微積分在高中物理教學及高考中的應用

楊洪偉

（山東省平陰縣第一中學）

微積分在高中物理教學及高考中的應用

楊洪偉

（山東省平陰縣第一中學）

微積分作為一種重要的數學方法，不只在大學物理中的應用十分廣泛，在高中物理中微積分思想也有很多應用，并且在高考試題中也時有出現。

一、高中物理教學中常見的微積分應用

1.微元法定義瞬時速度

在高中物理學習之初瞬時速度的定義中就涉及微積分思想，求物體在某處的瞬時速度，可在該點附近取一段位移除以對應的時間即可得到該段位移的平均速度，所取的位移越小，其對應的時間越小，所得到的平均速度越接近所求點的瞬時速度，當所取位移近似為零時，所得到的平均速度即可認為是所求點的瞬時速度，在該部分內容中采用了微元并取極限的方法，其實就是微積分中最基本的微元思想。

2.微分與斜率

3.積分與面積

在勻變速直線運動位移的推導中，由于速度是變化的，采用微元法取非常短的時間，將變化的速度轉化為不變的速度，然后用相加的方法，得出v-t圖像所圍的面積表示位移，即借助積分思想來完成。該思想在計算變力做功中同樣加以應用，通過微元法取一小段位移，將變力做功轉化為恒力做功，并將各段做功相加的方法，得出F-S圖像所圍的面積代表力做功。

可見，微積分思想在高中物理中出現的并不少，主要采用無限接近思想解決瞬時值問題，通過化變量為恒量的方法來解決變量問題。因此高中階段的瞬時值問題、斜率問題、極值問題、面積問題大多由微積分思想得出。

二、高考中常見微積分思想應用實例分析

高中物理教學中常見的微積分思想在高考試題中也有所體現。

例1.（2014年山東理綜19題）如圖，半徑為R的均勻帶正電薄球殼，其上有一小孔A。已知殼內的場強處處為零；殼外空間的電場與將球殼上的全部電荷集中于球心O時在殼外產生的電場一樣。一帶正電的試探電荷（不計重力）從球心以初動能Ek0沿OA方向射出。下列關于試探電荷的動能Ek與離開球心的距離r的關系圖像，可能正確的是

A

B

C

D

分析：本題主要考查動能的改變即動能定理，在本題中試探電荷在球殼內不受力，動能不變，為平行r軸的直線。在球殼外，試探電荷只受電場力，電場力做功等于其動能的改變，但由于電場力為變力，可在試探電荷運動的軌跡上取一小段微元Δr，將變力做功轉化為恒力做功，即ΔEk=qEΔr，其斜率K==qE，q不變，隨r增大E減小，得出斜率減小。

答案：A。

例2.（2013年上海物理32題）半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產生球對稱的電場；場強大小沿半徑分布如圖所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積。

（1）寫出E-r曲線下面積的單位；

（2）已知帶電球在r≥R處的場強E=kQ/r2，式中k為靜電力常量，該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大？

（3）求球心與球表面間的電勢差△U；

答案：（1）V（伏特）

分析：本題主要考查E與U的關系U=Ed，但該公式只適用于強電場，針對該題的電場變化，采用微元法，取很小的位移將變化的電場轉化為不變的電場，求出電壓后求和的方式解決，則要采用化變量為恒量并累加的積分思想解決。

總之，高中物理教學不只是知識的傳授，同時還有思想方法的引導和滲透。微積分是物理學的基本思想方法，是將復雜問題轉化為簡單問題的基本方式，在高中物理教學中加以滲透，既有利于學生提高成績，也有利于學生長遠發展。

［1］林祥允.微積分思想在高中物理教學中的幾點應用［J］.新教育，2012.

［1］張振.在高中物理中應用微積分的研究［J］.物理教師，2010.

·編輯張慧