數學思想在“集合”中的運用

曹振財

（陜西省商南縣高級中學）

數學思想在“集合”中的運用

曹振財

（陜西省商南縣高級中學）

一、數形結合思想

用數形結合思想解題具有直觀性、靈活性和深刻性的特點，有較強的綜合性.在“集合”中加強這方面的學習和訓練，是鞏固數學知識、打好基礎、提高能力的重要一環.

例1.已知集合且U=｛x∈N+|x≤10｝，AU，BU，且A∩B=｛4，5｝，（CUB）∩A=｛1，2，3｝，（CUA）∩（CUB）=｛6，7，8｝，求集合.

分析：本題已知條件較多，用推理的方法求解不如用Venn圖將已知條件嘗試在圖中標出，用填圖的方法來解決，直觀形象，易于理解.

由上圖可得：A=｛1，2，3，4，5｝，B｛4，5，9，10｝.

點評：Venn圖是集合的一種表示方法，在解決一些抽象集合或集合元素是離散的有限集合問題時，用Venn圖形象直觀、易于理解，要注意把握并善于運用這種數學思想.

二、分類討論思想

分類討論思想解決問題的關鍵是分類標準要明確，做到不重不漏，其實質是將整體問題轉化為部分來解決，從而增加題設條件，實現化整為零，化繁為簡的目的.

例2.已知集合A=｛x|ax2+2x+1=0，a∈R｝

①若A中只有一個元素，求a的值.

②若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍.

分析：關鍵是要明確分類標準.

解：①應根據a是否為0分兩種情況進行討論：

ii）當時a≠0時，Δ=4-4a=0，即a=1

∴a=0或a=1

②A中至多只有一個元素，也包括兩種情形：

i）A中只有一個元素，由①知：a=0或a=1；

∴a的取值范圍是a≥1，或a=0

點評：利用分類討論思想解答分類討論問題已成為高考中考查學生知識和能力的熱點問題，在“集合”里經常用到分類討論思想.

三、化歸與轉化思想

化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題，將復雜問題轉化為簡單問題，將較難問題轉化為較易問題，將未解決問題轉化為已解決問題.常用的轉化方法有：一般與特殊的轉化，繁與簡的轉化，命題的等價轉化，構造轉化等.

例3.設集合求的值組成的集合A=｛x|x2-3x+2=0｝，B=｛x| 2x2-ax+2=0，x∈Z｝，若A∪B=A，求a的值組成的集合.

分析：由A∪B=A得B?A，分情況討論求解.

解：A=｛1，2｝，由A∪B=A得B?A，

①當B=?時，滿足B?A，此時方程2x2-ax+2=0無解，即

Δ=a2-16＜0解得-4＜a＜4

②當B=?時，A=｛1，2｝.

將x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4，此時B=｛1｝，符合題意；

將x=2代入方程2x2-ax+2=0得a=5，此時B=｛2，｝，不符合題意，應舍去.

故a的值組成的集合為｛a|-4＜a≤4｝.

點評：在解決一些集合問題時，當一種集合的表達形式不好入手時，常將其轉化為另一種形式，使問題明朗化，如A?B?A∩B =A?A∪B=B.

四、交集思想、并集思想、補集思想

1.交集思想：當一個數學問題是求同時滿足若干個條件P1，P2，P3，…An的解時，如果把滿足各條件的對象表示成集合，則其交集M=A1∩A2∩A3∩…∩An中的元素就同時滿足問題的每個條件，就是這一數學問題的解集.

2.并集思想：當一個數學問題需要分到若干種情況討論時，若將問題分為n類，每類問題的解集為A1∩A2∩A3…An，則P=A1∪A2∪A3∪…∪An就是這個問題的解集.

3.補集思想：已知全集∪，求子集A時，若直接求困難，可先求CU，再由CU（CUA）=A求A.這種“正難則反”的解題方法，運用的就是補集的思想方法.

例4.已知全集∪，集合H=｛x|x2-4px+2p+6=0｝，Q=｛x∈R|x＜0｝全集U中p的取值可使集合H中的方程有兩解.若H∩Q≠?，求實數p的取值范圍.

分析：若直接從H∩Q≠?入手，則集合H中的方程x2-4px+ 2p+6=0至少有一個負根，此時不易求解，故可從H∩Q≠?入手.

解：設全集∪=｛p|Δ=（-4p）2-4（2p+6）≥0｝=｛p|p≤-1，或p≥｝當H∩Q=?時，方程x2-4px+2p+6=0的兩根x1，x2均非負，由韋達定理得：

故所求實數p的取值范圍是｛p|p≤-1｝.

點評：本題正是運用了“補集思想”，這種“正難則反”的解題原則，有時很有用.

·編輯溫雪蓮