例談導數應用中的轉化策略

◇　江蘇　蔣麗麗

(作者單位：江蘇省張家港市樂余高級中學)

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例談導數應用中的轉化策略

◇江蘇蔣麗麗

證明不等式或解不等式恒成立問題是函數綜合問題的常考題型,解題方法主要是構造函數、利用導數求函數最值．但若根據所給的函數直接構造,常使函數單調性的求解陷入困境．這就需要我們在求導前對函數進行等價轉化．下面引例1說明．

(1) 當x∈(0,+∞)時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

1　分離參數

第(1)問求解中若由f(x)=aex-x-1>0直接求fmin(x)的最小值,則需要對a進行分類討論,過程煩瑣．對于含參不等式恒成立問題的求解,可根據函數的結構特征考慮將參數分離出來,進而可將函數具體化．注意參數分離的過程要具有等價性．

另外對于某些復雜的含參問題,若參數不能單獨分離出來,可考慮將含參式整體分離.

f′(x)=[-ax2+(2a2-2)x+2a]eax,

2　分離函數

當x≥1時,ex-1/ex>0,x2-1≥0.又a>0,故g′(x)>0,所以g(x)是[1,+∞)上的單調遞增函數,g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.

此時無法直接比較ea-1與ae-1的大小,可對2式同時取自然對數,即比較a-1與(e-1)lna的大小,因此可構造以a為主元的函數．

當a=e時,ea-1=ae-1;當a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)時,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)lna,故ea-1>ae-1.

3　二次求導

針對導函數的符號不易判斷的情況,可再次構造函數,即設導函數為新的函數,或取導函數的局部(決定導數正、負符號的部分)來構造新函數,將問題轉化為求新函數的最值問題,進而利用二次求導來證明該導函數在定義域上恒正或恒負,求出導函數的最值,判斷導函數的符號后得到原函數的單調性．

續解:求導得

此時導函數的零點仍不可求,須繼續尋找突破策略．

設t(x)=ex-x-1,則t′(x)=ex-1.令t′(x)=0,得x=0.所以t(x)在(-∞,0)上單調遞減;在(0,+∞)上單調遞增.當x=0時,tmin(x)=f(0)=0.

總之,在運用常規思路對上述問題求解中,要善于挖掘題目隱含條件,將原不等式進行等價變形,這是化簡運算的一種有效途徑．因此平時學習中要對所遇到的問題加以整理概括,才能不斷提高我們分析問題與解決問題的能力．

(作者單位：江蘇省張家港市樂余高級中學)