主成分聚類分析法在綜合評價學生成績中的應用

齊宗會

（天津商業大學寶德學院，天津 300384）

主成分聚類分析法在綜合評價學生成績中的應用

齊宗會

（天津商業大學寶德學院，天津 300384）

本文采用SPSS統計軟件對學生的課程成績進行主成分聚類分析，分析結果顯示，主成分聚類分析綜合評價法比傳統的平均分分析法和主成分分析綜合評價法更科學、更合理，同時該方法為學校管理層提供更可靠的學生管理信息。

主成分分析；聚類分析；平均分；累積方差貢獻率

高校現行的評優方法就是依據學生的綜合測評成績進行評優，而綜合測評中占主要分量的就是學生的課程成績，但如果僅是將學生的課程成績進行簡單累加再取平均分來評價學生的優劣不太合理，因此我們需要對學生的課程成績進行綜合評價。通過學生各科成績來對學生進行綜合評價的問題屬于多指標問題。因為學生的各科成績之間會有一定的相關性，所以我們需要將學生的各科成績重新組合，然后根據需要從這些重新組合的新的彼此無關的成績指標中選出幾個具有代表性的指標來盡可能多地反應原始數據的信息，這就是所謂的主成分分析法。主成分分析法的思想就是先考慮第一主成分，如果第一主成分的方差貢獻率大于等于85%，這時我們可以認為第一主成分可以反映原始數據的大部分信息，然后根據第一主成分得分對學生成績進行排名即可。但一般情況下，第一主成分的方差貢獻率都達不到85%，所以我們需要考慮第二、第三等主成分，得到主成分綜合得分F=η1F1+η2F2+…+ηiFi（其中Fi表示選出的主成分，ηi為各主成分的方差貢獻率），然后利用主成分綜合得分對學生成績進行排序和評價。這種綜合得分評價法看起來非常合理，但經簡單計算可知，主成分綜合得分不但沒有增加方差的貢獻率，反而使得方差的累計貢獻率變小了（綜合得分反映原始數據的信息量更小了），所以當第一主成分方差貢獻率不夠高的時候，利用該方法對學生成績進行評價難以服眾。本文采用主成分聚類分析方法來評價學生的成績，就能很好地解決上述問題。

1.主成分聚類分析法的思想和步驟

主成分聚類分析法是指將主成分分析與聚類分析相結合，先對數據進行主成分分析，得到主成分得分矩陣，根據原始數據和主成分得分矩陣計算出新的數據矩陣，然后對新矩陣進行聚類分析，進而得到主成分聚類排名。具體做法如下：

（1）按照累計方差貢獻率不低于85%的原則選出前r個主成分，得到前r個主成分的得分Fk（k=1，2，…，r）。

（2）由原始數據矩陣與主成分得分矩陣（F1，F2，…Fr）相乘得到新的數據矩陣，并對新的數據矩陣進行系統聚類

（3）計算各類中樣品的第一主成分得分均值，確定類間排序

（4）根據每一類中樣品第一主成分得分確定每類中樣品的排序，進而得到主成分聚類分析排名。

2.主成分聚類分析法在綜合評價學生成績中的應用

對天津商業大學寶德學院國際工商管理系會計學（注冊會計師方向）1212班44名學生大一、大二兩個學期15門考試科目課程成績做主成分分析。15門課程對應15個指標，分別記為：微積分x1，線性代數x2，大學英語x3，毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論x4，數據庫技術x5，計算機基礎x6，管理學x7，會計學原理x8，微觀經濟學x9，宏觀經濟學x10，中級財務會計x11，統計學x12，經濟法x13，市場營銷學x14，財務管理x15，這15門課程成績為變量。這44名學生的15門課程成績構成44×15的矩陣作為原始矩陣。15門課程學分不同，說明每門課程對學生的影響不同，所以我們采用各門課程的學分除以總學分作為每門課程的權重，再乘以該門課程的原始成績來合理化數據，而對于多學期授課的課程，如微積分是將各個學期課程成績平均值作為該門課程的原始成績。

首先借助SPSS軟件將合理化的數據標準化，計算標準化之后的各門成績之間的相關系數矩陣。結果顯示：微積分與線性代數顯性相關，相關系數高達0.684，這說明大一打好微積分的基礎對大二線性代數的學習有很大的幫助；微積分與微觀經濟學、宏觀經濟學、中級財務會計、統計學、市場營銷、財務管理這些專業課程顯著相關；線性代數與宏觀經濟學、中級財務會計、統計學、經濟法、市場營銷學、財務管理這些專業課顯著相關，說明學好數學基礎課對本專業課程的學習有非常重要的影響。除此之外，許多專業課之間的相關性也比較強，說明這15門課程信息具有很大的重疊性，而因子分析中的主成分分析法正是解決此類信息相關性較強問題的一種方法。它將原有相關性較強的成績指標重新組合成一組相互無關的綜合指標，再根據實際需要選取較少的指標來盡可能多地反映原始數據的信息。該方法降低了數據的維數，為實際計算提供便利。

利用SPSS軟件對標準化后的數據做因子模型的適應性分析，得出KMO=0.720＞0.6，Sig=0.000通過KMO和Bartlett的檢驗，說明原始數據適合做主成分分析。抽取主成分時采取主成分對應的特征值大于0.5的前r個主成分，因子分析收斂的最大迭代次數為25。借助SPSS軟件提取出8個主成分，其累積方差貢獻率高達88.132%，滿足累積方差貢獻率不低于85%的判斷準則，旋轉的成分矩陣在第18次迭代后收斂，所以只需選擇前8個主成分即可表達原來15個指標所包含信息量的88.132%。由合理化的原始數據矩陣乘以主成分得分矩陣得到新數據矩陣，對該矩陣進行系統聚類分析，類間距離采用平方和Ward法，聚類闕值為5。44個學生被分為9類，按照各類的第一主成分得分的平均值得出類間排序，再按每類中每個成員的第一主成分得分對44名學生進行主成分聚類排名，并將主成分聚類排名、主成分綜合得分排名和平均分排名列表如下。

由表格中找到5號同學和29號同學，5號同學的平均分排名為21，主成分綜合得分排名為18，主成分聚類排名為32，而29號同學的平均分排名在26，主成分綜合得分排名在21，主成分聚類排名為28，5號同學的平均分排名和主成分綜合得分排名都排在29號同學前面，而主成分聚類排名卻排在29號之后。查詢兩名同學的原始成績可以看出，5號同學的15門課程的總分高于29號同學，所以5號同學的平均分排名和主成分綜合得分排名都排在29號同學的前面，但具體分析兩名同學的成績不難看出，5號同學大學英語94分，而微觀經濟學才54分，5號同學15門成績的總方差高達101；而29號同學15門成績則比較穩定，15門課程成績總方差才78。通過對兩名同學的原始成績進行分析不難看出，5號同學存在偏科現象，對自己喜歡的課程比較有積極性，考試成績較高；對自己不喜歡的課程，則是消極對待，致使該門課程考試成績不及格。而29號同學則是注重均衡發展，每門課程都能認真學習，所以每門課程都取得較好的成績。而我們大學的教學就應該注重學生的均衡發展，盡量避免“瘸腿”現象的發生，主成分聚類分析排名能很好地體現這一點，所以說主成分聚類分析比主成分分析和平均分分析更具優勢。同時，在開展學生管理工作的時候，班主任可以根據學生成績的不同特點采取不同的方法。比如5號同學，班主任可以向微觀經濟學的任課教師說明該學生的偏科情況，讓任課教師對該學生多給予關注，加強對該學生學習興趣的引導，提高他對該門課程的學習熱情，進而提高這門課程的成績，為后續專業課的學習打下基礎。而針對29號同學，班主任可以引發他對一些課程更感興趣，學習積極性更高，這樣也能提高他的成績。

通過對學生成績的分析得出，主成分聚類分析方法得出的排名比平均分排名和主成分綜合得分排名更科學、更合理，它更能體現學生的綜合素質，更能適應21世紀對大學生的要求。

學號 　1 　2 　3 　4 　5 　6 　7 　8 　9 　1 0 1 1主成分聚類排名 　4 0 3 7 9 　3 3 3 2 3 8 4 2 3 9 4 1 3 1 3 6主成分綜合得分排名 　4 2 3 5 1 0 2 5 1 8 3 7 4 1 4 4 3 8 1 7 3 4平均分排名 　4 4 2 2 2 9 1 1 2 1 4 0 3 6 4 3 3 4 1 3 3 0

學號 　1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2?主成分聚類排名 　1 4 4 3 1 6 2 5 1 9 1 2 3 4 6 　2 9 3 5 4主成分綜合得分排名 　1 6 4 0 1 3 2 8 2 7 1 5 3 1 7 　3 3 3 2 5平均分排名 　3 8 3 3 1 7 3 1 2 5 1 0 1 5 8 　3 5 2 0 9

學號 　2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3主成分聚類排名 　1 　3 0 1 8 2 6 4 4 2 7 2 8 1 1 2 2 2 　2 0主成分綜合得分排名 1 　3 6 2 4 3 9 4 3 2 2 2 1 8 　2 3 3 　9平均分排名 　1 　3 7 2 3 4 1 3 2 2 7 2 6 5 　2 4 3 　1 4

學號 　3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4主成分聚類排名 　2 4 2 1 1 0 2 3 7 　1 5 5 　3 　8 　1 3 1 7主成分綜合得分排名 3 0 2 9 1 1 2 0 1 4 1 2 6 　2 　4 　1 9 2 6平均分排名 　3 9 4 2 7 　1 8 1 9 1 2 6 　2 　4 　1 6 2 8

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TP

A

1673-0046（2016）8-0182-02