關于空間解析幾何中向量與距離教學的一點探討

許明義　張鴻俊　曾　柯　唐明明　聶存云

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關于空間解析幾何中向量與距離教學的一點探討

許明義1張鴻俊1曾柯1唐明明1聶存云2

（1.湖南工程學院 計算機與通信學院；2.湖南工程學院 理學院；湖南 湘潭 411104）

空間解析幾何是多元函數微分學和積分學的基礎內容之一。本文聯系初等方法的解析幾何、立體幾何內容，結合向量代數方法的空間解析幾何知識點，將幾何學習中的常用的點、線、面等內容融會貫通，有助于空間解析幾何的教與學，達到理想的教學效果。

空間解析幾何；向量與距離；教學方法

空間解析幾何是高等數學中的重要內容之一，它不僅是高中解析幾何、立體幾何內容的延伸，更是學習多元函數微分學的重要基礎[1-3]。該部分內容教學直接影響高等數學教學效果。下面主要針對該部分內容，討論采用何種方式進行教學才能得到理想的教學效果和教學目標:由初等方法引入，引導學生利用向量及其代數運算來推導與計算點與點、直線、平面的距離、兩條平行直線與異面直線之間距離的解析計算方法，其中向量代數方法幾何意義形象直觀。該教學思路與方法將上述基本知識點進行串聯、融會貫通，有助于學生理解掌握空間解析幾何的知識點。

1　由具體到抽象導出兩點間的距離

這樣的教學方式，將兩點間距離的概念由簡單到復雜，由具體到抽象逐步深入的講解，能培養學生的抽象、歸納能力，理解向量的模、距離等概念。

2　由向量點積的幾何意義導出點到直線、平面的距離

教學中，首先可讓學生回憶平面解析幾何中的求解思路：求出過點P的垂直于L的垂線 L：，聯立直線L、L的方程，計算交點坐標并利用兩點間的距離公式，求得。

圖1.（a）點P到直線L的距離.(b)點P到平面的距離.(c) 兩條平行直線間的距離. (d)兩個平行平面間的距離. (e)兩異面直線間的距離.

接著，引導學生思考利用向量的代數運算，兩個向量的點積的幾何意義：一個向量在另一向量上的投影，計算點到直線的距離。直線L的法向量，為直線上任一點,則=, 點到直線L的距離為在法向量上的投影的絕對值，即

然后，將該思想方法推廣到點到平面的距離。

這樣由計算復雜的初等方法到幾何意義清楚的向量點積導出需要計算的距離，可加深學生對此類距離的理解。

3　由向量點積與混合積的幾何意義導出兩空間直線間的距離

可進一步推廣，計算兩個平行超平面間距離。

也可在一個平面上任取一點，再利用點到平面的距離公式進行計算。這種由低維空間到高維空間的推導和抽象可培養學生的抽象、歸納的思維方式。

4　結　語

文章討論了在高等數學的教學中，如何利用初等方法和向量代數方法推導了解析幾何中關于點、線、面之間的距離的計算等知識點，由淺入深、將之融匯在一起，有助于解析幾何的學習與理解，有利于提高高等數學的教學效果。

[1]吳贛昌.高等數學[M].北京:中國人民大學出版社,2011.

[2]李淑玲.數學學習與研究[J].吾喜雜志.2011,(5).

[3]劉連璞.平面解析幾何方法與研究[M].北京:北京大學出版社,1999.

（責任編校：何俊華）

2016－03－20

湖南科技學院教改課題（湖南科技學院教字〔2014〕34號），湖南省教改項目（湘教通〔2014〕247號，）

許明義（1997－），男，湖南武岡人，湖南科技學院計算機與通訊學院14級學生。

聶存云（1974－），男，副教授，博士，研究方向為微分方程數值解法與高等數學教學。

G640

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1673-2219（2016）05-0016-03