關于電磁場解析方法的一些認識

雷銀照

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院　北京　100191)

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關于電磁場解析方法的一些認識

雷銀照

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院北京100191)

對電磁場解析方法進行了綜述。指出了解析解的重要性：能夠直觀揭示電磁場的變化規律，不存在數值不穩定問題，表達式能被他人重復導出，表達形式具有科學美，是數值解的基礎，并作為計算公式被廣泛用于解決工程問題。介紹了幾種常用解析方法：分離變量法、復變函數法、格林函數法、積分變換法以及近似解析法。重點回顧了歷史上的若干經典解析解：蘭帕-湯普森定理、范德堡公式、螺線管中心的均勻磁場表達式、放置式線圈的阻抗增量、Halbach永磁體的磁場計算法、腦磁測量基準計算公式、淺表面缺陷渦流場的三維漸近解析解、金屬管道渦流場的三維解析解。給出了有助于解析求解的幾本參考書。最后提出了今后需要進一步研究的一些問題：用保角變換方法求解穩恒磁場、現有解析方法的綜合使用、借鑒最新數學物理方法、瞬態渦流場的解析求解、微擾法中高階導數項的求解、逆問題的解析求解。

電磁場理論解析方法解析解綜述

0　引言

自從麥克斯韋提出電磁場方程組后，宏觀電磁場理論的框架就已基本建立。其后的發展就是基于電磁場方程組結合具體的介質和邊界條件、利用數學方法求出電磁場的解，研究其特性和規律，為人類服務，因此電磁場解析方法在宏觀電磁場理論的發展過程中占有重要地位，是近代電磁場理論的核心內容。

在很長一段時期內，解析求解局限在一維介質和二維介質中的電磁場，雖然也可以求出個別三維介質中的解析解，但都限于特殊的介質形狀和場源分布。最近十多年，電磁場解析方法取得了巨大進步，已能夠求出二維介質和三維場源的嚴格解析解、一些典型形狀的三維介質的解析解和一大類問題的近似解析解。

本文對電磁場解析方法進行了綜述。首先介紹了電磁場解的含義和解析解的重要性，然后分別介紹了幾種常用的解析方法，重點介紹了歷史上若干經典解析解，推薦了幾本解析方法參考書，最后提出作者認為需要進一步研究的一些問題。

1　電磁場問題的解的含義

宏觀電磁場問題滿足麥克斯韋方程組。對于任意給定的宏觀電磁場問題，結合邊界條件和初始條件求解麥克斯韋方程組，如果能夠得到使定解問題(含方程組、邊界條件、初始條件)成立的一切值，這些值就是這個電磁場問題的解。

為了得到電磁場定解問題的解，求解方法大體上有實驗研究、數值計算和解析分析三類，它們各有特點，并相互補充。實驗研究方法中有使用真實電磁設備進行的直接測量的方法和通過使用具有數學相似性的模型來確定解的電模型方法。數值計算方法是通過將連續介質離散化，形成代數方程組并求解后，得到用數字表示的離散數值解。解析方法是通過數學中的代數方法或基于極限過程的方法(如微分法、積分法、復變函數法等)求解電磁場定解問題，得到由數學運算符號將表示數的字母或數字連結而成、可以運算的表達式。

2　解析解的重要性

概括地說，解析解具有以下重要作用：

1)解析解能夠直觀揭示電磁場的變化規律。用解析方法得到的解析解能用顯式表達，場量與參數之間的依賴關系可以直觀顯示，這是其他解形式所不能替代的，這個獨特優勢使得解析解成為電磁場理論的核心內容，起著決定性的作用。

2)解析解不存在數值不穩定問題。數值穩定性是指初始數值的微小擾動不會帶來解的重大變化。原始測量中總有誤差，如果使用數值法計算電磁場問題，則解依賴于介質或源區的剖分、約束方程的表達形式、計算格式等，從而影響解的數值穩定性。數值穩定性差的數值法會使求解失敗，而且往往很難發現。與數值法不同，解析解的求解不需要介質剖分或場源剖分，不需要選取計算格式(微分型、積分型、迭代型等)，計算量非常少，一般不會引起數值不穩定問題，計算結果可靠。特別是極端情況下的介質分布，例如介質尖端處或介質極薄情況下，數值解的可靠性無法得到保證，此時使用解析解就成為重要且可能是唯一的方法。

3)解析解可被他人重復導出。解析解是在電磁場基本原理的基礎上應用數學方法得到的，因此除了首次提出者外，其他人也可以獨立地通過數學推導來確認過程和結果的正確性，在此基礎上得到繼承和發展。這是解析解的獨特優勢?？芍貜托允强茖W研究中的重要原則。如果一個結果不能被別人所重復，那么這個結果可能就是錯誤的，也不會被人接受。正因為解析解的可重復性，使得那些實用價值大、表達式簡單的解析解廣泛傳播，成為電磁場理論的組成部分。

4)解析解具有科學美。許多經典解析解的求解過程看起來并沒有使用高深理論，讀者也并非看不懂其中的理論細節，可是在運用了幾個簡單的關鍵步驟之后，所得結果往往超出預期，無論求解過程還是理論結果都讓人驚嘆。思路的巧妙、結果的簡潔，體現了電磁場理論的無窮魅力。學習電磁場理論，享受這種“情理之中，意料之外”的美妙，是電磁場理論工作者幾十年如一日長期研究的重要原因之一。

5)解析解是數值解的基礎。一方面，數值法計算過程中往往要借助于特殊情況下的解析解，例如積分型數值方法，需要用格林函數的解析解構成積分方程的核函數。另一方面，解析解的計算量極少，計算精度高，以解析解為基礎可構成最優化數學模型，從而能夠快速數值計算電磁場的逆問題。此外，解析解還可用于校驗數值解。數值解在求解過程中涉及剖分、高階方程組求解等諸多步驟，再加上有的問題存在數值不穩定，使得計算結果的正確性難以保證，這時用解析解驗證就是一個簡單有效的辦法。若數值解與解析解不一致，那么數值解必然有誤。

6)作為計算公式被廣泛用于解決工程問題。電磁場解析解在電氣工程、計量、地球物理勘探、無損檢測、生物電磁、工業設計等領域應用廣泛，例如：①電機工程設計手冊中的許多電場、磁場、電阻、電感、電容等的簡潔計算式都來自電磁場解析解；②為了獲得超導磁共振成像的強均勻磁場，一般是先根據磁場解析式進行線圈繞制、裝配，而后進行微調；③在礦產勘探中，層狀導體電磁場的解析解被用于電磁測深和檢測裝置的設計。

即使得到的是近似解析解也具有實用價值，例如完好鐵磁管道在階躍磁場激勵下，管壁內的渦流具有級數形式的解析解[1]，經數學上的近似處理，渦流密度分量J可近似表示為指數衰減形式的解析解

J≈F(x1,x2,…,xn)e-t/τ

式中，F為鐵磁管道參數x1，x2，…，xn的函數；τ為渦流擴散時間常量，τ值的大小取決于管道的尺寸與電磁參數。如圖1所示，τ值不同，對應的檢測線圈“感應電壓-時間衰減曲線”的形狀不同。這樣，在未知鐵磁管道電導率和磁導率的情況下，根據檢測到的擴散時間常量與管道無腐蝕處的擴散時間常量的比較，即可檢測出鐵磁管道的壁厚減薄。無損檢測工業界內著名的RTD-INCOTEST[2]脈沖渦流儀就是以此原理制成的。

圖1　探頭線圈感應電壓與鐵磁管壁腐蝕深度的關系Fig.1　The relationship between the voltage induced in the coil and ferromagnetic pipe-wall erosion depth

3　常用解析方法

目前電磁場理論中已有多種解析方法，常用的有分離變量法、復變函數法、格林函數法、積分變換法、近似解析法(如微擾法、積分方程迭代法以及變分近似法等)。這些方法各有特點和適用范圍，其中分離變量法、復變函數法以及近似解析法中的微擾法用處最大，也最重要。

3.1 分離變量法

在數學上，利用線性方程的疊加原理，先尋找一串滿足偏微分方程和齊次邊界條件且可以表示為幾個僅含部分變量的函數乘積形式的解，再適當地組合與疊加這些函數，最終得到原邊值問題的解。這樣的求解方法就是分離變量法[3]。分離變量法可將三維偏微分方程轉換為三個常微分方程，它的核心是求解本征值問題和將一定函數類按某一正交函數系展開。簡單地說，求解本征值問題就是求出含有未知參數的齊次微分方程在齊次邊界條件下的非零解。求解本征值問題一方面可以確定本征值(即分離常量)，并能夠確定是離散的還是連續的，離散形式的本征值對應傅里葉級數形式的解，連續的本征值對應傅里葉積分形式的解；另一方面可以得到本征值問題的解函數，這些解函數都是正交函數，常見的有正弦函數和一些特殊函數(如貝塞爾函數、勒讓德函數等，各類特殊函數的性質見文獻[4])。展開成正交函數可以確定形式解中的待定系數，這其中要用到傅里葉級數的帕塞瓦爾定理和傅里葉變換的帕塞瓦爾定理。在求解過程中，混合使用其他分析方法，可以解決許多類型的電磁場問題，包括靜態場、渦流場、脈沖場、高頻場，不僅可以解析求解二維場，還可以解析求解一些三維場，應用十分廣泛。分離變量法是所有電磁場解析方法中最常用、最基本、最重要的一種分析方法，它的求解過程具有典型意義。目前已發表的電磁場解析解大多是基于分離變量法得到的。

3.2 復變函數法

利用復變函數理論中的保角變換可以求解許多平行平面電磁場問題。約束方程可以是拉普拉斯方程，也可以是亥姆霍茲方程；場區邊界可以是多邊形，也可以是任意形狀。復變函數法能求解許多類型的場，例如靜電場、穩恒電場、穩恒磁場、時諧場，所得解析解的形式往往都很簡單。復變函數法能解析求解的典型問題有電容器的邊緣場、多邊形導體的電場、某些永磁機構的磁場、旋轉電機氣隙中的磁場[5]、電纜中的電磁場、波導中周期結構的電磁場，還可以求出電容、電阻、高頻傳輸線的特性阻抗等。從目前情況看，這個方法能求出大大小小幾百個電磁場問題，適用范圍寬廣，它的不足是難以求解三維電磁場問題。

復變函數法的理論基礎是柯西-黎曼方程、保角變換理論以及許瓦茲-克里斯多弗變換，其核心是將一個區域保角變換到另一個區域。進行區域間的變換簡單說就是化繁為簡的需要。對于一些形狀較為復雜的區域上的問題，直接在這個區域上解析求解往往比較麻煩和困難，甚至不可能求解。但在形狀較為簡單的區域上的同類問題，或者已有求解公式，或者求解變得較為容易。這樣人們就會想到，能否找到一個將復雜區域變成簡單區域的一一對應的可逆變換，若能找到這樣的變換，則可將復雜區域上原來不可能直接求解的問題，通過區域的變換轉換為較為簡單的區域上的問題，得到解后再作逆變換即可得到原問題的解。有鑒于此，在復變函數法中，一個基本任務是，給定一個區域G及另一個區域D，要尋找出將G保角變換成D的函數f(z)及唯一性條件。保角變換的理論基礎是黎曼定理[6]。黎曼定理指出，除了整個平面或去掉一個點的平面外，任意一個單連通區域G必可通過一個解析函數雙方單值并且保角地變換成另一個單連通區域。該定理只要符合單連通條件，總存在一個解析函數可以將一個任意復雜區域變換到一個直角坐標系的上半平面。但該定理并沒有給出具體的解析函數，所以通常采取相反的途徑，先研究數學中已有的各種解析函數，然后再結合實際的邊界形狀選用這些解析函數。雖然許多情況下需要知道解析函數的具體形式，但有時僅知道這個解析函數存在即可，例如蘭帕-湯普森定理(見式(1))的導出過程就是如此。

3.3格林函數法

格林函數是單位點源在一定邊界條件和(或)初始條件下所產生的電磁響應。單位點電荷的格林函數是一個標量函數，任意方向單位電流元的格林函數是并矢格林函數。利用格林函數可按疊加原理求出任意分布場源所產生的場。求解步驟是：先求出電磁場邊值問題對應的點源響應即格林函數，然后用格林積分公式，將用偏微分方程表示的邊值問題轉換為一個用體積分和面積分之和表示的等式，最后得到任意點場量用格林函數作為核函數表示的積分形式的顯式解[3]。格林函數的最大用途之一是建立積分方程。如何求出格林函數是這個求解方法的關鍵。格林函數法的特點是能將同一類場函數都統一地用格林函數表示出來，而且可深入地揭示同一類問題的共同物理規律。

3.4積分變換法

積分變換法中最常用的變換是傅里葉變換、拉普拉斯變換、漢克爾變換，變換對象是定解問題中的未知函數。當坐標變量的變化區間是(-∞,∞)， 適合用傅里葉變換；當坐標變量或時間變量的變化區間是(0,∞)， 適合用拉普拉斯變換；在二維傅里葉變換情況下電磁場呈軸對稱分布時適合用漢克爾變換。經過變換后，方程的維數下降了，方程簡單了，偏微分方程變換成了常微分方程，求出常微分方程的解后再反變換，就得到原偏微分方程的解。積分變換法的特點是能減少定解問題中變量的數量，所得到的常常是有限形式的封閉解，而且求解方法也是標準化的，它的不足是反變換困難，因此手邊最好有比較齊全的變換手冊(如文獻[7])，以備查閱。

3.5近似法

許多電磁場問題，因為介質特性復雜和(或)邊界形狀復雜，很難得到嚴格解析解，因此發展近似解析方法就很有必要。只要近似程度足以滿足實際要求，近似解的重要性絲毫不亞于嚴格解；另一方面，近似法的適用范圍更大，許多難以得到嚴格解的問題，用近似法常常能夠解決。

F=F0+αF1+…≈F0+αF1

代入原邊值問題可得到微擾場F1的新邊值問題，求解這個新邊值問題就可得到微擾場F1。 它特別適用于求解規則金屬表面上裂紋的電磁場問題。

另一種常用的近似法是積分方程迭代法。它的典型應用是可以近似解析求解正弦渦流問題。利用并矢格林函數可將三維正弦渦流邊值問題轉換為如下的第二類弗雷德霍姆積分方程[8]

E(r)=E0(r)+(σf-σ)∫VG(r,r′)·E(r)dV(r)

式中，σf為介質V的電導率；σ為規則導體的電導率；E為介質V內渦流場的電場強度；E0為規則導體渦流場中沒有介質V時的電場強度；G(r,r′)為并矢格林函數。由于G(r,r′)的解析式前隱含有系數1/(4πσ)， 所以上面的積分方程可以寫成下面的算子方程

E=E0+αKE

代入E=E0+αKE， 比較兩端α的同次冪系數，進一步就可求出各級近似解。

還有一種近似法是變分近似法。它將電磁場邊值問題轉換成與之等價的泛函極小值問題，因為邊值問題的解必使泛函取極小值，所以可通過多級逼近的途徑構造近似解函數，將其代入變分問題就可以求出近似解析解。泛函是指函數的函數，變分問題是指研究泛函的極值問題。這個方法的特點是幾乎適用于任意邊值問題[9]。

4　歷史上的經典解析解

4.1蘭帕-湯普森定理

制作精密的標準電容器時，希望影響電容量的幾何尺寸變量越少越好，因為變量越少，制作標準電容器時只要嚴格控制這些變量的誤差，電容誤差就會減少。雖然影響孤立球形電容器的幾何尺寸變量只有直徑，但制作成標準電容器卻有很多困難，因為球形電容器需要支撐物，還有充電導線和測量導線對電場的干擾，這些因素都破壞了孤立球形電容公式成立的前提[10]。目前，具有最高準確度的電容是用所謂“計算電容法”實現的。澳大利亞聯邦科學與工業研究組織電工室的D.G.Lampard和A.M.Thompson兩位學者經過持續幾年的研究[11-14]，得到了一個靜電學定理，稱為蘭帕-湯普森定理。它的內容是：在一個截面為任意單連通形狀的長直導體柱面上，若用四個無限小絕緣間隙α、β、γ、δ將柱面分割為四部分(如圖2所示)，則電極αβ與γδ間的單位長電容C1和電極αδ與βγ間的單位長電容C2滿足關系式

2-C1/C0+2-C2/C0=1

(1)

圖2　交叉電容Fig.2　Cross-section of cylindrical capacitor

在導出這個定理的過程中，關鍵是采用了復變函數理論中的黎曼定理[6]，使得求解問題時不必尋找具體的保角變換解析函數，就可直接將任意單連通橫截面的柱面內部平面變為以平面直角坐標系的橫軸為邊界的上半平面，從而只要求出橫軸線段上的電荷，就得到了這個靜電學定理。蘭帕-湯普森定理的表達式簡單、形式優美，它的成立與柱面形狀無關。

當柱面軸向長度為l時，交叉電容的總電容量為

(2)

可見，總電容量只取決于一個軸向尺寸，而且與常量C0只差一個二階小量，所以用以上方法計算電容具有非常高的精度。自從蘭帕-湯普森定理提出后，許多人以此為基礎做了大量工作，發表了大量論文。目前，計量用阻抗絕對測量就是用以上方法實現的，例如中國計量科學研究院1978年采用以上方法高精度實現了阻抗的絕對測量[15]。

4.2范德堡公式

均勻厚度薄膜的電阻測量廣泛應用在半導體產業中，常被用作評估半導體摻雜的結果。隨著半導體產業的發展，對薄膜電阻測量精度的要求越來越高。1958年范德堡提出了一種接觸點位于被測樣品邊緣的電阻率測量方法[16]，稱為范德堡法，具有操作簡單、精度高的特點，目前已廣泛用于半導體材料的電阻率測量、非鐵磁性金屬的電導率基準測量[17]等場合。該方法只要求接觸點位于樣品的邊緣，對于探針的擺放沒有特殊要求。

設被測樣品厚度均勻，樣品表面是單連通平面，接觸點位于樣品的邊緣，且接觸點足夠小。如圖3所示，取厚度為d的任意形狀片狀樣品，在其邊緣取四個觸點A、B、C、D。在任意相鄰的兩觸點間連接一電流源，如點A連接正極，點B連接負極，AB間電流是IAB， 測出另一對觸點CD間電壓UCD， 計算R1=UCD/IAB； 然后在一對觸點CD間連接一電流源，如點C連接正極，點D連接負極，CD間電流是ICD， 測出另一對觸點AB間電壓UAB， 計算R2=UAB/ICD。 這樣，該樣品的電阻率為

(3)

(4)

且F(1)=1。 可見，范德堡函數F(k)是k的單變量函數，它的變化規律如圖4所示。

圖3　范德堡法測量電阻率Fig.3　Resistivity measurement by method of Van derp auw

圖4　范德堡函數Fig.4　Van derp auw function

當測出R1和R2后，就可以計算出它們的比值，進而由式(4)求出范德堡函數的值。在此基礎上，由式(3)就可得到材料的電阻率。特別地，當平板有一條對稱線，那么只需一次測量就可以確定電阻率，方法是將探針B和D置于對稱線上，將探針A和C相對于該對稱線對稱放置，這時R1=R2， 由式(3)可得

(5)

需要注意，通過電路理論中的互易定理可以證明，交叉測量只能得到UBD/IAC=UAC/IBD， 而不能得到范德堡公式，從而無法測量電阻率。

4.3螺線管線圈中心的均勻磁場表達式

利用磁場進行科學實驗時，除特殊情況外，常希望在一定空間內磁場是均勻的，例如目前用于人體全身診斷的磁共振斷層掃描成像儀(Magnetic Resonance Imaging，MRI)中的磁體就是一臺均勻磁場產生裝置，磁場均勻程度越高，成像越清晰。均勻度因實驗項目不同而有不同要求。使用均勻磁場不僅可以產生巨大的經濟效益，而且還是探索物質世界奧秘的重要工具。

目前大多采用螺線管線圈的組合來實現高均勻磁場。它的理論基礎是螺線管線圈內磁場的級數展開式[18，19]。如圖5所示，均勻密繞螺線管線圈的內半徑是a1，外半徑是a2，長度是2b，取球坐標系Orθφ， 球心O位于線圈的幾何中心，線圈電流密度J的方向與ez成右手螺旋關系。在以O為球心、以r≤a1為半徑的空心球內，通過求解磁標位滿足的拉普拉斯方程，可得任意點(r,θ,φ)的磁通密度軸向分量

(6)

式中，α=a2/a1； β=b/a1； Pn(u)為u=cosθ的勒讓德函數；mn為由線圈形狀確定的系數，前四個系數分別為

圖5　螺線管中心附近磁場Fig.5　Magnetic field in the central zone of a solenoid coil

衡量球內磁場均勻性的指標為

(7)

式中，Bz0為球心磁通密度。顯然ε(r,θ)越小，磁場越均勻。

利用解析式(6)可得到由多個螺線管線圈組合而成的均勻磁場。圖6所示的亥姆霍茲線圈是一種最簡單的均勻磁場線圈，它可以看作由兩個同心螺線管線圈A和B組合而成，兩個線圈的內半徑都是a1，外半徑都是a2，它們的電流密度大小相等、方向相反。設線圈A的軸向長度是2b，線圈B的軸向長度是2h，γ=h/a1， 在已知球心磁場Bz0、內半徑a1、尺寸b的前提下，取

(8)

由方程組(8)解出比值α和γ后計算

M4(α,β,γ)=m4(α,γ)-m4(α,β)

M6(α,β,γ)=m6(α,γ)-m6(α,β)

?

再利用式(6)，線圈A和B的磁場疊加后，球內的軸向磁場變為

(9)

球內成為4階均勻磁場

(10)

類似地，利用以上螺線管線圈的組合方法，還可以形成6階均勻磁場，見文獻[19]。

圖6　亥姆霍茲線圈Fig.6　A Helmholtz coil

4.4放置式線圈的阻抗增量

渦流檢測是工業無損檢測方法的一種。它以電磁感應原理為基礎，在線圈中通入變化的電流后，線圈產生的變化磁場在被測金屬中感應渦流，渦流又在金屬外部產生電磁場，通過檢測該電磁場可間接了解材料的表面裂紋、電導率、表面涂層厚度、熱處理狀態、空洞、折疊、夾雜等。

渦流檢測中，探頭線圈的阻抗增量最重要。利用阻抗增量可以做出阻抗平面圖，通過曲線的變化判斷出材料特性以及材料表面狀況。1968年，美國橡樹嶺國家實驗室學者C.V.Dodd等[20]使用分離變量法求解了通電圓環線圈的磁矢位解析解，然后利用疊加原理得到了圖7所示通電空心圓柱線圈在各區域的磁矢位，由此得到了放置式線圈的阻抗Z，通過減去無導體時的線圈阻抗Zair后，就得到了探頭線圈的阻抗增量

P(α1,α2,c)dα

(11)

其中

式中，ω為電流角頻率；μ為導體的磁導率；nc為線圈匝數密度(匝數/面積)；r1和r2分別為線圈的內、外半徑；l1和l2分別為線圈下、上端面至導體表面的距離；c和σ1分別為上層導體平板的厚度和電導率；σ2為下層無限厚導體的電導率；J1(x)為第一類貝塞爾函數。

圖7　兩層導體上方的放置式線圈Fig.7　Solenoid coil above a two-conductor plane

文獻[20]對渦流檢測理論和技術的發展起到了顯著的推動作用。在此基礎上，文獻[21]給出了多層導體情況下被積函數中變量P的矩陣遞推式，文獻[22]求出了電導率隨深度按雙曲正切函數變化時線圈阻抗的解析式，文獻[23]給出了阻抗增量高精度計算中積分限的確定方法和數值積分方法，文獻[24]將式(11)的積分形式表達為便于快速計算的級數形式。1968年日本東京大學學者尾上守夫[25]發表了解析求解螺線管線圈渦流場的論文，求解模型與文獻[20]類似。相比較而言，文獻[20]推導過程思路清晰，符號規范，可讀性強，敘述更清楚，解析過程更容易理解，所以它的流傳也更廣，成為電磁無損檢測領域中的一篇經典文獻。

4.5Halbach永磁體的磁場計算法

B3=0ρ>r2

由此可以看出永磁魔環的神奇之處：圓柱空腔內是均勻磁場；當外半徑與內半徑之比r2/r1>e時，空腔磁通密度大于剩磁；圓柱外無磁場；完全由永磁體構成，沒有鐵軛。它的磁場線分布如圖9所示。

圖9　永磁魔環的磁場線Fig.9　Magnetic flux density line of the permanent-magnet magic ring

1979年，美國勞倫斯伯克利實驗室的學者K.Halbach[26]巧妙地將魔環磁體空腔中的1對極擴展為任意N對極，并給出了簡單的磁場計算式；同時為了便于工程實現，提出將圓柱沿圓周等分切割，分別對每一等分按不同方向充磁，之后再按磁化規律組裝。K.Halbach的分析思路是：

首先把剩磁矢量B0表示成復數形式

B0(z)=B0x(x,y)+jB0y(x,y)

式中，z=x+jy=rejφ，利用長直線電流的磁場公式，可得任意點z0=x0+jy0處磁通密度的共軛復數

式中

可見，要使bN的實數取得最大值，永磁體內的磁化方向就需要滿足β(φ)=(N+1)φ。在此基礎上，可得n≠N時bn=0 ，從而求出磁體空腔任意點的復磁通密度為

K.Halbach的分析巧妙，結果簡單，實現也不困難，具有十分重要的理論價值和實用價值。目前以提出者姓名命名的Halbach磁體已在核磁共振、永磁電機、磁浮交通等領域得到廣泛應用。

4.6腦磁測量基準計算公式

腦磁測量是通過測量頭部周圍由腦神經活動產生的微弱磁場，來反演獲得腦神經活動部位信息的技術。在反演之前，首先需要計算腦內偶極子電流元在測量線圈上感應的輸出信號。為了快速、準確地計算頭部周圍磁場，1987年由芬蘭赫爾辛基技術大學低溫實驗室學者J.Sarvas[27]基于線性、均勻多層同心導體球模型，導出了一個球內任意位置電流元在多層導體球外任意點產生磁通密度的簡單封閉代數式，稱為Sarvas公式。它的內容是：

取球心位于球坐標系Orθφ的原點，球內電流元Q=JsΔV位于r′， 球外任意點r處的磁通密度為

(12)

式(12)導出的關鍵是利用磁場徑向分量Br表示磁標位(參考點在無限遠處)

(13)

Sarvas公式的導出具有重要的科學意義，主要體現在以下幾個方面：

1)解的形式極其簡單，僅用加減乘除四則運算的代數式就能計算球外磁場。作為對比，除了長直線電流和無限大平面電流等幾種特殊分布的電流具有形式簡單的磁場表達式外，大部分磁場問題的計算都比較復雜。

2)多層同心導體球的外部磁場只與外源Q有關，而與導體球中的傳導電流、導體球分層數、各層電導率無關。

3)已知磁通密度的一個分量，能得到整個磁場分布。

4)導出過程提供了一種求解此類電磁場問題的分析方法。文獻[28]在此基礎上進一步拓展，導出了低頻電流元激勵下球內感應電場的解析解。

5)一流的研究工作并不必然與高深的數學相聯系。

Sarvas公式具有重要的實用價值，可用于研究生物電磁學問題，用于反演病灶等效電流源的位置、分布及其活動情況[29]。目前Sarvas公式已成為腦磁測量領域的基準計算公式。

4.7淺表面缺陷渦流場的三維漸近解析解

圖10　三維淺表面缺陷的渦流場Fig.10　Solenoid coil over the surface flaw

圖10中，電場的約束方程為

(14)

在導體表面z=αf(x,y)上，電場滿足以下兩個邊界條件

n×(E(1)-E(2))=0

(15)

(16)

式中，E(1)為真空區域1的電場強度；E(2)為導體區域2的電場強度；n為導體表面上的法向單位矢量，則

(17)

由于參數α=0時的電場E0是半無限大導體平面上方放置式通電線圈激勵的電場，即沒有缺陷的電場，而且α很小，所以α≠0時電場E的主部是E0，這樣可將E按泰勒級數展開

E=E0+αE1+oE(α2)

(18)

式中，oE(α2)為高階小量。將式(18)代入方程(14)，忽略高階小量，可得E1的約束方程

(19)

同樣，將n(α)展開成泰勒級數

(20)

忽略高階小量on(α2)， 代入邊界條件(15)、(16)整理后，可知只要以下兩個邊界條件

(21)

(22)

成立，邊界條件(15)、(16)必然成立。式中記號ΔE=E(1)-E(2)。式(21)和式(22)中z=0， 且E0=E0(ρ,z)eφ是已知項，求解方法與文獻[20]中求解磁矢位方法一樣，其表達式為

用二維傅里葉變換方法求解方程(19)，再結合z=0時的兩個邊界條件(21)和(22)，就可完全得到E1的解析解，從而可求出任意點的三維電場解析解E=E0+αE1。 基于此，進一步可得到淺表面缺陷對應的線圈阻抗增量

(23)

其中

式中，nc為線圈匝數密度；f(ρ,φ)為f(x,y)的極坐標形式。

文獻[30]的基本思路是將三維淺表面缺陷當作導體的一個擾動，用泰勒級數將約束方程和邊界條件分別在平面z=0上展開，它的主部是一個軸對稱渦流場的解，一階導數項是導體缺陷對應的擾動解。擾動參數相對于線圈半徑越小，解析解的準確度越高。

4.8金屬管道渦流場的三維解析解

對于渦流場的解析求解而言，由二維場擴展到三維場，不僅增加了幾何復雜性，而且三維場不再具有對稱性，場的變化與場點的三個坐標都有關，因此求解難度大大增加。

(24)

在圓柱坐標系Oρφz中，只有軸向單位矢量ez是常矢量，因此e=ez。 此時

(25)

分析表明，用二階磁矢位解析求解某些三維渦流場具有獨特的優勢。它的典型應用是求解圖11所示金屬管道外任意位置線圈激勵的渦流場解析解，金屬管道是二維分布，通電線圈C是三維分布，任意點的電磁場是場點三個坐標分量的函數。這個問題的解析難度主要取決于導體的性質和形狀，所以應基于導體結構和形狀特點選取合適的坐標系。能夠得到這個三維問題解析解的關鍵做法是：將電磁場看作入射場與渦流場的疊加，這樣就可以將問題分解，化繁為簡，大大降低了求解難度；然后根據電磁場互易定理，用導體外表面的場量表示線圈阻抗增量，同時根據法拉第感應定律寫出渦流場引起的線圈阻抗增量；最后對比這兩個阻抗增量，就可確定各個場區的電磁場[32]。具體求解過程是：

1)以管道軸線為z軸建立圓柱坐標系Oρφz， 寫出Wa和Wb的通解。

2)將管道外側真空中的場Wa看作渦流產生的場Waed與無限大真空中通電線圈單獨產生的場Wac的疊加

Wa(ρ,φ,z)=Waed(ρ,φ,z)+Wac(ρ,φ,z)

(26)

其中

3)分別寫出管道內表面ρ=r1和外表面ρ=r2滿足的磁通密度法向分量相等和磁場強度切向分量相等的邊界條件[33]，得到通解中各個待定系數滿足的方程組。

4)利用電磁場理論中的互易定理寫出渦流場對應的線圈阻抗，再寫出線圈兩端因渦流場產生的感應電壓相量U(jω)對應的線圈阻抗，由這兩個阻抗相等，可得

(27)

由此可求出只有通電線圈時管道外壁附近的電磁場，進一步可求出全部場區的電磁場。

5)寫出阻抗增量表達式[34]

(28)

式中，Im和Km分別為第一類和第二類變形貝塞爾函數；F(r1,r2,k,m,λ)為已知函數。

圖11　金屬管道外任意位置線圈Fig.11　Solenoid coil optionally positioned outside a metal pipe

以上解析解可用于計算管道外任意位置線圈的阻抗增量，包括平行放置[34]、垂直放置[35]、矩形彎曲[36]、偏心彎曲等形式的線圈[37]。對于如圖12所示的線圈位于導體內洞的情形，按照以上推導思路，同樣可得到阻抗增量解析式[38]。

圖12　導體狹窄深洞中的水平線圈(此圖取自文獻[38])Fig.12　Horizontal solenoid coil in a borehole (Fig.12 is taken from [38])

以上三維解析方法的典型應用是金屬管道的無損檢測，檢測參數有管道電導率[39]、包覆層厚度、鍍層厚度、管道外徑等[40]；當線圈激勵采用脈沖電流時，可檢測金屬管道壁厚的變化，用于鐵磁管道的內壁腐蝕檢測。文獻[41，42]通過求解鐵磁管道外放置式線圈脈沖電流激勵下的感應電壓解析式，研制了能夠檢測鐵磁管道參數的脈沖渦流裝置，可以檢測最大壁厚30mm、最大包覆層厚度80mm的鐵磁管道壁厚的腐蝕變化，具有檢測可靠、精度高、速度快的特點，目前尚未見到同類檢測裝置。

5　解析方法參考書

表面上看，電磁場解析方法似乎只屬于電磁場問題，本質上任何一個電磁場解析解都是電磁場理論與數學方法相結合的產物。下面給出作者視野范圍內、有助于求出電磁場解析解的幾本參考書。從這些參考書中大約可以看出解析解的演變歷史、涉及范圍和理論深度。

《靜電學和電動力學》[1]：一本系統介紹電磁場基本原理和分析方法的專著，內容包括靜態場、渦流場、輻射場以及帶電粒子的運動等，尤其在靜電場、特殊函數、渦流場、波導管和諧振腔等部分，內容豐富。全書解析求解的問題約280多個，書中習題約780個，分章列出了大量參考文獻，幾乎涵蓋了電磁場理論的方方面面，可以說這相當于一本解析解手冊，因此，至今為止被國內外電磁場解析解論文所廣泛引用。該書是作者W.R.斯邁思根據給物理、電氣工程、地球物理和數學專業的研究生開課的講義而編成的，第一、二和三版分別完成于1939年、1950年和1968年。該書是第三版的中譯本。第二版序言中說：“成功地解決電學問題取決于物理上的而不是數學上的洞察力，這是作者從第一版的教學實踐中所證實的結論，實踐證明，電氣專業和物理專業的研究生解決電學問題的能力遠遠超過數學專業的研究生”。這句話引起了本文作者的強烈共鳴，同時也回答了誰來做電磁場解析解最合適的問題。

《詳解電磁気學演習》[43](詳解電磁學習題集)：這是一本日本學者撰寫的電磁場理論習題集，內容涵蓋靜電場、穩恒電場、穩恒磁場、電磁感應、電磁波、運動介質中的電磁場、帶電粒子和等離子體等，習題總數約1 000道，內容豐富，可作為電磁場解析解的入門書。該書自1970年出版以來，深受讀者歡迎，截至2010年已印刷138次。

《微波理論與技術》[44]：該書整理、匯編了大量文獻資料，煌煌百萬字，其中許多是作者自己的研究成果。書中詳細解析求解了許多重要的電磁場邊值問題，涉及范圍廣，既有靜態場問題，也有時諧場問題，推導過程嚴謹、清晰，極具參考價值，例如用復變函數法與分離變量法相結合，研究了穩恒磁場中任意截面載流導體的磁場問題，給出了一般性結論，分析方法極富啟發性，是一本高水平的解析方法參考書。該書作者、我國學者林為干在電磁場解析解方面做出了許多卓越的工作，為學科發展留下了寶貴財富。

《高壓靜電場(增訂版)》[10]：這是在1962年初版的基礎上，1987年出版的增訂版。書中針對30多個靜電場問題，綜合介紹了各種靜電場解析方法，詳細給出了求解過程和解析解，物理概念清楚，推導繁簡適度。該書不僅細致地反映了靜電場的分析方法，同時也反映了作者解廣潤1962年32歲時就已具備扎實的理論基礎，可以說這是中國學者在靜電場解析方法方面的一本代表作。

《EddyCurrentsinLinearConductingMedia》[45](線性導體中的渦流)：一本不可多得的研究渦流場解析解的學術專著，由兩位希臘學者撰寫。作者之一、薩洛尼卡大學的E.E.Kriezis教授帶領的研究團隊在電磁場解析解上做出了大量杰出工作。該書簡要介紹了分離變量法、變分法、擴散方程的積分形式，分別研究了線分布電流激勵下平板導體、平行線電流激勵下有限長圓筒導體、圓環電流激勵下同軸圓筒導體、旋轉電流激勵下同軸圓筒導體、圓環電流激勵下運動導體、脈沖電流激勵下平板導體中的渦流分布，詳細給出了解析求解過程，有的給出了應用實例，具有重要的參考價值。

《時諧電磁場解析方法》[31]：這是本文作者的拙作，總結了作者的部分工作，核心內容是重新表述了時變電磁場初邊值問題，重新給出了解的唯一性定理，在此基礎上研究了便于解析求解的時諧場方程、邊界條件以及無限遠條件，并論證了修正磁矢位的無需規范性。另外還敘述了作者在解析解計算方面的工作。該書對正確寫出時諧場邊值問題和解析解的精確計算可能有幫助。

《EquationsinMathematicalPhysics》[46](數學物理方程)：該書分別解析求解了橢圓問題(對應于靜態場)、雙曲問題(對應于輻射場)和拋物線問題(對應于渦流場)，解析方法涉及分離變量法、復變函數法、格林函數法、行波法、積分變換法、駐波法等。這本書的最大特點是大量求解了各種邊值問題，將各種解析方法融合在求解過程中，顯示了作者高超的數學分析能力。本文作者1990年在解析求解超導球的電磁場邊值問題時，遇到了一個當時無法解析求解的微分方程r2R″+2rR′+[n(n+1)+αr2]R=0， 后來從該書獲得啟發，才得到了一般解[47]。該書原本是俄文，由俄羅斯學者撰寫，是俄羅斯科學院出版的《物理數學叢書》中的一本，它推導過程詳細、清晰，易懂，易用，因此2001年被一家西方出版社譯為英文出版。

《EddyCurrentCanonicalProblems》[48](典型渦流問題)：一本基本代表當今渦流電磁場解析水平的學術專著，由兩位希臘學者撰寫，薩洛尼卡大學的E.E.Kriezis也是作者之一。該書以電磁無損檢測技術為背景，簡要介紹了渦流檢測模型、二階磁矢位的約束方程及其邊界條件、電磁無損檢測中檢測線圈的阻抗增量，分別深入研究了時諧均勻磁場激勵下均勻半空間導體表面帶有裂紋、理想裂紋、任意截面狹長槽、矩形截面狹長槽的渦流場解析解，分別解析求解了放置式線圈激勵下多層平板導體、非均勻半空間導體的渦流場，對有限半徑的半無限長同軸圓柱、線圈的同軸圓柱磁心、線圈的同軸屏蔽罩、半空間導體上的同軸圓孔等軸對稱渦流問題分別求出了強制齊次邊界條件下的解析解，尤其是分別得到了平板導體上方任意位置線圈激勵下和三維導體邊緣處渦流問題的解析解。

需要特別強調的是，除了以上幾本參考書外，國內外還出版了大量優秀的解析解書籍，例如文獻[49-51]，可以選擇參考。

6　值得進一步研究的幾個問題

6.1用保角變換方法求解穩恒磁場問題

目前，用復變函數法解析求解的電磁場問題多數是靜電場問題，對于穩恒磁場問題僅有幾種典型問題的求解，應用尚不廣泛。復變函數法在解決穩恒磁場問題上所呈現的獨特優勢尚不明顯，今后可能需要研究。

6.2現有解析方法的綜合應用

從目前已有的解析解來看，對于一維或二維問題，一般只需要一種解析方法就能求解；對于三維問題，常需要結合多種方法才能求解。今后在不增加新的解析方法的情況下，將目前已有的解析方法和近似解析方法綜合使用，估計能夠解析求解許多三維電磁場問題。

6.3借鑒最新數學物理方法

在數學物理方程中，已發展出多種解析求解方法或近似解析方法，例如如何將不受方程類型限制的脈沖譜技術求解方法[3]與電磁場問題結合就值得關注。經常關注該領域的發展，及時將其中的研究成果和分析方法引入電磁場理論中，是保持電磁場理論持續活力的一個有效手段，也是電磁場工作者實現創新發展的一個途徑。

6.4瞬態渦流場的解析求解

一般而言，渦流場的解析求解是所有電磁場解析求解中最困難的。這是由于靜態場的場源頻率是零，場量滿足拉普拉斯方程，方程簡單；對于高頻場，導體中的電磁場趨于零，導體的影響忽略不計，只需考慮導體以外場區；渦流場則不同，場源頻率處于中間范圍，必須研究導體內的電磁場，這使得渦流問題的求解難于靜態場，也難于高頻場，求解過程使用的基本理論和方法多，數學變換的要求高，表達式也最復雜。渦流問題分為穩態問題和瞬態問題。穩態問題存在透入深度的概念，目前已有較多的解析解；但對于瞬態解析解問題，歷史上研究不多，只在地球物理勘探等領域有少量涉及，盡管如此，這些解就已對解決實際問題起到了顯著的推動作用。今后可以先從二維瞬態渦流問題入手求解，以后逐漸擴展到三維瞬態渦流問題。

6.5微擾法中高階導數項的求解

目前微擾法求解的是泰勒展開式中一階導數項，如果能夠進一步求出二階或三階導數項甚至更高階導數項，則微擾法的適用范圍會大大擴展，許多問題都可以得到高精度的解析解。

6.6逆問題的解析求解

現在電磁場解析方法的應用主流是求解定解問題中的場量，如果能夠從定解問題中解析求解出逆問題，則會大大擴展電磁場理論的應用范圍。這些逆問題包括系數逆問題、場源逆問題和邊界形狀逆問題。例如目前工業界急需解決的多層導體測厚問題，當層厚在20微米量級時渦流檢測的精度低，如果能夠得到分層厚度逆問題的解析解，將會解決一大類這樣的實際問題，即使只得到了近似解析解，也會對實際檢測起到很大的幫助作用。

7　結語

為了電磁場理論和應用的深入發展，在作者的認識范圍內，本文對電磁場解析方法進行了綜述，重點敘述了歷史上若干經典解析解，并提出了今后需要進一步研究的一些問題。

電磁場理論博大精深，其中解析方法和解析解涉及范圍廣，內容豐富，國內外學術雜志上不斷有高水平解析解論文發表，很難做出全面、準確的評述，例如由于作者不懂俄語，俄羅斯學者的工作基本沒有涉及，而長期以來俄羅斯以及前蘇聯在解析解方面的工作獨樹一幟，因此本文內容一定不全面，一些觀點可能偏頗，僅供讀者參考。

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Reviews of Analytical Methods for Electromagnetic Fields

Lei Yinzhao

(School of Automation Science and Electrical EngineeringBeihang UniversityBeijing100191China)

This paper reviews the analytical methods for electromagnetic fields.Firstly，the importance of analytical solutions is pointed out，i.e.analytical solutions reveal the variation law of electromagnetic fields visually；there is no numerical instability；expressions can be derived repeatedly by others and their form is full of scientific beauty；they are the foundation of numerical solutions and widely used as calculation formulas to solve engineering problems.Secondly，several frequently-used analytical methods are introduced，such as the method of separation of variables，the complex variable function method，the Green function method，the integral transform method，and the approximate analytical method.Furthermore，some classical analytical solutions are reviewed，including the Lampard-Thompson theorem，the van der Pauw formula，the expression of the uniform magnetic field in the central zone of a solenoid coil，the analytical solution to the impedance variation of a probe coil above a conductive plate，calculation method for the magnetic field of the Halbach permanent-magnet，the standard calculation formula of the brain magnetic measurement，the three-dimensional asymptotic analytical solution to the eddy current field of a conductive plate with shallow surface defect，and the three-dimensional analytical solution to the eddy current field of a metal pipe.What's more，several reference books are selectively introduced to find analytical solutions.Finally，a number of problems are proposed for further study，containing applying conformal mapping method in solving problems of static magnetic field，integrating existing analytical methods，introducing latest methods of mathematical physics，analytically solving the transient eddy current field，deducing higher order derivative terms of the field quantity in the perturbation method，and analytically solving inverse problems.

Electromagnetic field theory，analytical method，analytical solution，review

2016-07-01改稿日期2016-08-03

TM15

雷銀照男，1956年生，工學博士，教授，研究方向為電磁場理論及其應用、電磁無損檢測方法與技術、中國電氣史。

E-mail：leiyinzhao@buaa.edu.cn(通信作者)