一道IMO試題的完善性推廣

董正武

摘 要：在《奧林匹克數學中的代數問題》一書中摘錄如下一道IMO試題（見引例），這道試題是關于三元的不等式結論，筆者將這個不等式中的“元”的個數增加到任意正整數個，得到了相對完善的結論.

關鍵詞：IMO;完善性推廣;不等式

引例.設a，b，c為正實數，且滿足abc=1，求證：++≥

推廣1.設a，b，c，d為正實數，且滿足abcd=1求證

+++≥

證明：將所證不等式的左邊記為N

∵abcd=1

∴N=+++

由柯西不等式，有

∴[a（bc+bd+cd）+b（ac+ad+cd）+c（ab+ad+bd）+d（ab+ac+bc）]×N≥（bcd+acd+abd+abc）2，

故N≥

再利用算術-幾何平均不等式，得N≥×4=.

推廣2.設a1，a2，a3，…，an為正實數，且滿足ni=1ai=1求證：

ni=1≥.

證明：∵ni=1ai=1

∴N=ni=1

=ni=1

由柯西不等式，有ni=1ai（j≠ik≠i，jak）×N

≥（ni=1j≠i，aj）2

∴（n-1）（ni=1j≠i，aj）×N≥（ni=1j≠i，aj）2

再利用算術-幾何平均不等式，得

∴.N≥（ni=1j≠i，aj）≥×n

=

其中1≤i，j，k，1≤n且i，j，k，l，n∈N+.

推廣3.設a1，a2，a3，…，an為正實數，且滿足ni=1ai=1，求證：

ni=1≥.

證明：將3中的a1分別替換為aim（i=1，2，…n），即可得到所要證明的結論.

參考文獻：

[1]沈文選等.奧林匹克數學中的代數問題[M].湖南：湖南大學出版社，2009：187—187.