反思錯因　提前干預　精講巧練——小學數學錯題研究和應用的三部曲

浙江新昌縣城西小學（312500）　王小荷

反思錯因提前干預精講巧練——小學數學錯題研究和應用的三部曲

浙江新昌縣城西小學（312500）王小荷

對學生數學作業中出現的錯誤進行深度剖析，發現除了學生個別的因素之外，教師對內容的理解和教學方法的選擇是影響學生出現錯誤的主要原因。在理解數學課程特點和要求及剖析學生錯誤原因的基礎上，教師不斷改進教學方法、優化習題設計，能夠有效減少學生的錯誤，提高學生的數學思維水平。

小學數學錯誤干預精講剖析動態生成

根據《小學數學錯題資源庫的建設與應用》的課題設計，我校組織了五年級上冊期初錯題摸底檢測，下面我就對我校四位教師任教的四個不同班級學生的錯例進行分類統計。在統計中，我發現學生的共同錯誤也存在著不少差異，因為我對這四位教師的方程教學做過一些研究，所以特別留意方程教學的后繼問題，以下是反映方程教學中學生兩道錯題的統計情況。

差異一（見表1）：

這是整份摸底試題中錯誤率最高的一道題：“爸爸體重A千克，比小東體重的3倍少15千克，小東的體重是（ ）千克。”

表1　

這是一道錯誤率較高的題，但對乙教師任教的班級學生來說卻不存在困難，錯誤率遠遠低于全體學生樣本的錯誤率。

差異二（見表2）：

在解方程3×6+2x=40中，我校四位教師任教的班級學生的錯誤也存在較大的差異性。

表2　

出現這些差異的原因是什么？這種差異對我們的數學教學有何啟示？面對問題，我陷入了深深的思考之中。

一、不同的教學方法，學生出現不同的錯誤

我對方程教學進行了研究，在研究中發現：不同的教學方法，學生有著不同的錯誤。

教學解方程前，我曾經進行過前測，發現學生對于解類似15-○=13、1.5÷▼=0.3的算式不存在問題，幾個班級學生的正確率均達到95%以上，甚至解如2.5÷x= 10、10-x=8.3這樣的方程，學生的正確率也達到90%以上，各個班級學生的差異較小。檢測后，我們都各自按照自己的習慣和方式進行教學。

甲教師和丁教師同時呈現兩種解方程的不同方法，然后讓學生自己選擇方法解題，據他們反映，學生喜歡用四則運算的意義解方程，利用等式性質解方程因書寫麻煩而被學生舍去。

乙教師有三十多年的教齡，教學經驗豐富，工作很負責，且做事嚴謹，重視利用四則運算的意義解方程。她的課訓練強度較大，對于用等式性質解方程屬于任務式教學。

丙教師（我）在教學中強調用等式性質解方程，重視等式平衡原理的應用，在學生基本掌握等式性質解方程后，也進行用四則運算的意義解方程的教學（但現在回顧起來覺得練習度不夠，對未知數在減數和除數位置上的方程干預太遲），同時把兩者進行了有機的結合。如在解方程2x-20=4時，我做了以下這樣的銜接。

2x-20+20=4+20（方程左右兩邊同時加上20，用來消去左邊的“-20”，但是為了書寫簡便，我不要求學生寫出“+20”，甚至前面的“-20”也可以省略）

2x=4+20（利用等式性質思考解題過程，同時通過觀察，可以解釋為“被減數=差+減數”）

x=24÷2（方程左右兩邊同時除以2，用來消去左邊的“×2”，還可以解釋為“因數=積÷另一個因數”）

這樣練習兩節課之后，我再讓學生總結發現解方程的規律——移項規律。

方程教學后，我進行了一次后測，發現學生的錯誤明顯地烙上了教師教的痕跡，即12÷x=0.4、31.4-x=2.08這類題的錯誤率，我班學生要稍高于其他班級。這是因為我在教學解方程的第一課時沒有注意去消除學生的錯誤，而當時課堂作業本中卻出現了類似12÷x=0.4的方程，學生因為平衡原理的慣性影響，在解題時出現了不少錯誤。但是類似ax+（-）b=c的稍復雜的方程，我所教的班級學生錯誤很少，特別是3.4x-9.8=1.4x+9這類題，我班學生的錯誤率要遠遠低于其他班級，如我班學生的錯誤率是9.3%，另一個班級學生的錯誤率是40%。同樣，在期初摸底檢測中有解方程3×6+2x=40一題，我班沒有一個學生出現錯誤，正確率居然達到了100%。在去年期末檢測中，我班學生解方程的錯誤率只有4.7%，也明顯低于其他班級。這是因為利用等式性質解方程避免了學生死記硬背，給學生帶來方便，尤其是解復雜的方程更顯示出優越性。例如，盈虧問題中所列的方程，我班學生基本能解出來，而另外班級的學生在解題時明顯失去了方向，因而也產生了許多錯誤。

正因為每個教師對方程教學的側重點不同，使學生出現不同的錯誤。看來，“不同的教學方法導致學生出現不同的錯誤”是一個不爭的事實。

二、學生的錯誤，可以在有效的干預中減少

學生的錯誤既然和我們的教學有關，那么我們就要想辦法進行有效干預，讓錯誤消失在萌芽狀態。根據《小學數學錯題資源庫的建設與應用》的研究計劃，我們對學生解題錯誤進行了預設，這其實是干預工作的前奏。只有充分了解學生的認知水平，了解各知識的特點，我們才能開展干預工作。以下是錯誤預設、錯因分析和提前干預的一個典型案例。

在括號里填上合適的單位名稱：一只貨運集裝箱的體積大約是70（ ）。

我所教的（2）班，62位學生中居然有40位學生填了“立方分米”，錯誤率達到63.3%。后來我調查這些學生，發現五分之三的學生知道立方米的意義，但不知道什么是集裝箱、集裝箱是干什么的；有近五分之一的學生能比劃出1立方米的大小，但沒有真正明白立方米的意義，故而填上了立方分米；其他學生則完全沒有考慮，不假思索就填上了立方分米。從這些分析可以看出，學生生活經驗的不足是導致錯誤產生的主要原因。換言之，為學生提供足夠的感性材料，可以減少學生錯誤的發生。

（2）班教學的失敗，讓我立即對（1）班的教學進行重新思考。教學中，我特別重視感性材料的運用。

1.認識1立方厘米

師（拿出1立方厘米的正方體學具）：同學們，這小立方體所占的空間就是1立方厘米，請量一量它們的棱長，發現了什么？

生1：正方體的棱長是1厘米。

生2：棱長是1厘米的正方體體積是1立方厘米。

師：生活中哪些物體的體積接近1立方厘米？

生3：骰子。

生4：我手中用剩的橡皮也接近1立方厘米。

……

師：哪些物體的體積用立方厘米作單位比較合適呢？（學生立即從文具里找出物品，一只只小手舉得高高的）

生5：橡皮接近10立方厘米。

生6：講臺上的墨水瓶盒子接近100立方厘米。

生7：我的自動筆接近7立方厘米。

……

2.認識1立方分米

師：如果老師想知道你們抽屜所占的空間有多大，用1立方厘米為標準去估量，可以嗎？

生：太麻煩了。

師：用哪一個學具比較簡便些呢？（學生自然知道是1立方分米的正方體）

師：這是一個棱長為1分米的正方體，它的體積是1立方分米。同學們，能否用1立方分米為標準去估量抽屜有多大？（得出抽屜大約是15立方分米，老師的講臺大約是800多立方分米）

師：家里哪些物體的體積也適合用立方分米作單位？

生：微波爐、熱水瓶、洗衣機、電視機的體積都可以用立方分米作單位。

3.認識1立方米

（師徑直走向前門，在角落處量出棱長是1米的正方體空間，讓學生站入里面看看可以容納幾個人，學生一數共有9位，然后讓學生估一估教室大約有多少立方米）

師：生活中還有哪些物體的體積用立方米作單位比較合適？

生：房子的空間，車廂的空間，倉庫的空間……

師：那么，集裝箱的體積用什么作單位呢？

……

平時（1）班學生不管是學習能力，還是基礎知識都明顯落后于（2）班學生，兩個班平時考試的平均分相差5～8分左右，但本題（1）班的錯誤率只有9.3%，且發生錯誤的五位學生都是學困生，明顯低于（2）班63.3%的錯誤率。其實，兩個班的教學方法基本相同，只是利用感性材料的程度不同，即讓（1）班學生有充分的時間尋找感性材料，特別是大體積的物體。居然這么一點干預，就產生了如此之大的差異。

后來，我發現教材練習中也有這么一道題，但它是以圖片的方式呈現，結果我發現（1）班學生的正確率還是高于（2）班。雖然我對（2）班已經在課后重新擴充感性材料，但畢竟是后補的教學，沒有獲得像（1）班那樣渾然一體的課堂效果。所以說，最有效的課堂學習是最成功的！等學生發生錯誤，再去彌補就費力了。這又讓我明白了學生的錯誤是可以進行有效干預的，最理想的干預是讓學生的錯誤消失在萌芽狀態。

三、有效干預的關鍵，在于教師的精講

學生的錯誤是不可避免的。面對學生的錯誤，教師不僅習慣從學生中找原因，如學生的認知能力低下、學習品質不良等，還習慣從教材中找原因，如教材與練習不配套、知識板塊編排不合理等，就是不愿承認自身的教學缺陷。其實，教學一線的教師心里都亮堂著：一堂準備充分的課，帶給學生的是高效率的學習！

許多錯誤確實來自學生本身，如有的是因為審題欠仔細出錯；有的是因為書寫習慣不好出錯；有的是因為認知水平偏下，無法建構新的知識系統，導致沒有掌握新知識，更不會解決問題……雖然教材也是導致學生出錯的一個原因，但正如葉圣陶先生所說的那樣“教材無非是一個例子，是一個方向，是一個學習方案，是一種思維方法”。將文本中通用的課程轉化為課堂上具體鮮活的課程，需要教師對教材進行必要的加工和重組，才能變為學生快樂學習的材料。從這個角度來說，這里的關鍵還是教師本身。

一句話，不管是學生自身的因素，還是教材的因素，教師是決定因素。在學生把教材知識內化為自己的知識經驗中，教師擔負著橋梁作用，因為教師的引領關系到學生能否真正形成新的知識系統，關系到他們是否能建立起新舊知識的連接點，所以對學生錯誤進行有效干預的關鍵在于教師。教師能否讓自己的精講與學生的巧練有機結合，促進學生對知識的有效建構呢？課堂教學中，教師的精講有以下幾個途徑。

1.從課程的角度把握教材

教師要認真研究教材，對整個小學數學知識體系做到心中有數，特別是要熟悉各知識間的縱向聯系和橫向聯系，為創造性地使用教材提供方向。

2.從學習的角度明確教學重、難點和學生易錯點

教師應吃透每一節課的內容，分析課中的教學重點和難點，不僅要把本節課的作業親自演練一次，預設學生可能發生的錯誤，而且要把這些錯誤提前進行分解，讓這些知識難點在課堂上得到有效突破。這樣可為學生搭建起一座新舊知識溝通的橋梁，讓學生的錯誤消失在萌芽狀態。

3.從動態生成的角度及時干預

在課堂教學過程中，教師要善于捕捉信息，抓住學生即時生成的典型錯題，及時干預、補救，讓錯題成為寶貴的教學資源。

4.從認知強化的角度設計練習

教師要依據認知的心理規律和學生的實際情況設計練習，達到“解一題，帶一串，學一塊”的效果，使學生在練習中感悟解題方法，掌握基本技能，提高解決問題的能力。

5.從教學反思的角度剖析學生的錯誤

教師對學生產生的錯誤要及時分析，研究對策，把握各類題訓練的實質。同時，教師要善于積累學生的典型錯例，每節課后做好隨堂錯例的記錄，為下一次的干預提供材料。

當然，教師的精講固然重要，但也離不開學生的巧練。這里的巧練，不是指簡單機械的重復訓練，而是指教師根據學生錯例精心設計的題組訓練，讓學生不斷深入領悟這些知識的內涵。例如，對“爸爸體重A千克，比小東體重的3倍少15千克，小東的體重是（ ）千克”一題的解答，我校乙教師任教班級的43位學生中只有7位學生出現錯誤，究其原因，是乙教師對這道題進行了多方面的練習。我自己雖然也對這道題進行了精講，但是因為練習度不夠，學生的正確率不高。在五年級期初摸底檢測中，我發現以前教學時學生錯誤率較高的題目，在檢測中卻已經不存在問題了，錯誤率都基本降低到10%以下，這說明有效練習是減少學生錯誤的必要手段。

通過實踐，我覺得巧練要抓好以下幾個環節。

第一，加強審題訓練。

學生很大一部分作業錯誤來自于審題不仔細，所以加強學生的審題訓練是減少學生錯誤的一個有效辦法。特別是在應用性練習中，因為條件繁多，學生往往容易疏忽其中的條件，從而導致解答出錯。課堂教學中，我要求學生至少讀兩次題目，第一次讀，讀清里面的故事情節，即條件和問題；第二次讀，讀出題目的信息（隱含的信息）告訴了我們什么，然后回顧題目，在頭腦中構建出此類題目的解法，如說出解題方案，先解決什么，再解決什么。

第二，精心設計題組練習。

從鞏固新知的基本練習，到突破教學重、難點的應用練習（主要是學生的易錯題，所以要環繞著教學重、難點來設計），再到發展學生能力的拓展練習，一環扣一環，讓學生通過練習熟練掌握新知，同時感悟到學習這些知識的必要性。因為一節課的時間有限，所以一般分兩節課完成這樣的練習任務。

練習題的設計應遵循艾濱浩斯的遺忘規律，運用“先多后少，先快后慢”的策略，讓學生逐漸鞏固所學知識。如一節新課學習后跟著上一節練習課，學完下一知識點后連帶復習上節課的有關知識，再在單元練習中進行鞏固，這樣學生基本上能正確掌握這一知識內容了。有關練習強度我也曾經做過研究，發現一個新的知識點對于學生來說，需要練習到一定的量，才能產生從量變到質變的轉化。這個量需要根據學生的實際情況而定，但是對于一般學生來說，不少于6～8題。

第三，培養學生良好的作業習慣。

學生作業中常出現抄錯、看錯等現象，還有因為書寫版面凌亂，造成解答混亂等問題，所以我要求學生作業書寫整齊的同時，注重書寫版面的設計，做完作業必須檢查一次后再上交。

總之，學生是千差萬別的，學生錯例研究的道路也是漫長而曲折的。在林林總總的學生錯題里，我們教師還要去求索，哪怕是“衣帶漸寬人憔悴”。我相信總會有“驀然回首，卻在燈火闌珊處”的頓悟，也期待課題研究成功給我們帶來“叢中笑”的那份喜悅。

（責編杜華）

G623.5

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1007-9068（2016）29-023