欲識廬山真面目，返璞歸原覓本真
——以蘇科版《數(shù)學(xué)實驗教材》課題研究課為例

江蘇省無錫市東林中學(xué) 楊 峰

江蘇省無錫市金星中學(xué) 朱宸材

欲識廬山真面目，返璞歸原覓本真
——以蘇科版《數(shù)學(xué)實驗教材》課題研究課為例

江蘇省無錫市東林中學(xué) 楊 峰

江蘇省無錫市金星中學(xué) 朱宸材

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的“實踐與應(yīng)用”領(lǐng)域是課改的一個特色。該領(lǐng)域提供學(xué)生進行一種實踐性、探索性和研究性學(xué)習(xí)的課程渠道，而新興而起的數(shù)學(xué)實驗研究，應(yīng)當(dāng)成為改善學(xué)生學(xué)習(xí)的一個重要途徑：以數(shù)學(xué)實驗研究為載體，開展有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，倡導(dǎo)動手實踐、自主探索與合作交流的方式，對于不同的學(xué)生在課題學(xué)習(xí)上都能夠得到不同的發(fā)展。教師作為數(shù)學(xué)實驗研究的組織發(fā)起者，要注意培養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究、獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，以及交流與合作的能力，并且采用多種積極的評價方式，通過數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)，促進學(xué)生發(fā)展。

數(shù)學(xué)實驗；課題研究；數(shù)學(xué)活動教學(xué)

新課程強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)課程的四維目標(biāo)（知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀、基本活動經(jīng)驗等）的達成，與原有課程相比，新課程在關(guān)注知識結(jié)果目標(biāo)的同時，更注重對過程目標(biāo)的關(guān)注和對學(xué)習(xí)者——學(xué)生的關(guān)注，目標(biāo)更加人文化，更關(guān)注學(xué)生獲得知識的過程以及在學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)歷、感受和體驗。目前，以蘇科版教材為基礎(chǔ)，江蘇課改正在探索一條數(shù)學(xué)實驗指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的改革之路，而作為數(shù)學(xué)實驗的最佳模版課題研究已經(jīng)成為教學(xué)中的嘗試和探索的方向。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合身邊的事物，指導(dǎo)學(xué)生開展一些具有一定的趣味性和研究價值的的課題研究，如“陽光下物體的高度與影長之間有什么關(guān)系嗎？”“如何測量一棵大樹的高度？”等。圍繞這些課題展開數(shù)學(xué)活動，學(xué)生對完成類似的課題會非常感興趣。同時，以課題研究為載體，倡導(dǎo)學(xué)生融入動手實踐、自主探索與合作交流的方式中去，在探索、研究的同時進行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，通過解決問題提高數(shù)學(xué)能力。這不僅可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，同時也是發(fā)展學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題的能力，對于數(shù)學(xué)教學(xué)是一個有益的補充，而且對于不同的學(xué)生在課題研究上都能夠得到不同的發(fā)展。下面從筆者的一次數(shù)學(xué)課題實驗課談起：

如何根據(jù)實際情況確定出有意義的課題開展數(shù)學(xué)實驗研究呢？在數(shù)學(xué)實驗中又怎樣來指導(dǎo)數(shù)學(xué)課題的研究呢？筆者進行了一些探索和嘗試。

一、在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中安排具有探索性的實際應(yīng)用型的課題研究

課題研究的整個活動經(jīng)歷“問題情境→建立模型→求解→解釋與應(yīng)用”的基本過程。教師要根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容預(yù)先提前兩天提出研究課題，并根據(jù)課題研究內(nèi)容做好分組工作，讓學(xué)生有一定的時間思考、討論，預(yù)先進入課題所設(shè)置的問題情境中來。

案例1：如何測量大樹的高度

研究工具：卷尺（帶有刻度），小鏡子，標(biāo)竿，有厘米刻度的直尺，自制的高度為1.5m的測角儀（能測量“仰角”和“俯角”的）一架。建立模型并求解。類似于測量物體高度的題目在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一定接觸過，只要在書上、習(xí)題上尋找一下，很快就能找到方向，然后設(shè)計出相應(yīng)的測量方法，經(jīng)過每個小組成員的自主探索，在合作交流中及時找到解決問題的突破口，最終設(shè)計出盡可能多的測量方法來。以下是學(xué)生在做這個課題研究時設(shè)計的幾個測量方法：

①利用陽光下的影子。

這是最簡單的研究方法。

②利用測角儀。

利用自制的高度為1.5米的測角儀，在距大樹a米的地方測出樹頂?shù)难鼋铅粒山庵苯侨切蔚南嚓P(guān)知識可以得出樹高為1.5+atgα米。

③利用鏡子的反射。

研究方法：在地面上放好小鏡子，調(diào)整人的位置，使眼睛正好能從鏡中看到樹的頂端，根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，測量出相應(yīng)數(shù)據(jù)，可以求出樹高。

④利用標(biāo)桿。

設(shè)計方案：在大樹前直立一根標(biāo)桿，觀測者在標(biāo)桿后調(diào)整距離，使眼睛正好看到標(biāo)桿頂、樹頂在一條直線上。

測量數(shù)據(jù)：分別測量人到樹的距離a、標(biāo)桿到樹的距離b、人眼睛此時的離地高度c、標(biāo)桿的長度。

計算方法：如圖，運用相似三角形的知識，進行求解。

⑤利用帶有厘米刻度的直尺。

觀測者拿著一把刻有厘米刻度的直尺，站在距大樹a米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，觀察在直尺幾厘米刻度的地方恰好遮住大樹，測量臂長，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，也可以求出樹高。

在具體測量之前，只要善于尋找，積極思考，解決問題的方法是很多的，在理解課題的數(shù)學(xué)情境的前提下，不同層次的學(xué)生都能夠著手進行課題的實驗研究。確定了方法，這時候小組根據(jù)制訂的方案到室外展開實際操作，通過實驗、比較、歸納，最后完成課題的研究。如果從數(shù)學(xué)實驗的角度，對于課題的探索到此并沒有結(jié)束，教師接下來還可以提出下面的一些問題：

（1）在利用陽光下的影子的實驗方法時，如果大樹的影子一部分落在地上，一部分落在一邊的墻上，測量這兩段影長，在同一時刻，再測量出標(biāo)竿的高度a和影長，能不能尋找適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龃髽涞母叨龋?/p>

（2）通過以上課題的研究能不能再尋找方法測量出學(xué)校旁邊小河溝的寬度呢？

只要學(xué)生理解了上面測量樹高的問題，那么類似的繼續(xù)延伸下去的探索性問題還可以提出很多。數(shù)學(xué)的應(yīng)用性問題得到不斷的補充、拓展、延伸，對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成無疑是大有幫助的。

二、把一些規(guī)律性的結(jié)論設(shè)置為數(shù)學(xué)實驗的對象

數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容不僅要包括數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)成結(jié)果，還要包括這些結(jié)果的形成過程。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們都會總結(jié)出一些具有規(guī)律性的結(jié)論。例如：在接觸折疊問題的時候，會有這樣一個結(jié)論：折痕是對應(yīng)點連線段的垂直平分線。又如：在學(xué)習(xí)相似三角形的時候可能遇到這樣一個實際問題：陽光下物體的高度與影長成正比例，一般經(jīng)歷如下一些過程：

確定課題：在同一時刻，陽光下物體的高度與影長之間的關(guān)系。

確定研究內(nèi)容：在同一時刻，在能夠測量出物體高度的條件下測量該物體的高度和在陽光下的影子的長度。

確定研究形式：尋找研究物體，測量、計算、比較，小組討論，歸納結(jié)論。

確定研究過程：教師提前一天布置課題，學(xué)生自由組合，利用課間時間完成研究內(nèi)容，得出數(shù)據(jù)，計算物高與影長的比值，得出結(jié)論，最后全班交流。

在學(xué)生實驗的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)及時進行指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，如果誤差太大，還要分析、尋找原因。然后推選小組代表向全班介紹課題的研究方法和研究結(jié)果，教師最后要運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識來進行說明，讓學(xué)生真正從數(shù)學(xué)的層面上理解研究的課題。

三、通過制作數(shù)學(xué)道具來展開有效的數(shù)學(xué)實驗探究

在學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面展開圖、學(xué)習(xí)正方體的立體展開圖的時候，幾乎所有的數(shù)學(xué)老師都會預(yù)先布置學(xué)生做好相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后展開學(xué)習(xí)，力求得到一個形象化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。制作數(shù)學(xué)道具展開學(xué)習(xí)，這其實也是一個很有效的數(shù)學(xué)課題。

案例2：在學(xué)習(xí)解直角三角形的時候經(jīng)常會接觸到測角儀

什么是測角儀呢？教師作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者可以這樣解釋“測角儀就是……，它能夠……，它在數(shù)學(xué)題目中可以這樣來簡畫……”，然后這個從來沒有見到過的測角儀就開始一次次地出現(xiàn)在了很多實際問題中了，是不是感覺來得太突兀了一點？學(xué)生真正明白這個儀器了嗎？不過一個測角儀價格上千元，作為一個教學(xué)儀器只是為了用來給學(xué)生展示一下的話，那也實在是太浪費了。所以我們不妨將制作測角儀作為一個課題研究讓學(xué)生試試看。根據(jù)手邊現(xiàn)有的材料，只要一個普通的三腳架，加上木條、膠水、小繩、量角器等工具，學(xué)生完全可以制作出一個可以投入實際使用，能夠測量“仰角”和“俯角”的測角儀來。測角儀制作出來后，又引出了測樓高、樹高等一系列的課題研究，不妨在活動課上帶著學(xué)生一起去測量一下，不妨做一做數(shù)學(xué)實驗。

四、將學(xué)生易錯的一些數(shù)學(xué)問題提煉出來進行課題研究

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會出現(xiàn)的一些經(jīng)常發(fā)生的錯誤，如等腰三角形有三線合一的性質(zhì)：等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，也可以簡記為等腰三角形三線合一，或三線中知一可以推二，但在初三復(fù)習(xí)全等三角形的時候?qū)W生通常會出現(xiàn)這樣的錯誤：已知三角形中的一條線段是角平分線、中線、高線中的兩條就立刻得出結(jié)論這是一個等腰三角形，問原因，回答是：“三線合一啊！”針對這個問題，教師首先應(yīng)該把等腰三角形三線合一的性質(zhì)重新再復(fù)習(xí)一下，接下來，做為一個命題：如果已知三角形中的一條線段是角平分線、中線、高線中的兩條那么這個三角形是一個等腰三角形，這個命題是真命題嗎？教師這時候可以把知2是否一定得3或者兩線重合是否一定得出等腰三角形設(shè)置為一個數(shù)學(xué)研究的課題，讓學(xué)生進行自主探索、合作交流，或者動手進行數(shù)學(xué)實驗的驗證，將課題研究的過程、結(jié)果都完整地記錄下來，最后教師進一步進行總結(jié)，使整個知識內(nèi)容呈一個螺旋上升的趨勢，不僅學(xué)生做到了真正的理解，而且還將數(shù)學(xué)知識進行了拓展、延伸。類似的參考課題還有“邊邊角一定能證全等嗎”等。讓學(xué)生通過動手參與探索、交流、歸納，親自動手、動口、動腦，積極參與的學(xué)習(xí)過程，無論是理解程度上還是記憶上，都是比教師直接講出來要具有有效性。

以課題研究為載體，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識和應(yīng)用能力的同時，也幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想和方法有一個直觀生動而深刻的理解，從而更好地掌握知識。教師作為課題研究的組織者和引導(dǎo)者，要注意培養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究、獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，以及交流與合作的能力，并且采用多種積極的評價方式，通過課題學(xué)習(xí)，促進學(xué)生發(fā)展。

總之，新課程強調(diào)要努力轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，突出學(xué)生的主體地位，重點培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)實驗教學(xué)正是一種體現(xiàn)這一理念的有效的教學(xué)方式。在教學(xué)中，要根據(jù)數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)容特點，合理選用適當(dāng)?shù)膶嶒炇侄危瑑?yōu)化設(shè)計模擬型、學(xué)具型、操作型、應(yīng)用型數(shù)學(xué)實驗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改變學(xué)習(xí)方式，不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程，在“做”和“思考”的過程中積累活動經(jīng)驗，最終培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（2）：1-6

［2］夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放取向——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（1初中）：33-35.

［3］鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）：1-3.