一道數(shù)列客觀題的多角度探究

◇　陜西　雷文軍

(作者單位：陜西省丹鳳中學(xué))

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一道數(shù)列客觀題的多角度探究

◇陜西雷文軍

給出遞推關(guān)系求數(shù)列通項公式問題,能有效考查同學(xué)們對所給關(guān)系分析、轉(zhuǎn)化能力,因此備受命題人關(guān)注.解此類問題的關(guān)鍵是把握遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征、善于發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律、熟練相關(guān)問題的通性通法．下面引例1說明．

根據(jù)題中條件采用倒數(shù)法是一種常見解法:

那么例1是否可以利用此方法求解呢?

一方面,分式的分子不是1項,而是2項的差,另一方面,等式展開后也不出現(xiàn)an+1an=can+1+dan的形式,不能用倒數(shù)法.

1　小題小做,猜想歸納

解法1利用已知數(shù)列{an}的遞推公式求出數(shù)列的前幾項,然后歸納猜想出數(shù)列的規(guī)律、特點.

2　探究通法,夯實雙基

解法2利用周期函數(shù)的定義,嚴(yán)格地推導(dǎo)出數(shù)列的最小正周期.

3　奇思妙想 發(fā)散思維

4　嚴(yán)謹(jǐn)思維 落實能力

通過大膽的聯(lián)想實現(xiàn)了對問題的解答,但是聯(lián)想只是停留在列舉實例上,未免不夠嚴(yán)謹(jǐn).如果是一道解答題,如何借助三角函數(shù)方法嚴(yán)格推理呢?

設(shè)an=tanxn,結(jié)合條件中的遞推公式,得an+1=tan(xn-π/3),可見其中正切角構(gòu)成的數(shù)列{xn}是公差為-π/3的等差數(shù)列．

綜上,對一道給出遞推關(guān)系求通項問題的多角度探究,將其巧妙轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的特殊數(shù)列問題,從而使問題迎刃而解．另外,使用上述方法解題時,常可降低思維強度,簡化推理和運算過程,具有直觀、簡捷、明快的特點．解題中要準(zhǔn)確選用．

(作者單位：陜西省丹鳳中學(xué))