紙、紐扣、泡沫紙。

師：請大家根據剛才記在腦海里的1毫米，判斷一下，這些物品里，哪些物品的厚度剛好是1毫米呢？如果記憶模糊了，可以一邊看尺子上的1毫米，一邊判斷，就是不能量，看誰的眼力好。

學生反饋，認為是學生卡和泡沫紙的厚度剛好是1毫米。

第一次量。

師：到底是不是呢？請用尺子量一量，檢驗一下。

生：是的。

在建立有效表象之前，首先建立標準1毫米的表象是非常重要的。小學生對事物的觀察特點是以具體、直觀為主，因此，教學中不再需要學生憑空想象哪些物體的厚度是1毫米，而是利用學生熟悉的實物，先以尺子上的1毫米為參照，通過估一估、量一量，在比較、調整中幫助學生建立標準1毫米的表象。

2.充分運用參照物，鞏固1毫米的表象。

第二次估：大于或小于1毫米的實物。

師：剩下還有3樣東西，這3樣東西里，哪些厚度是大于1毫米的，哪些是小于1毫米的呢？

生：一元硬幣和紐扣的厚度大于1毫米，白紙的厚度小于1毫米。

師：學生卡的厚度我們知道了，剛好是1毫米，那你能不能用學生卡的厚度作參照，判斷一下一元硬幣的厚度和紐扣的厚度呢？請從抽屜里拿出這張表格，把你估的數填在表格里。

請生介紹估的方法。

生：一元硬幣的厚度是借助學生卡估的。一元硬幣大約有2張學生卡的厚度，所以一元硬幣的厚度約2毫米。

生：紐扣的厚度也是借助學生卡估的。

生：我不是用學生卡估紐扣的厚度的，我是用一元硬幣估紐扣的厚度的。我看了看，大約2個硬幣的厚度剛好是紐扣的厚度，所以紐扣的厚度是4毫米。

師：你的方法很好，當紐扣比較厚時，你立馬換硬幣作參照進行估。這是一種很好的方法，根據實際情況，適當調整參照物。

第二次量。

師：估得到底對不對呢？檢驗一下。把測量的結果也寫在表格上。

學生測量，全班反饋。

對標準1毫米的表象有了感知后，通過運用，強化這種感知是非常必要的。這個環節，筆者通過不斷運用參照物，鞏固標準1毫米的表象。這種運用首先體現在“估”上，利用標準1毫米的參照物估比1毫米大的和比1毫米小的物體，在估的過程中幫助學生建立1毫米的表象，培養學生估的意識和能力。然后體現在“量”上，只有親身經歷、體驗過，才能建立深刻、豐富的表象，所以，“量”是非常重要的環節，不光有助于學生建立表象，還能使建立的表象更深刻。最后體現在“變換”上，估紐扣的厚度時，既可以用標準參照物估，也可以用一元硬幣的厚度估，在變換中，不僅有助于建立1毫米的表象，同時也助于建立2毫米、4毫米的表象，讓學生感受到，適時調整參照物，可以讓估更簡單、更準確。

3.充分利用對比，強化1毫米的表象。

第三次量：一張白紙的厚度。

師：還剩最后一樣東西——白紙，白紙的厚度比1毫米小，那白紙的厚度為多少呢？請你測量一下。

學生操作，請學生談感受。

生：白紙的厚度和1毫米的厚度相差有些大。

第三次估：幾張白紙的厚度是1毫米。

師：既然白紙的厚度和1毫米相差比較大，那幾張白紙的厚度大約是1毫米呢？先請你估一估。

生：8張。

生：10張。

生：11張。

第四次量。

師：到底估得對不對呢？我們來檢驗一下。請拿出2號學具袋，同桌兩人合作，一個人捏白紙，一個人量，量出1毫米，數一數到底有幾張。注意，量的時候要捏緊。

學生合作測量，最后得出，大約10張白紙的厚度是1毫米。

師：看到這個結果，你有什么想說的？

生：本來覺得1毫米挺短的，但和1張紙的厚度比，1毫米也挺長的。

師：10張紙的厚度大約是1毫米，我們知道了，但還是沒有解決剛才的問題啊，“一張白紙的厚度到底是多少呢？”

讓學生自由談感想。

生：白紙的厚度太小了，用毫米也測量不出來。

生：需要用到比毫米更小的單位，才能測量出白紙的厚度。

從學生角度講，學生一直認為1毫米是很短的，為了打破這種思維定式，教師特地設計“估、量幾張白紙厚度大約是1毫米”的環節，通過對比“10張紙的多”和“1毫米的短”，讓學生感受到“1毫米的長”，從反面幫助學生建立1毫米的表象。最后，教師再次提問“一張白紙的厚度到底是多少呢”，讓學生體會到，為了實際測量的需要，還有比毫米更小的長度單位，滲透辯證唯物主義思想。

為了強化這種“對比”，教師特地先讓學生測量一張白紙的厚度，通過測量，讓學生感受到一張白紙的厚度和1毫米的差距是比較大的，打破學生認為一張白紙的厚度大約是1毫米的錯誤想法，同時也為“估幾張白紙的厚度為1毫米”做好鋪墊。

綜觀兩次教學實踐，我們發現環節目標都非常清晰，都是想建立1毫米的表象，但是第一次教學由于不清楚表象建立的特點，所以設計的教學過程不能很好地實現環節目標，而第二次教學正彌補了它的不足。在第二次教學中清晰地知道表象的建立必須借助形象，而且只一次運用形象是不夠的，必須經過多次變換、反復運用才能有效地幫助學生建立表象，概括起來就是“先建立標準表象，然后用標準表象去‘量”，在“量”的過程中，又反過來有助于標準表象的建立和鞏固。教學上作如此處理，不僅適用于“毫米的認識”的教學，同時也適用于其他計量單位概念的教學。

參考文獻：

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[4] 華旦玲.數學表象的建立和運用[J]. 教育研究與評論（小學教育教學）， 2015（8）.

[5] 顧萬春.試論表象在小學數學概念教學中的作用[J]. 江蘇教育，1992（24）.

（浙江省諸暨市陶朱街道三益小學 311800）