“中垂三角形”的三邊數(shù)量關(guān)系探究

范宏祥

（桐廬縣富春江初級(jí)中學(xué)）

“中垂三角形”的三邊數(shù)量關(guān)系探究

范宏祥

（桐廬縣富春江初級(jí)中學(xué)）

一、試題呈現(xiàn)

1.（江西2015年中考第24題）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.

圖1

圖2

圖3　

圖4

［特例探索］

如圖2，當(dāng)∠ABE=30°，c=4時(shí)，a=_____，b=_____；

［歸納證明］

（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，請(qǐng)利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

［拓展應(yīng)用］

（3）如圖4，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=，AB=3.求AF的長(zhǎng).

2.考題解答

圖5　

圖6

如圖，AB=c，AC=b，BC=a，中線AE、CD互相垂直

求證：a2+c2=5b2

證明：設(shè)AO=2m，CO=2n，則OD=n，OE=m

∵CO⊥AE

∴在Rt△AOD和Rt△COE中，

將②代入①得

∴5b2=c2+a2

［規(guī)律應(yīng)用］

連結(jié)AC，連結(jié)點(diǎn)F和AB的中點(diǎn)H

∵點(diǎn)E、G、H、F分別為AD、DC、AB、BC的中點(diǎn)

∴EG//AC//HF

∵BE⊥EG

∴HF⊥BE

又∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)

∴△ABF為中垂三角形.

二、“中垂三角形”尺規(guī)作法

作法1：（1）AD為斜邊作.

（2）延長(zhǎng)AO至E，使AO=2OE，延長(zhǎng)DO至C，使CO=2OD.

（3）連結(jié)AC，連結(jié)CE、AD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)B.

三角形ABC就是所求作的中垂三角形.

作法2：（1）作線段AE并三等分AE，O為一個(gè)三等分點(diǎn)

使AO=2OE.

（2）過點(diǎn)O作CO⊥AE，使CO=2OD.

連結(jié)AC，連結(jié)AD、CE并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)B.

2.“直角中垂三角形”的作法

在任意中垂三角形基礎(chǔ)上，作直角中垂三角形首先確定哪個(gè)角可能是直角.∠B可以排除，不可能為直角.若∠B為直角，則∠CEA為鈍角，在Rt△COE中，不可能出現(xiàn)鈍角.所以只需讓∠A或∠C成為直角即可.若∠C為直角則CO為斜邊上的高線，由射影定理可得CO2=AO×OE，即只要作出AO和OE的比例中項(xiàng)CO.

作法：（1）作線段AE并三等分AE，O為一個(gè)三等分點(diǎn)使AO=2OE.

（2）過點(diǎn)O作CO⊥AE，以AE為直徑作圓，交OC點(diǎn)C.

（3）延長(zhǎng)CO到D，使CO=2OD.

連結(jié)AC，連結(jié)CE、AD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)B.

三角形ABC就是所求作的直角中垂三角形.

3.“直角中垂三角形”的三邊數(shù)量關(guān)系

Rt△CEA中

“中垂三角形”是一個(gè)新定義的概念，它來自于中線相互垂直這樣一個(gè)組合型的特定條件，是基于兩個(gè)已有概念基礎(chǔ)之上的.這樣一個(gè)符合新概念的三角形也會(huì)有它的一些性質(zhì)，本文就“中垂三角形”的三邊數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了探究，就文章深度來說不夠，只是希望在未知的領(lǐng)域有一些推進(jìn)，只能算是拋磚引玉.

·編輯薄躍華