把握高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)的研究

王方平

（江蘇省揚(yáng)州市樹人學(xué)校高中部）

把握高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)的研究

王方平

（江蘇省揚(yáng)州市樹人學(xué)校高中部）

在必修1中“函數(shù)的零點(diǎn)”是新增內(nèi)容，它連接著函數(shù)、方程和圖象，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系，包含了數(shù)形結(jié)合思想。例如，方程根個(gè)數(shù)、范圍的問(wèn)題，零點(diǎn)存在問(wèn)題等都可以轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題討論，在高考試卷中經(jīng)常看到函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生容易在此處失分。就函數(shù)的零點(diǎn)常見題型及解法作分析，以希望在教學(xué)中更好地把握函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)。

函數(shù)的零點(diǎn)；題型；解法；教學(xué)方式

一、高考數(shù)學(xué)中函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的地位

現(xiàn)在的高考很注重對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考查，而函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題就是考查學(xué)生綜合素質(zhì)的較好題型，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)涉及到初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要的思想方法，對(duì)思維靈活性、創(chuàng)造性有較高的要求。在這幾年各省市的高考數(shù)學(xué)中頻頻出現(xiàn)零點(diǎn)問(wèn)題，而且其形式多樣化。

二、近幾年來(lái)函數(shù)的零點(diǎn)高考題型

從近幾年各省市高考試卷分析來(lái)看，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題大致有以下幾種題型。

題型1.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例題：（2009山東）若函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍________，________。

解析：方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，等價(jià)于函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。則上述函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題。由圖象可分為：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=ax（a＞1）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），而直線y=x+ a所過(guò)的點(diǎn)（0，a）一定在點(diǎn)（0，1）的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)。所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是｛a|a＞1｝。

方法如下：1.構(gòu)造函數(shù)（構(gòu)造的函數(shù)能準(zhǔn)確地做出它的圖象）設(shè)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，也就是函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn)。

2.通過(guò)圖象描繪題意

3.依圖得條件——將形轉(zhuǎn)化成數(shù)

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=ax（a＞1）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)（0，a）一定在點(diǎn)（0，1）的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)。所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是｛a|a＞1｝。

A.0B.1C.2D.3

方法歸納：該題型的解法通常有兩種，一是直接求出函數(shù)的零點(diǎn)，二是通過(guò)函數(shù)的圖形觀察得到，觀察兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，也可以考慮函數(shù)的單調(diào)性來(lái)分析函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

題型2.函數(shù)的零點(diǎn)的范圍

變式：（2011天津）函數(shù)f（x）=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）.

A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）

解析：由f（x）=2x+3x=0可化為2x=-3x，畫出函數(shù)y=2x和y= -3x的圖象，可知選項(xiàng)C，D不正確，且f（0）=20+0＞0，由此可排除A，故選B。

方法歸納：這種題型的解法通常有兩種，一是利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理求解，通過(guò)所給的區(qū)間端點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)；二是通過(guò)函數(shù)的圖形（即數(shù)形結(jié)合）觀察得到，既把函數(shù)分成兩個(gè)簡(jiǎn)單且容易作圖的函數(shù)，觀察兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的大致區(qū)間進(jìn)行求解判斷。

題型3.從函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)值或者范圍

例：（2011山東）已知函數(shù)f（x）=logax+x-b（（a＞0且a≠1）當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x0∈（n，n+1），n∈N*，則n=_______。_______。

解析：由于2＜a＜3＜b＜4，故f（1）=loga1+1-b=1-b＜0，而loga2＜1，2-b∈（-2，-1），故f（2）=loga2+2-b＜0，又loga3∈（1，2），3-b∈（-1，0），故f（3）=loga3+3-b＞0，因此，函數(shù)必在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在零點(diǎn)，故n=2

變式：（2011遼寧）已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是___________。

【解析】由于f′（x）=（ex-2x+a）′=ex-2，故函數(shù)在（-∞，ln2）上遞減，在區(qū)間（ln2，+∞）上遞增，且f（x）極小值=f（ln2）=2-2ln2+a，結(jié)合函數(shù)的圖象知若使得函數(shù)f（x）=ex-2x+a的圖象與x軸有交點(diǎn)，只需f（x）極小值=2-2ln2+a≤0，解得a≤-2+2ln2，故a的取值范圍是（-∞，-2+2ln2］

方法歸納：這種題型的解法通常是通過(guò)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象進(jìn)行分析，結(jié)合交點(diǎn)的情況確定參數(shù)范圍。

三、如何把握函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)

1.從近幾年各省市高考函數(shù)的零點(diǎn)的題目分析，再結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)的特點(diǎn)，在教學(xué)中對(duì)待函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)該在函數(shù)的零點(diǎn)的概念、定理及解題思路上下功夫，在關(guān)鍵問(wèn)題上講深講透，使學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)。對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生清楚掌握兩個(gè)方面：一是理解函數(shù)的零點(diǎn)的概念及定理，二是掌握函數(shù)的零點(diǎn)題型的解題思路及常見方法。零點(diǎn)存在性定理是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件，它的逆命題不成立，這個(gè)可以舉一些簡(jiǎn)單實(shí)例讓學(xué)生加深對(duì)零點(diǎn)存在性定理的理解。

2.掌握函數(shù)的零點(diǎn)題型的解題思路及常見方法。弄懂了函數(shù)的零點(diǎn)的概念及定理，理解了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的聯(lián)系，在教學(xué)過(guò)程中可以把以上幾種題型展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生總結(jié)各種題型的解題思路及方法。只有這樣，才能讓學(xué)生真正弄懂知識(shí)的來(lái)龍去脈，掌握函數(shù)的零點(diǎn)題型的解題思路及常見方法，提高教學(xué)的效率。

［1］錢文斌.函數(shù)的零點(diǎn)在高考中的應(yīng)用［J］.科技視界，2014（16）.

［2］黃育梅.基于高考函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的教學(xué)方法［J］.南方論刊，2011（S1）.

·編輯楊國(guó)蓉