縝密思考知識正遷移

渠敬明

縝密思考知識正遷移

渠敬明

在學習一種新知識或解決一類新問題時，往往依靠過去已學過的知識或掌握的解題經驗，去解決新問題，這種方法就叫知識的正遷移.近年來在數學中考中此類問題出現的頻率較高，它能較好地考查同學們自學的能力，下面舉例加以說明.

例1問題背景：

若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設矩形的一邊長為x，面積為S，則S與x的函數關系式為：S=-x2+x（x＞0），利用函數的圖像或通過配方均可求得該函數的最大值.

提出新問題：若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？

分析問題：若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為：y=2（x＞0），問題就轉化為研究該函數的最大（小）值了.

圖1　

（2）觀察猜想：觀察該函數的圖像，猜想當x=______時，函數y=2（x＞0）有最_______值（填“大”或“小”），是_______.

（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數S=-x2+x（x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數y=2（x＞ 0）的最大（小）值，以證明你的猜想.（提示：當x＞0時，x=

【思路突破】對于（1），按照畫函數圖像步驟：列表、描點、連線；對于（2），結合圖表或函數圖像，可知有最小值，其值為4；對于（3），可配成完全平方式的形式，從而求出最值.

解：（1）如圖2：

圖2　

（2）由函數圖像可知，其頂點坐標為（1，4），故當x=1時函數有最小值，最小值為4，故答案為：1、小、4；

即當x=1時，y的最小值是4.

【解后反思】在我們學習了一次函數、反比例函數及二次函數圖像的畫法的基礎上，利用圖像解決本題便不是很難.二次函數求最值的方法之一是配方，用模仿的方式將問題式配方求最值是解題關鍵.本題設計新穎，不僅很好地考查了圖像的作法，還考查了知識的正遷移能力.在今后的復習中，遇到沒有思路的問題，可以將其轉化為已學過的知識去解決.

例2如圖3，在△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1、r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+ S△ACP=S△ABC.

圖3　

∴r1+r2=h（定值）.

（1）理解與應用

如圖4，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為對角線BD上的一點，且BE=BC，F為CE上一點，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，試利用上述結論求出FM+FN的長.

圖4　

（2）類比與推理

如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，即：

已知等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r1、r2、r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3=h（定值）.

圖5　

（3）拓展與延伸

若正n邊形A1A2…An內部任意一點P到各邊的距離為r1、r2、…、rn，請問r1+r2+…+rn是否為定值，如果是，請合理猜測出這個定值.

【思路突破】仿照面積分割法，將三角形或多邊形分成若干個三角形，根據這些三角形面積的和等于整個圖形的面積，建立等量關系，便可求出結論.

解：（1）理解與應用

連接AC交BD于O，則CO⊥BD，由上述結論得：

（2）類比與推理

如圖6，連接AP，BP，CP.

圖6　

∵S△ABP+S△PBC+S△ACP=S△ABC，

∵AB=BC=AC，

∴r1+r2+r3=h.

圖7　

（3）拓展與延伸

連接PA1、PA2、…、PAn，

S△A1A2P+S△PA2A3+…+S△A1AnP=S正n邊形A1A2…An，

設正n邊形的邊長為a，邊心距為r，

∴r1+r2+…+rn=nr，為定值.

【解后反思】

本題主要利用面積分割法求線段之間的關系，充分體現了面積法解題的作用.解決多邊形距離問題時，常考慮面積法，即將多邊形分成若干三角形來處理.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）