數學能力的提升源于質疑

江蘇省無錫市梅里中學 陳曉靚

數學能力的提升源于質疑

江蘇省無錫市梅里中學 陳曉靚

初三數學教師，離不開找題，看題，解題。最近，在看這兩年的數學中考試題時，偶然間發現2014年連云港數學中考試卷的第27題，此題是中考壓軸題，難度較大，解題難點在于分析動點的運動軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力；此外本題還綜合考查了二次函數、整式運算、四邊形、中位線、相似、軸對稱與勾股定理等眾多知識點。此題是一道考查研究意識、創新意識和實踐能力的好題。

原題再現：某數學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8。

問題思考：

如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC、BPEF。

圖1

圖2

圖3

（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值。

（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由。

問題拓展：

（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8。若點P從點A出發，沿A→B→C→D的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長。

（4）如圖3，在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值。

初解質疑：第一次解這題時，發現本題第（3）問略有漏洞，即沒有提到點Q從點D出發，這樣一來可能出現PQ=8時，但小于正方形邊長的情況，此時當點Q運動到點A時，點P還沒有運動到B點，還有一小段的平移，而PQ的中點O的運動軌跡也應有一小段線段才對。這難道是出題不嚴謹？

再解迷惑：當我再次閱讀題干時發現，某數學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8，而第三小題中以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8，此PQ=8應為定長，運動開始時，點Q也有可能在B點處（不看圖的話），與點Q在D處中點O經過的路徑長是相等的，沒有圖的話，甚至PQ保持平行于正方形的邊運動的情況也存在。所以我覺得加上“Q點隨著P點逆時針方向運動”的條件較為嚴密。

研討解惑：遇到此問題后，與老教師研討，深受啟發。覺得加上“Q點隨著P點逆時針方向運動”的條件沒有必要，這種動點問題不要擅自加上X時針方向運動，反而顯得題目不夠嚴謹，其中，“如圖”也是一個至關重要的條件，我覺得十分有道理。

思考提升：受到點撥啟發之后，我覺得借“如圖”表示線段數量關系是有先例的（但我并不認為這是一種最好的方式），我后來量了一下，PQ=AB，再根據圖中點P、Q的方位，點Q開始位置應為點D。這樣一來，說“出題不嚴謹”，未免不妥了。據我猜測，此題源于定長線段兩端點在兩坐標軸上滑動，求線段中點軌跡。這樣理解題意，可能較切合命題的本意。可是加上“Q隨著P逆時針運動”的條件比較切合學生實際。若不加，點Q的運動可能出現跳躍情況或轉向情況，多種運動狀態的組合，討論起來就比較麻煩了。

看法新穎：一點新看法：若PQ=AB=8，從物理學的角度看，當點P沿A―B―C―D運動時，動線段PQ另一端點Q，一般應是受A的牽引在正方形邊上滑動，故P、Q同時在AB、DC上同速向右平移可以排除。

聯想升華：由于對本題的質疑，使我聯想到此題的擴充。平面上的動直線與正方形相交于P、Q兩點。求動線段PQ中點組成的圖形。（當時，就必出現兩動線段端點分別位于正方形兩平行邊上的情況。特別是PQ=AB時，會出現動線段平行正方形邊長的情況，值得注意的是，本題PQ中點，均不在正方形各邊上。）此題作為課外研究，也許蠻有趣的。看題即可預知，最后求得圖形，關于正方形中心對稱，能夠較好地體現幾何之美。

新題呈現：

題目1：已知；邊長為a的正方形ABCD，它所在平面有一動直線與此正方形相交于不重合的P、Q兩動點。

（1）求動線段PQ長度的最大值，此最大值一定為無理數嗎？

（2）求動線段PQ中點O組成的圖形。

（3）在正方形內部隨機任取一點，此點不是PQ中點的概率是多少？

提示1：此題第2小題有一定難度，若覺得不好下手，請先做下題。

在直角坐標平面第一象限內，有一長為L的動線段PQ的兩端點P、Q保持在X軸、Y軸上滑動，求動線段PQ中M組成的圖形。若把第一象限換成第二象限，情況又如何？

提示2：對動線段PQ狀態的分類是解題的關鍵。分類方法之一是：PQ與正方形兩對邊相交（有正交、斜交兩種方式）；PQ與正方形相鄰兩邊相交。

題目2：求周長為L的直角三角形斜邊的最小值和面積的最大值。

題目3：在三角形ABC中，∠C為直角，AB=c，AC=b，點D為AB上一動點，過點D作DF⊥BC，點F為垂足，過點F作FE平行于AB，交AC于點E。

（1）BD為何值時，三角形DFE為直角三角形？

（2）當三角形DFE為鈍角三角形、三角形DFE為銳角三角形時，求BD變化的范圍。

（3）求三角形DFE面積的最大值、最小值。

總結反思：近些年來，幾何、函數圖像中的動點問題一直熱度不減，此題型主要目的是滲透了數形結合、分類討論、幾何直觀等數學思想方法，考查了學生的思維能力和探索能力。讓學生體驗了數學的發現過程，感悟數學的思想方法和本質。在解決此類題型時，要從幾何圖形本身出發，注意點在運動過程中的特殊位置，整合多種情況，掌握動中取靜的一般規律。這就要求我們在平時的數學教學過程中應注重“動手操作，實踐探索”的能力培養，激發學生的數學思維能力，能夠在考試當中較快地找到應對此類題型的方法。對于數學教師來說，路漫漫其修遠兮，在數學教學的征程中要不斷探索，不斷質疑，不斷提高，激活學生的創新思維，散播創新的種子，點燃創新的火花，開發創新的才能。