“不等式問題串式教學”的應用

羅曉雪

（福建省清流縣第一中學）

“不等式問題串式教學”的應用

羅曉雪

（福建省清流縣第一中學）

問題串式教學就是將某個較復雜的問題分解成若干個難度循序漸進的問題，每一個都是獨立的問題。教師從不同層次要求學生掌握，讓學生在對比、辨析、遷移中學會處理問題的方法。在教學中嘗試這種方法，收到了較好的效果。

不等式；問題串；分層次；恒成立

提出問題：已知函數f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若x0∈［2，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

在處理此類比較復雜的恒成立問題之前，可以先讓學生處理一些較簡單的問題，進而尋找出一般的處理方法，達到循序漸進的目的。

一、不等式左右兩邊都含有式子

問題1：已知函數f（x）=（x+1）ln x-x+1，若x2+ax+1≥xf′（x）恒成立，求a的取值范圍.

解析：函數f（x）的定義域為｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1.

∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

∴g（x）在（0，1）為增函數，在（1，+∞）為減函數.

∴g（x）max=g（1）=-1，

∴a≥-1.

二、引入不等式在某個區間內對任意的x恒成立的問題

問題2：已知函數f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若?x∈［2，3］都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍.

解析：∵函數f（x），g（x）的定義域都為｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1，∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

要使?x∈［2，3］都有（fx）≥g（x）恒成立，只需a≥h（x）max.

∴h（x）max=h（2）=-2+ln2

∴a≥-2+ln2.

三、引入不等式在某個區間內存在x0成立的問題

問題3：已知函數f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若?x0∈［2，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

解析：∵函數f（x），g（x）的定義域都為｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1，∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

要使?x0∈［2，3］使得（fx）≥g（x）成立，只需a≥h（x）min

∴h（x）min=h（3）=-3+ln3，

∴a≥-3+ln3.

四、拓展遷移：對自變量的數量進行調整，類比問題2，則可以繼續提出問題

問題4：已知函數f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x1，x2∈［1，3］都有f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍.

解析：依據題目得出只需f（x）min≥g（x）max即可，而g（x）max= g（3）=ln3.

問題5：已知函數f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x1，x2∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍.

解析：只需f（x）max≥g（x）min，而g（x）min=g（1）=0，（x2-ax）max≥0

∴3-a≥0即a≤3.

問題6：已知函數f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x1∈［1，3］總存在x2∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

解析：依題知只需f（x）min≥g（x）min，而g（x）min=g（1）=0.

∴（x2-ax）min≥0，∴（x-a）min≥0，∴1-a≥0即a≤1.

問題7：已知函數f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x2∈［1，3］總存在x1∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

解析：依題知只需f（x）max≥g（x）max，而g（x）max=g（3）=ln3.

∴（x2-ax）max≥ln3，f（1）=1-a，f（3）=9-3a.

當1-a-9+3a＞0時，即a＞4時，a＜1-ln3，不合題意，舍去；

［1］翟麗.函數任意性與存在性問題探析［J］.高中數學教與學，2015.

［2］韓義成.“任意性”和“存在性”問題求參數范圍解析［J］.數理化解題研究，2016.

［3］傅建紅.聚焦函數中的任意性與存在性問題［J］.高中數學教與學，2012.

［4］孟博.一個不等式“串”的應用［J］.中學生數學，2006（9）.

［5］王秋生.函數中的任意性和存在性問題案例分析［J］.數理化解題研究：高中版，2011.

［6］王躍.一題多變賞析函數中的任意性與存在性問題［J］.中學課程輔導：教學研究，2016.

［7］何長林，劉勤.一個優美不等式串及與之有關的系列不等式串［J］.數學通訊，2013（24）.

·編輯張慧