非線性最小二乘法擬合在固結系數計算中的應用

江唯偉

（湖南省公路設計有限公司廣州分公司，廣東 廣州 510030）

非線性最小二乘法擬合在固結系數計算中的應用

江唯偉

（湖南省公路設計有限公司廣州分公司，廣東 廣州 510030）

室內固結試驗中固結系數的計算方法主要有時間對數法與平方根法，這兩種方法均屬作圖法，人為因素影響較大。通過編制擬合函數模塊，采用Origin7.5中非線性最小二乘法擬合功能，利用多組試驗數據，可方便求出固結系數、固結試驗初始讀數與終值讀數。該方法求解速度快，結果合理，避免人為因素影響，能方便應用于固結系數的求解中。

固結系數；Origin7.5；非線性最小二乘法擬合

0　引言

室內固結試驗求解固結系數的方法中，最早提出且應用最為廣泛的是時間對數法以及時間平方根法，其也是規范推薦的方法，這兩種方法均屬作圖法，人為因素對于固結系數的計算影響較大［1］。反彎點法中對反彎點的目測難以準確確定，這也影響到結果的精度。三點法只利用了三組數據，人為因素較強，同時取值不恰當時，得到固結系數的離散性也較大。司各脫法是一種較好的計算方法，但其本身也依賴于初始值的準確性，從而對于固結系數也有較大的影響，即使初值變化千分之一，也會使計算得到的初期固結系數發生較大的變化［2］。近年來，最小二乘法［3，4］、遺傳算法［5，6］、單純形法［7］等最優化方法在固結系數的求解中得到了應用。由于各種最優化算法對工作人員的算法分析以及編程能力要求較高，離實際應用有一定距離。

最小二乘法在固結系數求解的本質為多元函數極小值問題，而Origin7.5非線性擬合功采用Levenberg-Marquardt最優化迭代法來求解多元函數的極值問題，該方法求解速度快，適用范圍廣。因此，本文借助常用數據軟件Origin7.5的非線性擬合功能可方便實現固結系數的求解，有助于在工程中的推廣。

1　擬合函數的確定

固結試驗中，假定在任意時刻t，其讀數為Rt，固結試驗初始讀數為R0（固結度為0時的百分表讀數），固結試驗結束時的終值讀數為R100（即固結度為100%時的百分表讀數）。U（t）為任意時刻t時的固結度，H為試件固結的排水距離。則U（t）表示如下：

可見函數Rt是以R0，R100，Cv為參數，以t為自變量的函數。

2　非線性最小二乘法擬合問題

在許多應用科學和工程技術問題中，試驗數據的最小二乘法擬合是一種廣泛應用的方法。

給定數據，（ti，yi），i=1，2，...，m，設其擬合函數為η（α，t）=η（α1，α2，...αl，t）

它是以α=（α1，α2，...αl）T為參數的變量t的函數。如果對某個

則α稱為擬合函數η（α，t）的線性參數。如果上式不成立，則這個參數稱為非線性參數。

如果 α1，α2...，α1都是擬合函數的非線性參數，記

從以上定義可知：在給定的數據（ti，Ri），其擬合函數為Ri（α，t）=Rt（R0，R100，Cv，t），即求得一組參數R0，R100，Cv，使得平方和函數得到最小值。

3　Origin軟件中的實現

Origin7.5為一種數據分析和數據制圖的軟件，具有非線性最小二乘法擬合（NLSF-Nonliner Least Squares Fitter）的功能，Origin7.5提供了200多個數學表達式用于曲線擬合。這些數學表達式選自不同的學科與工程領域，能滿足大多數科技工程中的曲線擬合需求，另外用戶可以自己定義擬合函數，進而就可以利用Origin7.5進行參數的回歸分析。在定義擬合函數時，用戶可以使用Origin C語言進行編程，從而使形式復雜的模型函數也可以應用Origin7.5非線性擬合進行參數回歸分析。Origin7.5所提供求解非線性擬合問題的方法為Levenberg-Marquardt最優化迭代法。

本文根據式（2），通過Origin C語言編制了非線性擬合函數模塊，所需擬合的非線性參數為：R0、R100、Cv。非線性擬合的基本過程為：（a）定義擬合函數；（b）輸入擬合數據；（c）指定函數變量；（d）初始參數輸入及曲線模擬；（e）曲線擬合及結果分析。

4　算例驗證

利用文獻［2］所給出的數據（見表1），采用上述過程進行了計算。首次曲線模擬時取R0=2.05 mm，R100=1.5 mm，Cv=0.002 cm/s2，初始曲線（見圖1），然后通過“100lter.”功能進行最多 100次的“Levenberg-Marquardt”迭代，得到非線性擬合后曲線（見圖1），獲得的參數見表2。從圖中可看出，擬合后的曲線與實驗曲線相當吻合，R2=0.999 41。計算得到的Cv=0.002 29 cm/s2與文獻［2］中計算的固結系數Cv=0.002 3 cm/s2一致，說明本文采用的方法的正確性。同時由表2計算結果可知，本文采用方法求解速度更快。

5　結論

通過以上推導與分析，可以得出以下結論：

（1）非線性最小二乘法擬合在固結系數求解的本質為多元函數極小值問題，而Origin7.5中非線性擬合功能采用Levenberg-Marquardt最優化迭代法能方便求解多元函數的極值問題。

表1　算例計算數據

表2　計算結果對比

圖1　曲線擬合圖

（2）本文通過編制簡單的擬合函數模塊，采用Origin7.5中非線性最小二乘法擬合功能，可方便求出固結系數Cv、、固結試驗初始讀數R0、固結試驗終值讀數R100。該方法求解速度快，精度高，結果合理，運用簡單，不需要復雜編程計算，能方便應用于固結系數的求解中。

［1］JTG E40-2007，公路土工試驗規程［S］.

［2］Ronald f，Scott.New method of consolidation coefficient evaluation［A］. Journal of the soil mechanicals and foundations division proceedings of American in Society of Civil Engineers［C］.1961.

［3］包太，劉新榮，朱凡，等.固結系數的最小二乘法計算［J］.巖土工程學報，2005，27（10）:1230-1232.

［4］包太，劉新琛，劉新榮.改進的最小二乘法計算固結系數［J］.重慶建筑大學學報，2007，29（2）:60-62.

［5］音俊峰，許小健.利用優化方法推算室內固結系數［J］.科學技術與工程，2010，10（13）:3276-3278.

［6］江剛.遺傳算法在固結系數計算中的應用［J］.重慶建筑大學學報，2006，28（1）:71-73.

［7］包太，劉新榮.改進的遺傳算法求解固結系數［J］.土木建筑與環境工程，2009，31（1）:23-26.

TU5

A

1009-7716（2016）07-0311-02

2016-03-16

江唯偉（1985-），男，湖北荊州人，碩士，工程師，主要從事公路路線、互通立交、路基路面及地基處理設計工作。