考慮主塔剛度影響的三塔斜拉橋振動基頻實用公式

陳恒大，鄔曉光，姚絲思，郭飛,2

(1.長安大學 橋梁與隧道陜西省重點實驗室，陜西 西安 710064；2.浙江省交通規劃設計研究院，浙江 杭州 310000)

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考慮主塔剛度影響的三塔斜拉橋振動基頻實用公式

陳恒大1，鄔曉光1，姚絲思1，郭飛1,2

(1.長安大學 橋梁與隧道陜西省重點實驗室，陜西 西安 710064；2.浙江省交通規劃設計研究院，浙江 杭州 310000)

為方便計算多塔斜拉橋的豎向自振頻率，基于最簡單的多塔斜拉橋形式——三塔斜拉橋，考慮主塔剛度對振動頻率的影響，應用Rayleigh法，給出主梁豎向自由振動的振型函數和主塔縱向自由振動的振型函數，并推導出考慮主塔剛度影響的三塔斜拉橋豎彎振動頻率公式，且對其精確性進行多個算例驗證。研究結果表明：主塔剛度對于三塔斜拉橋豎彎剛度影響較大，頻率計算時應予以考慮，給出的能量法得到的縱飄基頻計算值與有限元值誤差比規范解與有限元值誤差小，該公式能滿足概念設計階段的要求，適用于三塔斜拉橋的振動基頻估算。

橋梁工程 ；三塔斜拉橋；主塔剛度；基頻；實用公式

隨著橋梁結構形式的多樣化，三塔斜拉橋應運而生，相比傳統獨塔或雙塔斜拉橋，三塔斜拉橋的中間塔兩側既沒有輔助墩和過渡墩，又沒有端錨索，缺少了對主梁和索塔剛度的有效幫助，使已經是柔性結構的斜拉橋柔性更大[1-4]。因此，對獨塔或雙塔斜拉橋在概念設計階段的動力特性估算由于忽略了主塔剛度的影響而不適用于三塔斜拉橋。《公路橋梁抗風設計規范》中的雙塔斜拉橋的基頻估算公式是以雙塔漂浮體系為基礎，找出影響斜拉橋的振動特性的主要設計參數，根據現有斜拉橋振動特性資料進行回歸分析或者曲線擬合，由于統計樣本在數量及規格上的不足，大跨度、超大跨度斜拉橋估算頻率值與真實頻率值存在較大差異[5-8]；李國豪等〗[9]將斜拉橋看作一種在縱向稍作浮動的彈性支承連續梁，提出單質點振子模型估算漂浮體系斜拉橋的1階頻率，需要將橋面質量及塔架自重等效換算后堆聚塔頂存在誤差較大的問題；袁萬城等[10]針對文獻[9]單質點模型計算精度不足的缺陷，采用分開考慮主塔、主梁的雙質點振動模型，提高了漂浮體系斜拉橋基本周期的估算精度；張楊永[11]根據主塔塔頂的抗推剛度與主梁的等效擺動剛度的差異，對文獻[10]提出的估算公式進行修正；柳惠芬[12]將漂浮體系斜拉橋比擬為多跨連續彈性地基梁，利用Rayleigh法給出了漂浮體系斜拉橋1階豎彎頻率近似計算公式；Walther[13]同樣是將斜拉橋簡化成多跨連續彈性地基梁模型，并對其進行修正；苗家武[14]考慮了斜拉橋主塔偏位對豎彎基頻的影響，對文獻[12～13]提出的估算公式進行完善和修正；盛善定等[15-16]等采用Rayleigh法推導了單跨懸索橋的近似豎彎基頻表達式；王本勁等[17-21]采用Rayleigh法針對多塔懸索橋的豎彎振動頻率進行了推導，并提出了精度較高的修正公式。綜上所述，獨塔、雙塔漂浮體系的斜拉橋已有相關的豎彎基頻近似計算公式，但是在諸多文獻中均未對多塔斜拉橋的豎彎基頻近似計算公式進行相關討論，又由于多塔斜拉橋中間塔兩側無輔助墩、過渡墩和端錨索的幫助，柔度更大的多塔斜拉結構對主塔剛度提出了更高的要求，對該結構形式的豎彎基頻還停留在定性認識階段，對其定量計算公式幾乎處于盲區。雖然通過有限元數值模擬和實驗室現場振動實驗可以獲得其自振頻率的分析結果，但只要結構體系某一參數改變，需重新建模分析，不利于橋梁技術人員在概念設計階段快速判斷橋梁結構的振動特性。為此，本文以多塔斜拉橋中的最簡單形式——三塔斜拉橋為例進行振動基頻研究，采用Rayleigh法推導其豎彎基頻估算實用公式供初步概念設計，亦可對施工圖設計階段計算機的分析結果進行校核。

1　基于Rayleigh法計算振動頻率

當系統進行固有振動時，如果不考慮阻尼力消耗能量，其動能和勢能會反復交換，對于保守系統，其結構總能量是守恒的。可知，頻率ωb的近似公式為

(1)

式中：ωb為與此對應的頻率；ωbb為不考慮主塔剛度時頻率；EI(x)為彎曲剛度；m(x)為質量分布值；φ(x)為滿足橋梁位移邊界條件的近似振型函數。

為方便表述，對下文中的符號作如下說明：EGIG和ETIT為加勁梁、主塔的抗彎剛度；η，ξ和ηci為加勁梁、主塔及拉索的振型函數；mG，mT和mci為加勁梁、主塔及拉索的線均布質量；Eci和Aci為拉索的彈性模量及截面面積；αci和Lci為拉索的水平傾角及長度。

目前，大跨度斜拉橋多采用自錨式漂浮體系，塔墩固結、塔梁分離，塔墩上設置豎向支承(半漂浮)或者不設置豎向支承(全漂浮)。作基本假定如下：

1)斜拉橋視為平面結構，結構變形符合線彈性的假定，適用疊加原理；

2)斜拉索視為一根直桿，不考慮彈性模量的修正；

3)不考慮主梁、主塔的Ρ-Δ效應；

4)不考慮斜拉橋各部件受力后幾何尺寸的改變所引起的結構內力重分配。

1.1結構體系的勢能

斜拉體系在鉛垂平面內發生1階豎向振動時，其勢能為加勁梁、主塔(中間主塔及邊塔)和拉索勢能之和。

加勁梁的勢能為

(2)

主塔的勢能為

(3)

圖1　拉索與主梁的變形協調Fig.1 Deformation compatibility of cable and main girder

(4)

由于整體結構的體系的振動，使得拉索的傾角發生變化，索力也發生變化，索力的垂直分量的變化量為ΔFv?ΔF·cosα·dα，

則拉索二次勢能為

(5)

于是，整個斜拉體系的勢能為：

(6)

1.2結構體系的動能

斜拉體系在鉛垂平面內發生1階豎向振動時，其動能為加勁梁、斜拉索和主塔動能之和。

加勁梁的動能為

(7)

斜拉索的動能為

(8)

主塔的動能為

(9)

則整個斜拉體系的動能為

(10)

1.3斜拉體系的豎彎基頻

將式(6)、式(10)代入式(1)，可得到斜拉體系的豎向振動頻率的計算公式為：

(11)

李國豪在文獻[9]中指出，斜拉體系的面內彎曲振動的勢能主要是由拉索的勢能和主塔的勢能，加勁梁勢能及拉索的二次變形能是次要的，可以忽略不計。結構動能中，主梁和主塔的動能是主要的；拉索的動能可以忽略，亦不考慮系統阻尼對結構振動特性的影響。于是，該結構的豎彎頻率理論近似公式：

(12)

由式(12)可知，基頻ωb僅與結構的計算參數ET，Eci，Aci，IT，mG，mT和振型函數η(x，t)，ξ(z，t)有關，與斜拉索截面形式無關。求解三塔斜拉橋的振動基頻，獲得其基本振型函數η(x，t)和ξ(z，t)是前提。

而不考慮主塔剛度影響的結構豎彎頻率理論近似公式為：

(13)

由式(13)可知，當不考慮主塔剛度影響時，基頻ωbb僅與結構的計算參數Eci，Aci，MG和振型函數η(x，t)有關，與其他因素無關。

2　三塔斜拉橋豎彎基本振型

根據文獻[9]及三塔斜拉橋的結構特點，可得到其1階反對稱和正對稱的豎彎振型，如圖2～3所示。

圖2　1階反對稱豎彎振型Fig.2 Mode shape of 1st asymmetric vertical vibration

圖3　 1階正對稱豎彎振型Fig.3 Mode shape of 1st symmetric vertical vibration

根據圖2～3所顯示的三塔斜拉橋1階反對稱和正對稱豎彎振動變形圖可知，其主梁振型函數η(x，t)與四跨連續梁豎向自由振動的振型函數η(x，t)類似。由于拉索和加勁梁滿足變形協調條件，故只需確定滿足邊界條件的加勁梁的振型函數η(x，t)即可。而主塔振型函數ξ(z，t)與側向受均布荷載作用下的懸臂塔的振型函數ξ(z，t)相似，由此只要找到能滿足主梁豎向自由振動的振型函數η(x，t)和主塔縱向自由振動的振型函數ξ(z，t)，即可通過微積分運算求出三塔斜拉橋的1階豎彎振動頻率ωb，具體推導如下文。

3　1階反對稱豎向彎曲頻率計算公式

加勁梁1階反對稱的振型關于中間支座反對稱，如圖4所示。

圖4　加勁梁1階反對稱豎彎振型Fig.4 Mode shape of stiffening girder 1st asymmetric vertical vibration

主梁滿足1階反對稱豎彎自由振動，設其滿足邊界條件的加勁梁振型函數為

(14)

(15)

(16)

(17)

由于加勁梁振型曲線在各橋塔處是連續的，即滿足變形協調條件，可得

(18)

(19)

(20)

主塔滿足1階反對稱豎彎自由振動，設其滿足邊界條件的主塔振型函數為

(21)

文獻[11]中指出，結構豎彎平面內自由振動過程中，主塔塔頂順橋向偏位為

Δh1=0.001 2l1，Δh2=0.001 2l2且Δh3=Δh1

(22)

(23)

將式(19)～(20)和式(22)～(23)代入式(12)可得：

(24)

不考慮主塔剛度時，同理可得：

(25)

4　1階正對稱豎向彎曲頻率計算公式

加勁梁1階正對稱的振型關于中間支座對稱，如圖5所示。

圖5　加勁梁1階正對稱豎彎振型Fig.5 Mode shape of stiffening girder 1st symmetric vertical vibration

主梁滿足1階正對稱豎彎自由振動，設其滿足邊界條件的加勁梁振型函數為

(26)

(27)

(28)

(29)

由于加勁梁振型曲線在各橋塔處是連續的，即滿足變形協調條件，可得

經簡化可得

(30)

于是，可得：

(31)

(32)

主塔滿足1階反對稱豎彎自由振動，設其滿足邊界條件的主塔振型函數為

(33)

文獻[11]中指出，結構豎彎平面內自由振動過程中，主塔塔頂順橋向偏位為

Δh1=0.001 2l1，Δh2=0.001 2l2且Δh3=Δh1

(34)

(35)

將式(31)～(32)和式(34)～(35)代入式(12)可得：

(36)

不考慮主塔剛度時，同理可得：

(37)

5　算例驗證

為驗證文中解與有限元解的計算精度，選取4座三塔斜拉橋對上述公式加以驗證，其中算例1，2和3均無輔助墩，算例4有輔助墩，實橋結構計算參數如表1所示。

詳細計算結果如表2所示。

表1　實橋結構計算參數Table 1 Structural parameters of real bridge

表2　實橋1階豎彎基頻頻率對比Table 2 First fundamental frequency of comparison vertical vibration

注：誤差1是文中解2與有限元解之間的誤差；誤差2是規范解與有限元解之間的誤差；誤差3是文中解4與文中解2之間的誤差

根據表1～2計算的數據分析可知，本文推導的考慮主塔剛度影響的三塔斜拉橋豎彎基頻能量表達式與有限元數值結果誤差1最大為5.71%，未考慮主塔剛度影響的公式解與有限元值誤差會更大一些，而規范解與有限元解之間的誤差2最大為13.79%，誤差大小皆能滿足概念設計階段的要求；考慮了主塔剛度影響的頻率公式計算值與不考慮主塔剛度影響的公式計算值相比精確度提高2%～5%，因此，在計算三塔斜拉橋豎彎基頻時需考慮主塔剛度影響。1階反對稱的估算值與有限元值之間的誤差比1階正對稱的估算值與有限元值之間的誤差相對要大，原因在于其振型函數更趨近于簡支固端梁的振型函數；本文推導的縱飄豎彎基頻能量表達式僅適用于塔梁固結、墩支承的三塔斜拉橋的豎彎頻率估算，不適用于其他斜拉體系的豎彎頻率估算。

6　結論

1)推導了考慮主塔剛度和不考慮主塔剛度2種情形的基頻計算公式，可知三塔斜拉橋豎彎基頻隨著主塔剛度的提升而增大，當考慮主塔剛度時，基頻公式的計算精度提高2%～5%，因此在橋梁概念設計階段振動基頻計算時應充分考慮主塔剛度的影響。

2)三塔斜拉橋振動基頻ωb僅與結構的計算參數主塔抗彎剛度、拉索彈性模量、拉索截面面積、主梁及主塔的線均布質量和主梁豎向自由振動的振型函數η(x，t)和主塔縱向自由振動的振型函數ξ(z，t)有關，與斜拉索截面形式無關。

3)通過假設主梁的基本振型函數，推導了其1階豎彎正對稱和反對稱的能量表達式，給出的能量法縱飄基頻計算值與有限元值誤差比規范解與有限元值誤差小約5%，此公式可以適用于考慮主塔剛度影響的三塔斜拉橋豎彎頻率初步概念設計階段的估算中。

4)豎彎頻率實用計算公式僅適用于三塔斜拉體系，對其他體系斜拉橋應另做專門研究，《公路橋梁抗風設計規范》中的斜拉結構的豎向彎曲的基頻估算公式不適用于塔梁固結、墩支承的三塔斜拉體系的豎彎頻率的估算。

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Practical vertical frequency formula for vibration of cable-stayedbridges with three tower considering tower stiffness influence

CHEN Hengda1,WU Xiaoguang1,YAO Sisi1, GUO Fei1,2

(1.Key Laboratory for Bridge and Tunnel of Shaanxi Province, Chang’an University , Xi’an 710064, China；2.ZHE JIANG Provincial Institute of Communications Planning, Design and Research, Hangzhou 310000, China；

In order to calculate fundamental frequency of the cable-stayed bridges with multi-tower conveniently, the cable-stayed bridges with three tower was taken as research object. Frequency formula for vibration mode of cable-stayed bridges was induced by the Rayleigh method and vibration mode function of vertical free vibration of main beam and vibration type function of longitudinal free vibration of main tower were introduced. The practical vertical frequency formula for vibration of cable-stayed bridges with three tower considering tower stiffness influence was then derived. Finally, the presented theoretical formula of fundamental frequency was found to be valid in engineering and the frequency formula for vibration was discussed therein. The results indicate that section types of the girder, tower and cable has no influence on the vertical frequency formula for vibration of cable-stayed bridges, but the tower stiffness has a great influence on vertical frequency of cable-stayed bridges. The constrain condition and tower stiffness should be carefully considered in the calculation of frequency. The fundamental frequency calculated by the recommended method has a smaller error compared with the finite element method (FEM) result, which satisfies the requirement of conceptive design. The presented theoretical formula can be applied to the estimation of frequency for vibration of cable-stayed bridges with three tower.

bridge engineering; cable-stayed bridges with three tower; tower stiffness; fundamental frequency; practical formula

2016-03-27

國家自然科學基金資助項目(51308056)；中國電力建設股份有限公司科技專項資金資助項目(2014-38)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(201493212002)

陳恒大(1989-)，男，山東滕州人，博士研究生，從事大跨度橋梁結構理論分析與養護管理研究；E-mail：kuangyedeliusha@126.com

U441.3

A

1672-7029(2016)10-1962-08