高中數學恒成立與存在性問題的探究

吳吉云

（山西省呂梁市離石區江陰高級中學）

高中數學恒成立與存在性問題的探究

吳吉云

（山西省呂梁市離石區江陰高級中學）

恒成立與存在性問題是高中數學中常見的一種題型，基于學生的認知水平對這種題型的理解比較吃力，特別是一題中恒成立與存在性問題同時出現時，學生更不容易把已知條件演繹出來，針對這一困惑點，通過對一道題的多種變式講解，讓學生對這類問題的認識更上一層樓.

恒成立；任意的；存在；參變分離

一、存在性問題

例1.函數（fx）=4x2-8x+2，存在x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立，求m的取值范圍.

解：因為存在x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立.

所以存在x∈［1，2］，使（fx）-2x＞m成立，即：（（fx）-2x）max＞m.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，2］，

小結：（1）存在x∈［a，b］，使（fx）＞m成立?（fx）max＞m；

（2）存在x∈［a，b］，使（fx）＜m成立?（fx）min＜m.

二、恒成立問題

變式1：函數（fx）=4x2-8x+2，對任意的x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m恒成立，求m的取值范圍.

解：因為對任意的x∈［1，2］，使（fx）＞2x+m成立.

所以任意的x∈［1，2］，使（fx）-2x＞m成立，即：（（fx）-2x）min＞m.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，2］，

小結：（1）對任意的x∈［a，b］，使（fx）＞m成立?（fx）min＞m；

（2）對任意的x∈［a，b］，使（fx）＜m成立?（fx）max＜m.

變式2：設函數（fx）=4x2-8x+2，對任意的x∈［1，）∪（，2］，使（fx）＞2x+m成立，求m的取值范圍.

令g（x）=（fx）-2x=4x2-10x+2，x∈［1，）∪（，2］，

（2）恒成立、存在性問題中，當參變分離后構造出的新函數，求新函數的最值時，當最值取不到時，要考慮m取值范圍中“=”的取舍.

例2.設函數（fx）=x ln x-a，函數（fx）＜0在（0，）上恒成立，求

a的取值范圍.

當x=0時g（x）取最大值，但此時g（x）無意義.所以用洛必達法則求解.

∴a≥0

小結：此題中g（x）在x=0時取最大值，但g（x）在x=0處無意義，所以用洛必達法則求解（極限思想）.

三、結語

解決恒成立與存在性問題首選參變分離，參變分離后都可以轉化為求構造出的新函數的最值問題，在求新函數的最值時有三種情況：（1）在定義域內最值存在（如例1和變式1）；（2）在定義域內最值不存在，但在定義域端點值處取最值并且在該點處有意義（如變式2），此時可以借助端點值所對應的函數值求參數的取值（注意參數端點值的取舍）；（3）在定義域內最值不存在，但在定義域端點值處取最值并且在該點處無意義（如例2），此時可以用洛必達法則解決.

［1］佟成軍，馮善狀.一道試題講評的“幕后臺前”［J］.中學數學教學參考（上旬），2013（6）：17-20.

［2］張良超.高三解題：想得好才能做好［J］.中學數學教學參考（上旬），2012（10）：27-29.

·編輯張慧