被遺忘的“銳角三角函數”的定義

劉曉偉

被遺忘的“銳角三角函數”的定義

劉曉偉

銳角三角函數的定義是在直角三角形中給出的，它反映的是直角三角形相應兩邊的比值的特性.可能同學們會認為，只有在解直角三角形的問題時才會用到，可事實上，在求一些線段的比值或線段成比例即三角形相似中，是有更廣泛應用的.我們在解題的過程中，如果能有選擇的利用這一點，將會對我們的解題起到簡化過程的作用.

例1（2014·上海）如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH.

（1）求sinB的值；

圖1　

【思路突破】由已知AH=2CH，在Rt△ACH中，可求∠2的正弦，要求∠B的正弦，只需要證∠B=∠2.再由中線CD=可求AB=由sinB可求AC的長，由勾股定理可求BC，再通過tan∠2=tanB，便可求出CE的長，也就可求BE的長了.

解：（1）∵AE⊥CD，

∴∠AHC=90°，

由AH=2CH，可設CH=a，則AH=2a，

∵CD是直角三角形ACB斜邊上的中線，

∴CD=AD=BD，

∴∠B=∠1=∠2，

∴AC=2，由勾股定理得BC=4，

∴CE=1，

∴BE=3.

【解后反思】在不同的直角三角形中，找出相等的角，然后再利用三角函數的定義找出等量關系是解決此類問題的關鍵.

例2如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ.

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；

圖2　

（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.

圖3　

（2）抓住∠BCP=∠QAC，利用三角函數的定義尋找等量關系.

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10.

又由條件可知BP=5t，QC=4t，BQ=8-4t.分兩種情況討論：

（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ、CP交于點N，則有PB=5t，AB=10，AC= 6，sinB=得PM= 3t，BM=4t，MC=8-4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∴tan∠NAC=tan∠PCM，

圖4　

（作者單位：江蘇省豐縣黃樓初級中學）