幾道多變量問題的解題策略分析

◇　北京　　張留杰　陶　軍　童嘉森(特級教師)

(作者單位：1.北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 2.北京市懷柔區(qū)第一中學(xué) 3.北京市第八十中學(xué)

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幾道多變量問題的解題策略分析

◇北京張留杰1陶軍2童嘉森3(特級教師)

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的熱點之一,以函數(shù)為背景的雙變量或多變量問題在高考模擬考試中層出不窮,并且大多與不等式及最值綜合在一起.下面就結(jié)合幾道試題談?wù)勥@類問題的解題策略和逐步轉(zhuǎn)化問題的方法.

(1)f(x)=2x時,H(0)=________;

(2)f(x)=x2且t∈[1,2]時,函數(shù)H(t)的值域為________.

(1) 當(dāng)t=0時,f(t)=f(0)=0,可得|2x|≤2,即x∈[-1,1],所以對任意的x∈[-a,b]都有x∈[-1,1],所以a+b的最大值為2, 即H(0)=2.

(2) 方法1不等式|f(x)-f(t)|≤2可化為|x2-t2|≤2,所以t2-2≤x2≤t2+2. 因為t∈[1,2],所以只需分t2-2≤0和t2-2>0這2種情況求解x的范圍.

圖1

圖2　　　　　　　　　　　　圖3

設(shè)集合M={(m,f(n))|m,n∈[a-1,a+1]},若M中的所有點圍成的平面區(qū)域面積為S,則S的最小值為________.

圖4

如圖4,集合M構(gòu)成的平面區(qū)域為矩形,其寬為|(a-1)-(a+1)|=2,函數(shù)f(x)=x2-2x的對稱軸為x=1.

1) 當(dāng)a+1<1,即a<0時,矩形長為|f(a+1)-f(a-1)|=|(a+1)2-2(a+1)-[(a-1)2-2(a-1)]|=|(a+1)2-(a-1)2+2[(a-1)-(a+1)]|=|4a-4|=4|a-1|.所以矩形面積S=8|a-1|,無最小值.

2) 當(dāng)a-1>1,即a>2時,矩形長為|f(a+1)-f(a-1)|=4|a-1|,面積為S=8|a-1|,無最小值.

3)a+1≥1且a-1≤1,即0≤a≤2時,若0≤a<1, 其長為|f(a-1)-f(1)|=(a-2)2,面積S=2(a-2)2,無最小值;若1≤a≤2,其長為|f(a+1)-f(1)|=a2,面積S=2a2,此時a=1，S有最小值2.

綜上,平面區(qū)域的面積S的最小值為2.

(1) 函數(shù)h(t)的最大值是________;

(2) 函數(shù)h(t)的單調(diào)遞增區(qū)間為________.

圖5

(作者單位：1.北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 2.北京市懷柔區(qū)第一中學(xué) 3.北京市第八十中學(xué)