當音樂擁抱數學

王江山

你可能曾為巴赫鋼琴曲的壯麗而震撼，為肖邦圓舞曲的清新優雅而沉醉，為柴可夫斯基樂章的悲壯與深情而感嘆，為貝多芬交響樂的激情澎湃而心旌搖曳。

你一定也曾驚嘆過數學的縝密邏輯，那些巧妙的定理、簡潔或復雜的公式，其中都揭示著某種深刻的規律。數學如此抽象，有時候難免讓人產生迷惑，但也激發出人們一探究竟的樂趣。

那么，充滿激情和幻想的音樂與強調理性和嚴謹的數學之間有什么關系呢？音樂中是否蘊含著數學知識，音樂的和諧柔美是否也隱藏著數學的奧秘呢？

畢達哥拉斯的思考：五度相生律

“do、 re、mi……”隨著這幾個簡單的音階，我們開始了人生中的第一堂音樂課。數字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個基本音階，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。提到數學與音樂的關系，我們所能想到的第一個有關音樂與數學的結合，也許就是這7個基本音階了。你可曾想過，這些音階是按照什么規律排列的呢？

讓我們回到2500年前，追隨大名鼎鼎的古希臘數學家畢達哥拉斯的腳步，看看他是怎么解答的吧。

據說，畢達哥拉斯曾在散步時路過一家鐵匠鋪，鐵匠鋪里傳出的叮叮當當的敲擊聲吸引了他的注意。他走進去，發現這些美妙的聲音源于鐵錘和鐵砧的大小不一，故而發出的聲音也不同，這激發了他的思考：這些聲音的和諧與什么有關呢？

眾所周知，畢達哥拉斯開創了自己的數學學派，該學派信奉數是萬物的起源，因此宇宙和諧的基礎應當是完美的數的比例。而音樂之所以能給人以美的感受，很大程度上是因為它有著一種和諧。在這種意識的啟發下，畢達哥拉斯用不同的樂器做了許多實驗，進而發現聲音與發聲體體積有著一定的比例關系。而后，他又在琴弦上做了試驗，發現只要按比例劃分一根振動著的弦，就可以產生悅耳的音程，而它們彼此間是存在比例關系的。

那么，這個比例是多少呢？能不能通過數學的方法計算出來呢？畢達哥拉斯又進一步進行了實驗。經過更多的實驗和推算，畢達哥拉斯終于發現，當弦長比分別為2∶1、3∶2、4∶3時，發出的音律最為和諧，這就是我們后來所使用的五度相生律。

美的東西總是簡單而和諧的。依據五度相生律產生的基礎音階構成的旋律，按照任意的方式組合，都有各自的美感。而將全部半音階推算出來后，旋律的緊張度和動力度會得到增強，更能產生旋律之間動態的美感和張力。所以，自然界需要和諧，音樂也需要和諧。

中國先賢的探索：三分損益律

德國著名數學家萊布尼茨曾說過：“音樂是一種無意識的數學演算，是心靈的算術練習。”可見，音樂和數學是有著內在聯系的。我國古代著名的思想家管仲（管子）也曾認識到數學與音樂的關系，他不僅是政治家、軍事家和思想家，還有很高的音樂修養，被后人稱為我國“音律學之祖”。

《管子·地員篇》里曾記載：“凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分而復干其所，以是生羽。有三分去其乘，適足，以是成角。”這篇文章中記載的宮、商、角、徵、羽就是我國古代的五音階。

那么，管仲又是如何確定宮、商、角、徵、羽這五音階的呢？他首先將一個弦的長度定為基音，而后將它三等分，增加一份（益一）或去掉一份（損一），就可以定出另一個音律的長度。以此類推，直到獲得比基音高出一倍或低一半的音，最后就可以得到五音階。這種樂理又被后人稱為“三分損益律”，是我國古代音樂的重要成就，為我國古代音樂發展史做出了很大的貢獻。

用這種方法產生的律被稱為“純律”，純律各音之間有最小的整數比關系，因此人們覺得純律的音色聽起來最為純凈。如今，純律主要在無伴奏的合唱中使用，人們一般認為中國的古琴應用了純律。從中我們也可以看出，只有當兩音的音程關系符合泛音列中占優勢的音程關系時，才會使人感到音樂的美妙。音樂能夠反映出宇宙本質的數理關系，還能夠體現出宇宙根本規律的和諧。

五度相生律和三分損益律在生律法原則上是一致的，它們生律的結果也是相同的。由此可見，無論是東方還是西方，先哲們都是從悠揚的樂聲中認識到了數學的存在，他們發現的數學規律也間接地促進了音樂的發展。

尋找最美的音符：音樂中的黃金分割

提到黃金分割，大家都不陌生。0.618這個奇妙的數值總令人產生無限的遐想，從貝類動物身上的神秘螺線到金字塔的邊線角度，從人體的和諧線條到無機物質的原子排列，這個神秘的比例在生活中隨處可見。那么，當黃金分割理論被應用于音樂中，又會碰撞出怎樣的火花呢？

許多作曲家有意或無意地把黃金分割理論運用到音樂中，這成了他們作品歷久彌新的法寶。許多樂曲都是一段式、二段式、三段式或五段回旋式，而黃金分割比例與音樂中的高潮位置有密切的關系。例如在《夢幻曲》中，全曲共分為6句、24小節，按照黃金分割率計算的話，高潮將在第14小節（24×0.618≈14.83）出現，而這與實際情況完全符合。

更典型的例子是莫扎特的《D大調奏鳴曲》，它的第一樂章全長160小節，若用小節數乘以黃金分割比值，即160×0.618=98.88，而曲子的再現部位恰恰位于第99小節，正好在黃金分割點上。也許是有意為之，也許是天賦的自然流淌，莫扎特的大部分鋼琴曲中都應用了這個方法，以至于有人評價他：“我們應當知道，創作這些不朽作品的莫扎特也是一位喜歡數字的天才，莫扎特是懂得黃金分割，并有意識地運用它的。”

如果大家仔細觀察就會發現，許多優秀歌曲的高潮部分一般也會出現在黃金分割點上。這一點不僅在古典音樂中得到充分的展示，在流行歌曲中也可以找到痕跡，許多歌曲的主歌和高潮部分都落在這個神秘的點上。

西爾弗斯特曾說過：“難道不可以把音樂描繪成感覺的數學，而把數學描繪成理性的音樂嗎？這樣，音樂家感覺到數學，數學家想到音樂，每一方都經由對方達到盡善盡美的境地。”沒想到吧，音樂與數學的結合竟然如此奇妙，偉大的藝術中常常棲居著科學的秘密。

音樂是人類靈魂的酣暢釋放，是感性思維中最唯美的表達；數學是以數字為基本符號的排列組合，是理性思維最深刻的表現。然而，在更抽象的層面上，二者之間存在著緊密的聯系。正如德國數學家萊布尼茨所說：“音樂是數學在靈魂中無意識的運算。”音樂正如有情緒的數學，而數學就像最純粹的音樂。樂音激蕩，數字翩躚，音樂與數學恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。那么，就讓我們沉醉其中，縱情感受它們的魅力吧！