中考數學中分類討論思想例析

陳慧穎

中考數學中分類討論思想例析

陳慧穎

分類思想是化整為零、分別對待、各個擊破的一種思維策略，是數學學習的重要思想方法.運用的關鍵在于正確地進行分類，即選擇一個分類標準，對所討論的對象進行全面分類，確保分類的科學——既不重復，也不遺漏.運用分類討論，可以把一個復雜問題拆分成若干個簡單問題，有利于培養同學們思維的條理性、縝密性、科學性.現以2015年中考試題為例加以歸類說明.

一、方程中的分類討論

例1（2015·臺州）關于x的方程mx2+ x-m+1=0，有以下三個結論：①當m=0時，方程只有一個實數解；②當m≠0時，方程有兩個不等的實數解；③無論m取何值，方程都有一個負數解，其中正確的是_______.（填序號）

解：①當m=0時，方程為x+1=0，解之得x=-1，故方程只有一個實數解.

②當m≠0時，Δ=12-4m（-m+1）=（2m-1）2，

③由①知，當m=0時，方程的解為x=-1，

當m≠0時，

∵mx2+x-m+1=（mx+1-m）（x+1），

∴方程mx2+x-m+1=0的解為：

x1=-1，x2=

∴無論m取何值，方程都有一個負數解x=-1.

綜上所述，正確的結論是①③.

【點評】對于含字母系數的方程，如果沒有明確說明是一元二次方程還是一元一次方程，要分方程是一元二次方程和一元一次方程兩種情況討論.所以，對于含有字母系數的方程問題，要根據字母系數的不同取值范圍進行討論.

二、函數中的分類討論

例2（2015·黃石）一食堂需要購買盒子存放食物，盒子有A，B兩種型號，單個盒子的容量和價格如表.現有15升食物需要存放且要求每個盒子要裝滿，由于A型號盒子正做促銷活動：購買三個及三個以上可一次性返還現金4元，則購買盒子所需最少費用為_______元.

解：設購買A種型號盒子x個，購買盒子所需要費用為y元，

①當0≤x＜3時，

∵k=1＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∴當x=0時，y有最小值，最小值為30元；

②當x≥3時，

∵k=1＞0，∴y隨x的增大而增大，

∴當x=3時，y有最小值，最小值為29元.

綜合①②可得，購買盒子需要的最少費用為29元.

【點評】本題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是根據題意列出函數解析式，利用一次函數的性質解決最小值的問題.由于沒有明確購買盒子的個數情況，所以要分0≤x＜3和x≥3兩種情況分類討論，然后再取舍.

三、等腰三角形中的分類討論

例3（2015·西寧）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數為20°，則頂角的度數是______.

解：此題要分情況討論：

①當等腰三角形的頂角是鈍角時，腰上的高在外部，

所以根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，即可求得頂角是90°+20°=110°；

②當等腰三角形的頂角是銳角時，腰上的高在其內部，頂角是90°-20°=70°.

故答案為：110°或70°.

【點評】由于沒有明確說明三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，所以要分兩種情況討論.如果原三角形是鈍角三角形，則高在三角形外；若原三角形是銳角三角形，則高在三角形內.若等腰三角形已知的邊沒有明確是底邊還是腰，或者已知的角沒有明確是底角還是頂角，都要分情況討論.同時要考慮三邊的長是否滿足三角形的三邊關系，即對解的情況要進行檢驗，以保證最后的解正確無誤，防止犯“顧此失彼”的錯誤.

四、直角三角形中的分類討論

例4（2015·南昌）如圖1，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為_______.

圖1　

圖2　

解：分三種情況討論：

①如圖2，點P在三角形內且∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO=BO=2，

又∵∠AOC=60°，∴△APO是等邊三角形，

∴AP=2；

圖3　

圖4　

②如圖3，點P在三角形外且∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2，

又∵∠AOC=60°，∴∠BAP=30°，

③如圖4，點P在三角形外且∠ABP=90°，

∵BO=AO=2，∠BOP=∠AOC=60°，

【點評】在Rt△PAB中，由于∠PAB不可能是直角，而在∠PBA與∠APB中沒有明確哪個角是直角，所以要根據∠PBA=90°和∠APB=90°兩種情況討論.對于∠APB=90°，動點P可能在△ABC的外部，也可能在△ABC的內部，所以還要對動點P的位置進行分類討論.

五、平行四邊形中的分類討論

例5（2015·綏化）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點P在AB上.若將△DAP沿DP折疊，使點A落在矩形對角線上的A′處，則AP的長為________.

解：①點A落在矩形對角線BD上，如圖5，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，

根據折疊的性質，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，

設AP=x，則BP=4-x，

∵BP2=BA′2+PA′2，

∴（4-x）2=22+x2，解得

圖5　

圖6　

②點A落在矩形對角線AC上，如圖6，根據折疊的性質可知DP⊥AC，

【點評】由于沒有明確點A落在矩形的哪條對角線上，所以要分點A落在矩形對角線BD上和點A落在矩形對角線AC上兩種情況討論.當點A′在BD上時，需構造直角三角形，利用勾股定理解決，當點A′在AC上時，需構造相似三角形，利用相似三角形的性質解決.以對角線為依據來確定點的位置是解決平行四邊形問題最常用的方法.

六、圓中的分類討論

例6（2015·梅州）如圖7，直線l經過點A（4，0），B（0，3）.

（1）求直線l的函數表達式；

（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當圓M與直線l相切時，求點M的坐標.

圖7　

解：（1）∵直線l經過點A（4，0），B（0，3），

設直線l的解析式為：y=kx+b，代入函數解析式得：

（2）∵OA=4，OB=3，∴AB=5.

①如圖7，⊙M與直線l相切，切點為N，點N在點B的上方，連接MN，則MN⊥AB，

∴OM=OB+BM=5.5，

∴點M的坐標為（0，5.5）.

②⊙M與直線l相切，切點為N′，點N′在點B的下方，連接MN′，則MN′⊥AB，

∴∠MN′B=90°，

同理可得BM=2.5，∴OM=OB-BM=0.5，

∴點M的坐標為（0，0.5）.

綜上可得：當⊙M與此直線l相切時點M的坐標是（0，0.5）或（0，5.5）.

【點評】圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在沒有明確圖形位置的情況下，符合題意的圖形可能有多種，因此應注意圓的問題的多樣性，不要忘記分情況討論.直線與圓相切，圓可能在直線上方，也可能在直線下方，所以本題應分兩種情況討論.

七、運動圖形中的分類討論

例7（2015·葫蘆島）如圖8，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動；同時，動點F從點P出發，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同.設點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數關系的圖像是（）.

圖8　

故選A.

【點評】對動態幾何的分析必須找準變化過程的分界點，逐段討論.在動中求靜，以靜制動，正確確定分類對象，進行合理分類是解決這類問題的關鍵.

所以，周密思考，運用分類思想，以防止漏解是十分必要的.對于分類討論解決問題的方法，要弄清為什么要分類和怎樣分類這兩個關鍵問題.只有抓住分類的動因，把握分類的標準，才能做到分類時條理清楚、標準一致，在解答問題時就不會重復和遺漏，保證解題正確無誤.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）