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◇　北京　左婧怡

(作者單位：北京四中)

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居安思危防患未然
——教學樓緊急疏散問題研究

◇北京左婧怡

學校的教學樓是一個人員相對集中的公共場所,學生人數多、密度大．突發事件如地震、火災等是很難預料、避免的．在意外事件發生的時候,驚慌和恐懼會造成學生疏散的無序性,并導致產生擁擠和踩踏,進而造成嚴重的人員傷亡．那么如何做到科學有效地疏散?下面對此進行研究．

1問題展示

圖1

以某校一座教學樓為例,平面圖如圖1,學生可以沿教室外的走廊一直走到盡頭的出口．通過建立數學模型分析人員疏散所用最短時間．

2模型假設

為尋找較為合理的疏散撤離方案,先考慮較簡單的情形,在簡單模型基礎上再作進一步改進．

1) 假設每班人數相同，每2間教室距離相等．

2) 假設疏散時人們是排成單隊單列有序撤離．

3) 假設撤離人員間隔均勻且行進速度相同、不變．

4) 忽略隊列中人體厚度．

5) 假設隊列的密集程度與隊列的速度相互獨立．

3　模型建立

假設疏散撤離的隊列中人與人之間的距離是常數,記為d(單位：m);隊列行進的速度也是常數,記為v(單位：m·s-1)．設第i個教室中的人數為(ni+1)人(i=1,2,3,4),第i個教室門口到前一個教室的門口的距離為Li．根據假設,有n1=n2=n3=n4,L1=L2=L3=L4．設教室門的寬度為D．疏散時教室內第一個人到達教室門口所用的時間忽略不計．

在單行撤離的假設下,我們還應該考慮到人員可能重疊的情形,如當教室2的第1個撤離者到達教室1門口時,教室1內的人還沒有疏散完畢．由于走廊寬度只允許一排隊列通過,因此需要等到教室1撤空以后教室2的隊伍再繼續前進．現在假設第i個教室撤離人員在撤離過程中需要等待的時間是ti(i=1,2,3,4)．對于教室2的撤離人員來說,這種情況出現的條件是(n1+1)d/v>(L2+D)/v,即

(n1+1)d>L2+D.

①

教室2的最后一個人到達出口所用時間是

由此可以得到這2個教室內人員(單隊單列)完全撤離出教學樓所用時間的數學模型為

類似的,可以給出4個教室內的人員完全撤離所用時間的數學模型:如果滿足關系式(n1+1)d≤L2+D,則必滿足(n2+1)d≤L3+D,(n3+1)d≤L4+D．

如果滿足關系式(n1+1)d>L2+D,則必滿足(n2+1)d>L3+D,(n3+1)d>L4+D.

那么,教室4的最后1個人到達出口所用時間是

由此可以得到4個教室內人員(單隊單列)完全撤離出教學樓所用時間的數學模型為:

4　模型優化

這是一個T關于v、d的二元函數．運用二元函數求極值的方法可以證明一定存在一個適當的隊列密集程度和隊列行進速度,使得人員疏散所用的時間最短．當然,問題的具體結論還依賴于函數f(d)的具體形式,這是一個隊列行進的數學模型問題,不再贅述．

5　模型引申

實際情況中,通常教室外的走廊都是允許多列隊伍同時并行的．因此,如果在該模型中,教室外的走廊比較寬,可以容許2列隊伍同時并行,以下給出該模型的建立.

該數學模型所設的量與上述模型對比增加的量:人體厚度w,行進速度v=f(d)．

首先,如果n、L、D3個量滿足關系式(n+1)(d+w)≤L+D,易知最短的撤離時間是

當(n+1)(d+w)>L+D時,根據假設,撤離是有序的,那么假設他們的撤離路線是最易想到,也是最簡單的,大致路線如圖2中黑實線箭頭所示.

圖2

根據假設,各班人數n,過道長度L,以及各班撤離速度v均相同,那么當教室2撤離者到達A點時,教室3撤離者到達B點,同時教室4撤離者到達C點．由于(n+1)(d+w)>L+D,也就是說,為了不造成人群的混亂,教室3撤離人員到達B點后不能橫穿過教室2的隊伍,而需要在B點等待到教室1、2撤空后才能繼續前進．而此時教室4前方C、D2點間還可以撤離．那么就牽涉到教室4撤離者到達D點后是否需要等待的問題．

教室4撤離者到達D點后需要等待的條件是

即

(n2+1)(d+w)>L3+L4+2D.

②

若滿足式②,則教室4撤離者需要等待的時間是

若不滿足式②,即L+D<(n2+1)(d+w)≤L3+L4+2D.

即教室4撤離者到達D點后不需要等待,那么教室4最后1個撤離者到達出口所用時間是

綜上,可得4個教室內人員(單隊2列)完全撤離出教學樓所用時間的數學模型為:

6　建模歸納

為了比較單隊單列、單隊2列2種撤離方式所用時間的多少,現將單對單列的數學模型模仿上述模型改進,而后將其與單隊兩列的數學模型比較．比較結果如下:

2) 當L+D<(n+1)(d+w)≤2(L+D)時,

所以單隊2列的撤離方式所用的時間更短些．

3) 當(n+1)(d+w)>2(L+D)時,

所以單隊2列的撤離方式所用的時間更短些．

結論:當(n+1)(d+w)≤L+D時,不論過道寬窄能允許幾列隊伍同時并進,撤離所用的時間是一樣的．這是因為單行道已經足以使得撤離人員通暢撤離而不出現等待現象了;但是當(n+1)(d+w)>L+D時,雙行道能有效減少因單行道而等待的時間,撤離所用的時間就更短．這與我們的生活常識是一致的．

通過以上論述,可知要使撤離時間最短,至少應該從以下幾個方面開始改進:修建建筑物時過道應該盡量寬一些，找到最合適的隊伍密集程度和隊列行進速，根據樓層的布局結構確定最快速的撤離路——爭取做到撤離時井然有序．

(作者單位：北京四中)