提前領(lǐng)略高中數(shù)學(xué)知識(shí)

王冬青

提前領(lǐng)略高中數(shù)學(xué)知識(shí)

王冬青

高中內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)在近幾年的中考試題中頻繁出現(xiàn)，而多數(shù)是給出一些規(guī)定、法則或提供一定的閱讀材料，或介紹一個(gè)概念、一種解法等，讓你在理解規(guī)定、法則的基礎(chǔ)上，獲得解決問(wèn)題的方法和思路，從而解決實(shí)際問(wèn)題.其目的在于考查同學(xué)們的閱讀理解、收集處理信息和運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

例1一般地，如果函數(shù)y=f（x）對(duì)于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f（-x）= -f（x），那么y=f（x）就叫做奇函數(shù)；如果函數(shù)y=f（x）對(duì)于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函數(shù).

例如f（x）=x3+x，不管x取任何實(shí)數(shù)，都有f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），所以f（x）=x3+x是奇函數(shù).

（1）下列函數(shù)中，①f（x）=x3，②f（x）= x2+1，③f（x）=④f（x）=⑤f（x）=x+，______是奇函數(shù)，_______是偶函數(shù).（只填序號(hào)）

（2）請(qǐng)你再寫(xiě)出一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù).

【思路突破】本題難度不大，只要抓住規(guī)定：若f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函數(shù)；若f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函數(shù)，問(wèn)題就解決了.

【解答】（1）∵f（x）=x3，∴f（-x）=（-x）3= -x3=-f（x），∴①為奇函數(shù)，同理f（x）=f（x）也是奇函數(shù)，所以奇函數(shù)有①③⑤.

∵f（x）=x2+1，

∴f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），

∴②為偶函數(shù).

【解后反思】該題以高中函數(shù)知識(shí)為背景，是初中函數(shù)知識(shí)的延伸，由于同學(xué)們有了一定的函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)，故只需對(duì)照題中兩例，完成對(duì)概念的探究，獲取新知識(shí)，進(jìn)而應(yīng)用新知識(shí)，就可以解答問(wèn)題.

例2關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：

利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值.

根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：

如圖1，直升機(jī)在一建筑物CD上方A點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端D點(diǎn)的俯角α=60°，底端C點(diǎn)的俯角β=75°，此時(shí)直升機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高.

【思路突破】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D兩點(diǎn)的垂直距離，CD的長(zhǎng)由二者相減即可求得.

【解答】過(guò)D作BC的平行線交AB于E，則四邊形BCDE為矩形，

∴DE=42，∠ACB=75°，∠ADE=60°.

∵在Rt△ABC中，

∴AB=BC·tan75°=42·tan（45°+30°）

圖1　

∵在Rt△ADE中，

∴CD=BE=AB-AE=84（m）.

【解后反思】本題只介紹了三角函數(shù)中的兩角和的相關(guān)計(jì)算公式，沒(méi)有給出如何求得的，主要考查同學(xué)們應(yīng)用公式的能力.

例3閱讀資料：

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得所以A，B兩點(diǎn)間的距離為

圖2　

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為當(dāng)⊙O的半徑為r時(shí)，⊙O的方程可寫(xiě)為：x2+ y2=r2.

圖3　

圖4　

問(wèn)題拓展：

如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫(xiě)為_(kāi)______.

綜合應(yīng)用：

如圖4，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使tan∠POA=作PD⊥OA，垂足為D，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)B，連接AB.

①證明AB是⊙P的切線；

②是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫(xiě)出經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)的圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

【思路突破】問(wèn)題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，則有AP=r，根據(jù)資料中的兩點(diǎn)之間距離公式即可求出⊙P的方程.

綜合應(yīng)用：①只要證明∠PAB=90°，即可得AB是⊙P的切線；

②當(dāng)點(diǎn)Q為線段BP中點(diǎn)時(shí)，QO=QP= BQ=AQ，然后運(yùn)用問(wèn)題拓展中的結(jié)論就可解決問(wèn)題.

【解答】問(wèn)題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，∵P（a，b），半徑為r，∴AP2=（x-a）2+（y-b）2=r2.故答案為：（x-a）2+（y-b）2=r2.

圖5　

綜合應(yīng)用：

①∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD，

又∵PO=PA，PB=PB，

∴△POB≌△PAB，

∴∠POB=∠PAB.

∵⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，

∴∠PAB=∠POB=90°，

∴AB是⊙P的切線.

②存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q，點(diǎn)Q為線段BP的中點(diǎn).

∵當(dāng)點(diǎn)Q為線段BP中點(diǎn)時(shí)，

且∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ，

此時(shí)點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等.即存在經(jīng)過(guò)O，P，A，B四點(diǎn)的圓.

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，如圖5，

則有∠QHB=∠POB=90°，

∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的圓的方程為（x-4）2+（y-3）2=25.

【解后反思】本題是一道閱讀題，以考查閱讀理解能力為主，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，用到了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、切線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角函數(shù)的定義等知識(shí)，有一定的綜合性.

（作者單位：江蘇省豐縣順河中學(xué)）