中考數(shù)學(xué)中的“歸納猜想”

史新景

中考數(shù)學(xué)中的“歸納猜想”

史新景

歸納猜想型問題主要分為數(shù)字歸納猜想和圖形歸納猜想兩類，要求同學(xué)們?cè)谟^察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等基礎(chǔ)上大膽猜想，得出結(jié)論，并能對(duì)自己的猜想加以驗(yàn)證.同學(xué)們解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律.其解題思維過程是：從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗(yàn)證結(jié)論.由于歸納猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，這類問題不但能培養(yǎng)同學(xué)們分析、歸納、解決問題的能力，也有利于培養(yǎng)同學(xué)們思維的深刻性和創(chuàng)造性，是目前中考的一大熱點(diǎn)，此類題目一般難度不大，題型以選擇題和填空題為主，分值在5分左右.

例1（2015·淮安）將連續(xù)正整數(shù)按如下規(guī)律排列：

若正整數(shù)565位于第a行，第b列，則a+ b=______.

【分析】根據(jù)題意可知每行都有4個(gè)數(shù)，所以用565除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況判斷出正整數(shù)565位于第幾行；然后根據(jù)奇數(shù)行的數(shù)字在前四列，數(shù)字逐漸增加；偶數(shù)行的數(shù)字在后四列，數(shù)字逐漸減小，判斷出565在第幾列.

【解答】∵565÷4=141…1，

∴正整數(shù)565位于第142行，即a=142.

∵奇數(shù)行的數(shù)字在前四列，數(shù)字逐漸增加；偶數(shù)行的數(shù)字在后四列，數(shù)字逐漸減小，

∴正整數(shù)565位于第五列，即b=5，

∴a+b=142+5=147.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了探索數(shù)列規(guī)律問題，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確地應(yīng)用規(guī)律，

例2（2015·徐州）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_______.

圖1　

【分析】首先求出AC、AE、AG的長(zhǎng)度，然后猜測(cè)命題中的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問題.

【解答】根據(jù)正方形的性質(zhì)，知：

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查探索圖形變化規(guī)律的問題，需要結(jié)合正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用，歸納得出正方形邊長(zhǎng)的變化規(guī)律.

例3（2015·鹽城）設(shè)△ABC的面積為1，如圖2（1）將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖2（2）將邊BC、AC分別3等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；……；依此類推，則Sn可表示為______.（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）

圖2　（1）

圖2　（2）

圖2　（3）

【分析】連接D1E1，因?yàn)椤鰽BO與△OD1E1相似，得從而得到

△OAB的面積為△BE1A面積的又因?yàn)椤鰾E1A的面積是△ABC面積的一半，所以△ABO的面積與△ABC的面積比為1∶3，以此類推可以得到答案.

【解答】如圖3，連接D1E1，可知D1E1∥AB，得△ABO∽△D1E1O，

圖3　

依此類推，Sn可表示為

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的面積，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，得出相似三角形.

例4（2015·衢州）已知，正六邊形ABCDEF在直角坐標(biāo)系的位置如圖4所示，A（-2，0），點(diǎn)B在原點(diǎn)，把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動(dòng)的連續(xù)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，經(jīng)過2015次翻轉(zhuǎn)之后，點(diǎn)B的坐標(biāo)是______.

圖4　

【分析】每6次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)，用2015除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點(diǎn)B的位置，然后求出翻轉(zhuǎn)前進(jìn)的距離，過點(diǎn)B作BG⊥x軸于G，求出∠BAG=60°，然后求出AG、BG，再求出OG，最后寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可.

【解答】因?yàn)檎呅蜛BCDEF沿x軸正半軸作無滑動(dòng)的連續(xù)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，所以每6次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)，因?yàn)?015÷6=335余5，所以經(jīng)過2015次翻轉(zhuǎn)為第336循環(huán)組的第5次翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)B處于在開始時(shí)點(diǎn)C的位置，如圖5.因?yàn)锳（-2，0），所以AB=2，所以翻轉(zhuǎn)前進(jìn)的距離為2×2015= 4030.過點(diǎn)B作BG⊥x軸于G，則∠BAG=60°，所以所以O(shè)G=4030+1=4031，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為故答案為

圖5　

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化，正六邊形的性質(zhì)，確定出最后點(diǎn)B所在的位置是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）