高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算

周長城，于曰偉，趙雷雷

(山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049)

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高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算

周長城，于曰偉，趙雷雷

(山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049)

針對高速列車一系垂向懸掛系統中存在的阻尼匹配問題，通過國內外各種典型軌道譜分析，利用曲線擬合方法，建立能夠有效反映實際軌道路況且滿足車輛運行安全性理論分析計算的軌道高低不平順輸入模型；根據1/4車體4自由度垂向振動模型，以車輛運行安全性最佳為目標，利用隨機振動理論和留數定理，建立高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比解析計算數學模型。通過實例計算及仿真驗證可知：一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析設計值與仿真驗證值的最大相對偏差僅為2.37%,表明所建立的高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算方法是正確的，該研究為高速列車一系垂向懸掛系統阻尼比的初始設計提供了理論指導。

高速列車；一系垂向懸掛系統；最佳阻尼比；解析計算；留數定理

一系垂向懸掛系統作為高速列車懸掛系統的重要組成部分，其阻尼匹配對高速列車的運行安全性具有重要影響[1-3]。然而，由于受軌道車輛懸掛系統最優阻尼匹配理論的制約，目前，國內外對于高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比一直沒有給出可靠的解析計算方法[4-6]。許多國內外學者對軌道車輛一系垂向懸掛系統進行了大量研究，但這些研究主要針對減振器阻尼系數進行，主要采用的方法有控制設計理論法、智能優化設計法和建模仿真優化法。例如，Sugahara等[7-8]分別利用H∞和LOG控制算法對軌道車輛的一系懸掛系統進行研究，給出了基于控制設計理論的一系懸掛系統減振器的最佳阻尼系數優化設計值；Mousavi等[9-14]分別利用遺傳算法，神經網絡算法，穩健性設計，多目標優化方法等給出了基于智能優化方法的一系懸掛系統減振器的最佳阻尼系數優化設計值；Zhang等[15-16]分別利用ANSYS軟件和MATLAB軟件給出了基于建模仿真的一系懸掛系統減振器的最佳阻尼系數優化設計值。雖然這些研究能夠給出一系懸掛系統減振器的最佳阻尼系數設計值，但主要是對給定車輛參數的軌道車輛減振器的阻尼系數在給定范圍內進行優化設計，未曾給出具有指導意義的一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算方法。盡管Mastinu等[17-18]對軌道車輛1/4車體2自由度垂向振動模型進行理論分析，給出了車體振動加速度及一系懸掛垂向行程的響應均方根值數學表達式，然而未曾給出一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的設計數學模型，并且所建立的振動模型中未考慮減振器端部連接結構的彈性作用。本文通過國內外各種典型軌道譜分析，對適用于車輛運行安全性分析的軌道高低不平順輸入模型進行研究；根據1/4車體4自由度垂向振動模型，通過高速列車運行安全性分析，對一系垂向懸掛系統的最佳阻尼比進行研究，并結合實例，對一系垂向懸掛系統最佳阻尼比進行解析計算和仿真驗證。

1　垂向振動模型及振動響應特性

1.11/4車體4自由度垂向振動模型

軌道車輛動力學模型是進行懸掛系統性能分析和設計的基礎。本文采用文獻[17～18]所提供的1/4車體2自由度垂向振動模型，在此基礎上，考慮減振器端部連接結構彈性作用的影響，建立1/4車體4自由度垂向振動模型對高速列車一系垂向懸掛系統阻尼比進行研究，如圖1所示。其中，坐標原點位于各自靜平衡位置處。

圖1　1/4車體4自由度垂向振動模型Fig.1 1/4 body four-degree-of-freedom vertical vibration model

圖中：m1為單個轉向架構架質量的一半；m2為單節車體滿載質量的1/4；K1和K2分別為每臺轉向架單側一系和二系垂向懸掛彈簧的等效剛度；C1和C2分別為每臺轉向架單側一系和二系垂向減振器的等效阻尼系數；Kd1和Kd2分別為每臺轉向架單側一系和二系垂向減振器的端部連接等效剛度；zd1和zd2分別為一系和二系垂向減振器的活塞桿垂向位移；z1和z2分別為轉向架構架和車體的垂向位移；zv為軌道高低不平順隨機輸入。

1.2振動微分方程

根據1/4車體4自由度垂向振動模型，在不計軌道耦合振動作用的影響及減振器質量情況下，利用牛頓第二定律，建立1/4車體4自由度垂向振動模型的振動微分方程，即

(1)

1.3轉向架構架垂向振動響應傳遞特性

對式(1)進行傅里葉變換，可得：

(2)

根據式(2)，可得轉向架構架垂向振動位移z1對軌道高低不平順隨機輸入zv的頻率響應函數為：

(3)

式中：N=N0ω4-N1jω3-N2ω2+N3jω+N4，D=-D0ω6+D1jω5+D2ω4-D3jω3-D4ω2+D5jω+D6；其中，N0=C1C2m2(K1+Kd1)，N1=C1Kd2m2(K1+Kd1)+C2K1Kd1m2，N2=C1C2(K1+Kd1)(K2+Kd2)+K1Kd1Kd2m2，N3=K2Kd2C1(K1+Kd1)+K1Kd1C2(K2+Kd2)，N4=K1K2Kd1Kd2；D0=C1C2m1m2，D1=(C1Kd2+C2Kd1)m1m2，D2=Kd1Kd2m1m2+C1C2(K1m2+K2m1+K2m2+Kd1m2+Kd2m1+Kd2m2)，D3=C2K1Kd1m2+(C2Kd1K2+C1K2Kd2+C2Kd1Kd2)(m1+m2)+C1Kd2m2(K1+Kd1)，D4=K1Kd1Kd2m2+Kd1Kd2K2(m1+m2)+C1C2(K2Kd1+K1K2+Kd1Kd2+K1Kd2)，D5=C2K1Kd1(K2+Kd2)+C1K2Kd2(K1+Kd1)，D6=K1K2Kd1Kd2。

(4)

2　軌道高低不平順輸入模型

由于當前國內外各種典型軌道譜的擬合解析表達式形式非常復雜[19]，導致無法對車輛行駛振動系統的響應進行解析計算。因此，為了便于對車輛系統進行動力學特性分析，需構建一種行之有效的，既能夠有效反映實際軌道路況，又能夠進行理論分析計算的軌道高低不平順輸入模型。

通過分析國內外典型軌道譜[19]，其中，功率譜密度曲線如圖2所示，可以看出，實際的軌道高低不平順功率譜密度曲線可以看作是由若干段斜率不連續的直線組成的。因此，利用曲線擬合方法，可將實際的軌道高低不平順激擾用一個通用的譜密度函數來近似表達。

(5)

式中：Sv(Ω)為空間頻率下的軌道高低不平順功率譜密度，m2/(rad/m)；Ω為軌道不平順的空間頻率，rad/m；Ωd為雙對數坐標下譜密度曲線轉折點處的空間頻率，rad/m；G為表征軌道不平順的幅值參數，m3/rad；指數p表示雙對數坐標下譜密度曲線的斜率，其中，當p的取值一定時，可通過調節軌道不平順幅值參數G使所構建高低不平順功率譜密度函數逼近實際軌道功率譜密度曲線。

圖2　國內外典型高低不平順軌道譜Fig.2 Domestic and foreign typical track vertical profile irregularity spectrum

由式(5)可知，當空間頻率Ω趨向0時，所表達的軌道高低不平順輸入的振幅將趨向于無窮大，而實際軌道面并非如此，因此，引入空間下截止頻率Ω0，以保證當頻率低于Ω0時，功率譜密度幅值保持恒定。此時，實際的軌道高低不平順譜密度函數可寫成如下形式。

(6)

通過對實際軌道高低不平順功率譜密度曲線(如圖2所示)進行分析，可以將實際軌道高低不平順功率譜密度曲線視為是由2段斜率不同的直線段組成的，且轉折點處的空間頻率Ωd=1 (rad/m)。因此，根據Ω=ω/v，ω=2πf，及式(6)，利用能量守恒原理，即Sv(Ω)dΩ=Sv(f)df，可以得到時間頻率所表示的高低不平順軌道譜的解析表達式：

(7)

式中：Sv(f)為時間頻率下的軌道高低不平順功率譜密度m2·s；v≤2.5為車輛運行速度，m/s；G為表征軌道不平順的幅值參數m3；f為軌道不平順的時間頻率，Hz。

分析實際軌道高低不平順功率譜密度曲線(如圖2所示)，可知，p的取值范圍通常為2～4。為了能夠對車輛行駛振動響應均方值進行解析求解，p的取值應為2或4。此外，由于軌道車輛轉向架構架的運行平穩性主要受軌道中高頻不平順激擾影響，可以忽略低頻不平順激擾的影響，因此，取p=4，從而根據式(7)可得適用于轉向架構架振動理論分析的軌道高低不平順輸入的時域解析表達式

(8)

其中，軌道高低不平順功率譜密度隨頻率變化曲線，如圖3所示。

圖3　軌道高低不平順功率譜密度隨頻率變化Fig.3 Changes of track vertical irregularity power spectrum density along with frequency

根據式(8)，可得到以圓頻率ω(單位為rad/s)表示的軌道高低不平順輸入模型為：

(9)

由圖3亦可以看出，在中高頻范圍內，與p=2時相比，p=4時的軌道高低不平順輸入與國內外典型高低不平順實際軌道譜更具有良好的一致性，能夠真實反映實際軌道路況，滿足車輛行駛動力學特性分析的要求。因此，可以將式(9)作為軌道高低不平順輸入，對軌道車輛轉向架構架的振動特性進行分析。

3　一系垂向懸掛系統最佳阻尼比

根據式(4)及式(9)，利用隨機振動理論，可得轉向架構架垂向振動加速度的響應均方值為：

(10)

式中：H(jω)z1～zv為轉向架構架垂向振動位移響應量z1對軌道高低不平順輸入zv的頻響函數。

(11)

式中：B=(D0D3D4D5D6+D0D1D5D62-D0D2D52D6-D0D32D62)b1+(D0D1D4D5D6-D02D32D6+D0D1D3D62)b2+(D0D1D2D3D6-D02D3D5D6-D0D12D62)b3+(D02D1D5D6+D0D1D2D4D6+D02D32D6+D0D22D4D6)b4+(D0D12D4D6+ 2D02D1D4D6+D02D2D3D5-D0D1D2D3D4-D03D52-D02D1D3D5-D02D32D4-D0D12D42-D0D1D22D5)b5，

A=D02D53D6+D0D1D4D5D62-2D0D1D3D52D6+D0D1D3D52D6-D0D33D62-D0D32D4D5D6+D13D63- 3D12D3D5D62+D12D3D4D62+D12D42D5D6+D1D22D52D6+D1D3D52D62-D1D2D3D4D5D6；

其中：

D0=C1C2m1m2，D1=(C1Kd2+C2Kd1)m1m2，D2=Kd1Kd2m1m2+C1C2(K1m2+K2m1+K2m2+Kd1m2+Kd2m1+Kd2m2)，D3=C2K1Kd1m2+(C2Kd1K2+C1K2Kd2+C2Kd1Kd2)(m1+m2)+C1Kd2m2(K1+Kd1)，D4=K1Kd1Kd2m2+Kd1Kd2K2(m1+m2)+C1C2(K2Kd1+K1K2+Kd1Kd2+K1Kd2)，D5=C2K1Kd1(K2+Kd2)+C1K2Kd2(K1+Kd1)，D6=K1K2Kd1Kd2；b1=[C1C2m2(K1+Kd1)]2，b2=(C1K1Kd2m2+C1Kd1Kd2m2+C2K1Kd1m2)2- 2C1C2m2[(C1K1+C1Kd1)(C2K2+C2Kd2)+K1Kd1Kd2m2)](K1+Kd1)，b3=[(C1K1+C1Kd1)(C2K2+C2Kd2)+K1Kd1Kd2m2)]2- 2[C1K2Kd2(K1+Kd1)+C2K1Kd1(K2+Kd2)][C1Kd2m2(K1+Kd1)+C2K1Kd1m2]+ 2C1C2K1K2Kd1Kd2m2(K1+Kd1)，b4=[C1K2Kd2(K1+Kd1)+C2K1Kd1(K2+Kd2)]2- 2K1K2Kd1Kd2[C1C2(K1+Kd1)(K2+Kd2)+K1Kd1Kd2m2]，b5= (K1K2Kd1Kd2)2。

(12)

其中：ξ為一系垂向懸掛系統阻尼比；G為表征軌道不平順的幅值參數；v為車輛運行速度。

(13)

式中：E0，E1，…，E8分別為以車輛參數表示的高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比解析計算數學模型的各項系數。

根據車輛參數，利用Matlab求解高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比解析計算數學模型(13)的正實數根，便可得到高速列車一系垂向懸掛系統的最佳阻尼比ξos。

4　計算實例

某高速列車的運行速度v=300 km/h，1/4單節車體滿載質量m2=14 398 kg，單個轉向架構架質量的一半m1=1 379 kg，每臺轉向架單側一系垂向懸掛彈簧的等效剛度K1=3.57×106N/m，每臺轉向架單側二系垂向懸掛彈簧的剛度K2=5.68×105N/m，每臺轉向架單側二系垂向減振器的阻尼系數C2=43.42 kN·s/m，每臺轉向架單側一系垂向減振器的端部連接等效剛度Kd1=40×106N/m，每臺轉向架單側二系垂向減振器的端部連接等效剛度Kd2=20×106N/m，每臺轉向架單側一系垂向減振器的阻尼系數為C1，對該高速列車的一系垂向懸掛系統最佳阻尼比進行計算。

根據某高速列車的車輛參數，利用上述所建立的一系垂向懸掛系統最佳阻尼比解析計算方法，可計算得到該車輛一系垂向懸掛系統的最佳阻尼比ξos=0.216，由于文獻[4]中沒有給出解析計算解，只給出了一個范圍ξ∈(0.15, 0.30)，可以看出，根據式(13)求得的數值在以上給出的范圍之內，表明一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算值是可靠的。

圖4　/(Gv3)隨一系垂向懸掛系統阻尼比ξ的變化Fig.4 Changes of /(Gv3) along with primary vertical suspension damping ratio ξ

由圖4可知，在ξos=0.216時，轉向架構架的垂向振動加速度值達到最小；當ξ<ξos時，隨著阻尼比ξ的減小，轉向架構架的垂向振動加速度迅速增加，即運行安全性變差；當阻尼比ξ>ξos時，隨著阻尼比ξ的增加，轉向架構架的垂向振動加速度逐漸增加，運行安全性也隨之變差。由于一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的選取是為了抑制中高頻段范圍內軌道車輛轉向架構架的振動，由圖5可知，在阻尼比ξ∈(0.15, 0.30)范圍內，當ξos=0.216時，能夠有效抑制轉向架構架共振區的共振峰，表明最佳阻尼比的解析計算值是可靠的。

圖5　軌道輸入zv與構架加速度1輸出的幅頻特性曲線Fig.5 Amplitude-frequency characteristic curve of track input zv and bogie vibration acceleration output 1

圖6　軌道輸入zv與懸掛動作用力2)輸出的幅頻特性曲線Fig.6 Amplitude-frequency characteristic curve of track input zv suspension dynamic force output 2)

由圖6可知，在阻尼比ξ∈(0.15, 0.30)范圍內，當ξos=0.216時，能夠有效抑制輪對所受懸掛垂向動作用力共振區的共振峰，表明最佳阻尼比的解析計算值是可靠的。

由圖7可知，在中低頻段范圍內，一系垂向懸掛系統阻尼比對車體垂向振動加速度影響較小；在中高頻段范圍內，當ξos=0.216時，能夠有效抑制轉向架構架共振區的車體垂向振動加速度幅值，表明所建立的高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算方法是合理的。

圖7　軌道輸入zv與車體加速度2輸出的幅頻特性曲線Fig.7 Amplitude-frequency characteristic curve of track input zv and vehicle body vibration acceleration output 2

5　仿真驗證

可知，利用一系垂向懸掛系統最佳阻尼比計算方法所得到的該高速列車一系垂向懸掛系統的最佳阻尼比ξos=0.216，與利用Matlab/Simulink優化設計所得到的最佳阻尼比ξos=0.211相吻合，兩者偏差僅為0.005，相對偏差僅為2.37%。結果表明，所建立的高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算方法是正確的。

圖8　一系垂向懸掛系統最佳阻尼比優化設計仿真模型Fig.8 Optimal design simulation model for damping ratio of primary vertical suspension system

圖9　德國低干擾高低不平順軌道隨機輸入激勵zvFig.9 German track vertical irregularity random input zv

6　結論

1)利用曲線擬合方法，可建立能夠有效反映實際軌道路況并且滿足車輛運行安全性理論分析計算的軌道高低不平順輸入模型。

2)根據軌道車輛1/4車體4自由度垂向振動模型，利用行駛振動理論及留數定理，可建立高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比解析計算數學模型。

3)高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的實例解析設計值與Simulink仿真驗證值相吻合，相對偏差僅為2.37%，表明所建立的高速列車一系垂向懸掛系統最佳阻尼比的解析計算方法是正確的，該研究為高速列車一系垂向懸掛系統阻尼比的初始設計提供了理論指導，為基于1/4車輛模型的高速列車一系垂向懸掛系統阻尼比的解析設計提供了一種行之有效的計算方法。

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Analytical calculation of the optimal damping ratio of primary vertical suspension system for high-speed train

ZHOU Changcheng, YU Yuewei, ZHAO Leilei

(School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

This paper aims to solve the problem of the optimal matching of high-speed traim primary vertical suspension. With the analysis of the typical track spectrum and curve fitting method, the track vertical profile irregularity model which can effectively reflect the actual track traffic conditions and meet the theoretical analysis of vehicle running safety was established; According to the 1/4 vehicle body four-degree-of-freedom vertical vibration model of high-speed train, optimal running safety, and the theory of random vibration and residue theorem, the analytical calculation mathematical model of optimal damping ratio of high-speed train primary vertical suspension was built. With a practical example of high-speed train, the optimal damping ratio of primary vertical suspension was calculated and validated by simulation, and the maximum relative deviation is only 2.37%. The results show that the analytical calculation mathematical method of optimal damping ratio of high-speed train primary vertical suspension is correct. This research provides important theoretical basis for the initial design of the damping ratio of the primary vertical suspension system of high-speed train.

high-speed train; primary vertical suspension system;optimal damping ratio; analytical calculation; residue theorem

2015-12-27

國家自然科學基金資助項目(51575325)；山東省自然科學基金資助項目(ZR2013EEM007)；山東省重點研發計劃項目(2015GGX105006)

周長城(1962-)，男，山東泰安人，教授，博士，從事汽車及軌道車輛懸架系統設計；E-mail：greatwall@sdut.edu.cn

U270.2

A

1672-7029(2016)10-1891-08