一道高三函數(shù)模擬題的啟示

◇　天津　明廷軍

(作者單位：天津市耀華中學)

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一道高三函數(shù)模擬題的啟示

◇天津明廷軍

對于涉及自變量取值范圍的二次函數(shù)值域問題,我們常見的思路是將自變量的取值范圍與拋物線的對稱軸位置進行分析討論,本題通過對這一傳統(tǒng)方法的研究,提出一種新的研究思路和技巧．

方法1因為f(x)=x2-2x+a，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=1.

1) 當0

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(t)=t2-2t+a.

2) 當t>1時,f(x)在[0,1]上為減函數(shù),在[1,t]上為增函數(shù),則

fmax(x)=max{f(0),f(t)}=

max{a,t2-2t+a}≤a,

fmin(x)=f(1)=a-1≥-a.

方法2因為f(x)=x2-2x+a，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=1.

1) 當0

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(t)=t2-2t+a.

2) 當t≥1時,f(x)在[0,1]上為減函數(shù),在[1,t]上為增函數(shù),則

fmax(x)=max{f(0),f(t)}=

max{a,t2-2t+a}≤a,

fmin(x)=f(1)=a-1≥-a.

方法3因為f(x)=x2-2x+a，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=1.

1) 當0

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(t)=t2-2t+a.

2) 當t=1時,f(x)在[0,t]上為減函數(shù),所以

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(1)=a-1．

此時f(2)=f(0)=a,即1≤t≤2時均滿足條件，所以tmax=2,即g(a)=2,但這與t=1矛盾,故舍去．

3) 當t>1時,f(x)在[0,1]上為減函數(shù),在[1,t]上為增函數(shù),則

fmax(x)=max{f(0),f(t)}=

max{a,t2-2t+a}≤a,

fmin(x)=f(1)=a-1≥-a.

解題時對于這種臨界狀態(tài),我們應該怎么去把握更好呢?如果能撇開對參數(shù)t的討論,將tmax看成a的函數(shù)(受題目“記t的最大值為g(a)”的啟發(fā)),通過定義域去求函數(shù)的最大值就會方便和直觀很多,大大降低了錯誤的可能性!

方法4令f(x)=-a,即x2-2x+a=-a,亦即x2-2x+2a=0，其中Δ=4-8a.

圖3

綜上可知,

所以g(a)的值域為(0,1)∪{2}．

請同學們利用方法4解答下面的練習.

練習已知a、t為正實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2-3x+a,對任意x∈[0,t],都有f(x)∈[-a,a],對每一個正實數(shù)a，記t的最大值為g(a)，則g(a)的值域為________.

(作者單位：天津市耀華中學)