引例說明數列問題求解方略

◇　山東　王　慧

(作者單位：山東省棗莊市棗莊八中南校)

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引例說明數列問題求解方略

◇山東王慧

數列是高中數學主干內容之一,其中與數列的前n項和、遞推關系有關的內容是高考重要考查點.問題處理的關鍵是通過構造、轉化,將一般數列化歸為特殊數列求解．下面引例說明．

(1) 求a1的值;

(2) 求證:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);

(3) 判斷數列{an}是否為等差數列,并說明理由.

本題以等差數列為背景,給出其前n項和公式,證明其遞推關系,并判斷{an}為等差數列．

第(1)問屬于基礎題,下面對第(2)、(3)問的解答進行探究．

1　常規解答

與通項公式有關的內容主要有: 1) 給出前n項和求通項公式．求解方法通常是利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)． 2) 給出遞推關系求通項公式．此類問題的求解方法較多,但本質是“構造”,即根據已知遞推關系將其構造為特殊的等差或等比數列,再利用等差或等比數列的通項公式求解．

(3) 方法1數列{an}是等差數列.理由如下:

因為n≥3, 所以an-2an-1+an-2=0,即an-an-1=an-1-an-2(n≥3). 所以數列{an}是以1為首項、a2-1為公差的等差數列.

2　思路拓展

方法4若數列{an}為等差數列,則有an=a1+(n-1)d,下面用數學歸納法證明:

當n=1時,等式成立; 設當n=k(k≥2)時,等式成立,即ak=1+(k-1)d．

當n=k+1時,

(k-1)ak+1+1=kak.

又因為ak=1+(k-1)d,所以

(k-1)ak+1+1=k[1+(k-1)d],

即ak+1=1+kd,所以數列{an}是以1為首項、d為公差的等差數列.

3　變式探究

證明必要性：設數列{an}的公差為d．

充分性：數學歸納法證明.

設ak=a1+(k-1)d．由已知等式可得

①

②

將式①代入式②得

在此式兩端同乘以a1akak+1,得

(k-1)ak+1+a1=kak.

③

(作者單位：山東省棗莊市棗莊八中南校)