考慮剪脹效應的混凝土動態球形空腔膨脹理論

張欣欣,閆雷,武海軍,黃風雷

(1.北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室,北京100081; 2.山東特種工業集團有限公司,山東淄博255201)

考慮剪脹效應的混凝土動態球形空腔膨脹理論

張欣欣1,閆雷2,武海軍1,黃風雷1

(1.北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室,北京100081; 2.山東特種工業集團有限公司,山東淄博255201)

在考慮混凝土的壓縮和擴容特性條件下,建立了動態球形空腔膨脹理論,其中完整的靶體響應為密實區-擴容區-開裂區-彈性區,在擴容區采用擴容方程。基于上述理論得到了空腔表面應力與膨脹速度的表達式,使用侵徹方程計算不同工況的侵徹深度并與試驗值作對比,同時對混凝土強度參數和壓縮系數對彈體侵徹深度的影響規律進行研究。結果表明:該模型可以較好預測侵徹深度,具有一定的合理性;混凝土強度參數中壓力硬化系數對侵徹深度的影響較大,隨著彈體初速度增大應考慮混凝土材料的剪切飽和性質;隨著壓縮系數不斷減小,混凝土材料由壓縮轉為膨脹狀態,導致空腔表面應力增加,侵徹深度降低。

兵器科學與技術;混凝土;球形空腔膨脹理論;剪脹效應;侵徹

DOI:10.3969/j.issn.1000-1093.2016.01.007

0 引言

空腔膨脹理論是一種最基本的理論方法用來求解侵徹過程中彈體表面的受力情況。空腔膨脹理論最初由Bishop等[1]提出,他們于1945年建立了準靜態空腔膨脹理論,用于研究錐形頭部沖桿的受力。之后Goodier[2]最先把該理論應用于彈體侵徹上,通過一系列合理的假設,對球形空腔膨脹理論進行修改,得到了球形彈體在靶體中總阻力,再由運動方程得到了侵徹規律。Forrestal等[3]對可壓縮彈塑性靶體進行球形空腔膨脹分析,得到了空腔表面應力與膨脹速度之間的關系,其中靶體采用線性靜水壓力-體積應變關系以及Tresca屈服準則,靶體響應為塑性區-彈性區。Forrestal等[4]采用線性靜水壓力-體積應變關系及帶拉伸破壞的Mohr-Coulomb屈服準則對混凝土的球形空腔膨脹進行研究,得到了可壓縮及不可壓縮情況下空腔表面應力和膨脹速度的關系式。Satapathy[5]在文獻[3-4,6-7]的研究基礎之上采用Mohr-Coulomb屈服準則對陶瓷材料進行了球形空腔膨脹分析。李志康等[8]在前人研究成果的基礎上,基于簡化后的Holmguist-Johnson-Cook三段式靜水壓力-體積應變關系以及Mohr-Coulomb Tresca-limit屈服準則建立了比較完備的空腔膨脹模型。

上述文獻中描述混凝土的靜水壓力和體積應變的方程均為壓縮方程,而在混凝土試件的三軸壓縮試驗中可觀察到混凝土的剪切擴容現象,即隨著靜水壓力的增大,混凝土體積呈現膨脹狀態。

Thomas等[9]分別采用不同的加載路徑(靜水壓加載,三軸加載,比例加載)對混凝土實際變形進行試驗,由試驗結果可得,混凝土材料在靜水壓加載情況下,所受各向應力均相等,材料一直呈現壓縮狀態,但在三軸加載時,隨著偏應力的出現并逐漸增大混凝土材料會由壓縮轉向膨脹狀態。Xuan等[10]分別對不同飽和度的混凝土進行三軸試驗,結果顯示,材料在偏應力的作用下會出現剪脹現象,并且壓縮-擴容的轉折應力點和材料的屈服極限相近。He等[11]和Guo等[12]分別建立了考慮混凝土剪脹效應的動態球形和柱形空腔膨脹模型,該模型采用彈性-開裂-密實分區,并且在密實區引入擴容方程,使用該模型計算得到的侵徹深度值和試驗結果較符合,表明模型具有一定合理性。

由文獻[13-14]可得,在較高靜水壓加載下,混凝土靶體擴容特性消失,只呈現壓縮狀態。因此本文在上述研究的基礎上,同時考慮混凝土材料的壓縮和擴容特性,建立了動態球形空腔膨脹模型,將靶體分為密實區、擴容區、開裂區以及彈性區,在擴容區采用擴容方程,在密實區采用壓縮方程,得到空腔表面徑向應力和膨脹速度的擬合表達式,利用侵徹公式對卵形彈體的侵徹深度進行計算并與試驗值作對比,同時研究混凝土強度參數及壓縮系數對侵徹深度的影響規律。

1 球形空腔膨脹理論

本文在前人研究的基礎上,同時考慮混凝土的壓縮及擴容特性,形成新的空腔膨脹理論。該模型具有彈性區、開裂區、擴容區以及密實區,空腔膨脹分區形式如圖1所示。

圖1 動態球形空腔膨脹分區示意圖Fig.1 The regions of dynamic spherical cavity expansion

在Euler坐標系下,球形空腔膨脹的質量守恒和動量守恒方程分別為

式中:ρ表示混凝土材料密度(混凝土為可壓縮材料,密度可變);v表示質點速度;r表示徑向坐標;t為時間。

在動態球形空腔膨脹的過程中,各個響應區域的交界面上需要滿足Hugoniot間斷條件。質量和動量守恒形式的Hugoniot間斷條件為

式中:ρ+、ρ-分別為波前、波后介質的密度;v+、v-分別為波前、波后介質的質點速度;cn為波陣面速度; σ+、σ-分別為波前、波后介質中的正應力。

1.1 彈性區

彈性區的混凝土材料可以用經典的Hooke定律描述,球坐標下徑向和周向應力為

式中:E表示混凝土的楊氏模量;ν表示泊松比;u表示質點位移。將上面兩式代入到方程(2)式中可得

式中:cd是混凝土的彈性體積波波速,

引入相似變換:

式中:c1表示彈性區與開裂區的界面傳播速度。則(7)式可由(9)式變化為常微分方程

解上述常微分方程可得通解形式:

已知彈性波陣面處的質點位移為0,且彈性區與開裂區界面處的周向應力等于混凝土材料的抗拉強度-f,因此有

將邊界條件(13)式代入(12)式和(6)式可解得

1.2 開裂區

在開裂區,混凝土材料處于周向應力為0的狀態,可以認為混凝土材料在徑向處于無圍壓壓縮的彈性狀態。則(2)式變為

由于材料處于無圍壓彈性狀態,徑向應力可以表示為

代入(15)式可得到偏微分方程

引入相似變換

將(17)式變為常微分方程

方程(20)式的通解為

彈性區與開裂區在界面處有位移連續條件,無量綱位移關系如下:

徑向應力在開裂區與擴容區的界面處應當等于混凝土材料單軸抗壓強度f＇c:

將邊界條件(23)式代入到(21)式中可得

由(5)式,(12)式和(14)式可求得彈性區與開裂區界面處,位于彈性區一側的質點速度、徑向應力以及體積應變:

同理,由(16)式,(21)式和(24)式可以求得該界面開裂區一側的徑向應力與體積應變:

將上述界面處物理量代入彈性區與開裂區界面處的Hugoniot跳躍條件,可以得到如下等式

1.3 擴容區

在擴容區使用擴容方程[11,13]如下所示:

在擴容區材料滿足Mohr-Coulomb屈服準則:

式中:τ0為混凝土的粘聚強度;λ為硬化系數;p=為靜水壓力。

積分(31)式,并且取邊界條件v(c2t,t)=v3,可得

式中:v3為擴容區和開裂區交界處擴容區一側的質點速度;k為壓縮系數,由文獻[13]可得,當k=2時,材料處于不可壓縮狀態;當k＞2時,材料處于壓縮狀態;當k＜2時,材料處于膨脹狀態。因此在擴容區有k＜2.

將(33)式代入到(1)式中,可得

在擴容區有相似變換:

由(34)式、(35)式聯立可得

式中:ρχ為積分常數。當ξ3=δ時,ρ=ρ3;當ξ3=1時,ρ=ρ4.將此條件代入到(37)式中可得

由(33)式可得

將(32)式和(39)式代入到(2)式中經化簡可得

由(16)式,(21)式和(24)式計算可得,開裂區和擴容區交界處開裂區一側的質點速度、徑向應力、體積應變及密度分別為

式中:ρ0為混凝土初始密度。

由Hugoniot間斷條件可得,開裂區和擴容區交界處擴容區一側的質點速度和徑向應力分別為

式中:v*2=v2(ξ2=1);σ*2=σ2(ξ2=1).

1.4 密實區

在密實區采用Tresca屈服準則:

在密實區的壓縮方程為

式中:η為體積應變;Kl為密實段體積模量;pl為密實區初始壓力;ηl為密實區初始體積應變。

由(47)式和(48)式聯立,并引入相似變換:

則質量守恒方程(1)式和動量守恒方程(2)式可以變換為

式中:

由Hugoniot間斷條件可得,擴容區和密實區交界處密實區一側的質點速度和徑向應力分別為

式中:

由于沒有后續的區域出現,ξ4=1僅代表空腔邊界,所以邊界條件為

2 空腔表面徑向應力及界面速度計算結果

由文獻[14]可得,對于混凝土材料,擴容區內壓縮系數取值范圍為1.24＜k＜2,根據文獻[11,13]本文計算k取1.8.對于無約束抗壓強度為48 MPa的混凝土,采用文獻[15]中所提出的混凝土本構模型參數,并根據本文推導的空腔膨脹理論公式,運用Matlab程序對空腔膨脹過程中的徑向應力和膨脹速度的關系及區域界面速度進行數值計算,計算結果如圖2和圖3所示。

由圖2可得,空腔表面徑向應力隨著壓縮系數k值的減小而增大,當k值逐漸減小時,混凝土材料由壓縮轉為膨脹狀態,因此空腔表面徑向應力增大。

由圖3可得,當空腔邊界膨脹速度較低時,靶體響應為彈性-開裂-擴容分區,隨著空腔邊界膨脹速度逐漸增大,密實區出現,開裂區消失。

圖2 無量綱空腔膨脹邊界徑向應力與膨脹速度計算結果Fig.2 The relation between dimensionless cavity stress and expansion speed

圖3 動態球形空腔膨脹區域界面傳播速度(k=1.8)Fig.3 The speed of region boundary in spherical cavity expansion(k=1.8)

采用二次多項式對圖2中曲線進行擬合可得如下函數關系:

式中:a1,a2,a3為擬合參數。

3 剛性彈體侵徹計算等式的驗證比較

圖4為本文及文獻[11]中理論計算值和文獻[16]中試驗數據對比,其中彈體質量為13 kg,直徑為0.076 2 m,靶體參數參考文獻[15]。由圖4可得,兩種理論計算結果較為接近,并均與試驗數據吻合較好。對于頭部卵形系數CRH=6的彈體,使用本文理論模型計算得到的侵徹深度更加接近試驗值。

圖5和圖6分別為本文及文獻[11]中理論計算值和文獻[17-18]中試驗數據對比,圖5中彈體質量為0.9 kg,直徑為0.269 m,圖6中彈體質量分別為0.48 kg和1.60 kg,直徑為0.203 m和0.305 m,彈體頭部卵形系數CRH=3.0.靶體參數參考文獻[15]。由圖5、圖6可得,兩種理論計算結果均與試驗數據吻合較好。當彈體初速較小時,靶體處于擴容狀態,因此兩種計算模型所得結果較接近。對于無約束抗壓強度分別為36.2 MPa和51.0 MPa的混凝土靶體,隨著彈體初速增大,本文理論計算值明顯大于文獻[11]中計算值,原因在于高速工況下靶體出現密實區,混凝土呈現壓縮狀態,從而導致空腔表面應力相比擴容狀態有所下降,而強度為96.7 MPa混凝土的侵徹深度計算結果則較為接近,表明混凝土無約束抗壓強度對侵徹深度計算有較大影響,和文獻[11,19-20]中結果類似。相比文獻[11]中理論模型,本文模型可以較好描述高速情況下混凝土侵徹機理,具有更廣的適用性。

圖4 侵徹深度等式計算結果與試驗數據[16](k=1.8)Fig.4 The comparison of calculated and experimental penetration depths[16](k=1.8)

圖5 侵徹深度等式計算結果與試驗數據[17](k=1.8)Fig.5 The comparison of calculated and experimental penetration depths[17](k=1.8)

圖6 侵徹深度等式計算結果與試驗數據[18](k=1.8)Fig.6 The comparison of calculated and experimental penetration depths[18](k=1.8)

4 混凝土材料強度參數及壓縮系數對剛性彈體侵徹深度的影響

以文獻[15]中無約束抗壓強度為48 MPa混凝土模型參數為參考,通過對混凝土強度參數和壓縮系數分別取值來計算單個參量對彈體侵徹深度的影響規律,計算結果如圖7所示。其中彈體長度為0.3 m,直徑為0.03 m,彈體密度為7 850 kg/m3,頭部卵形系數CRH=3.0.

由圖7(a)～圖7(c)可得,侵徹深度隨著混凝土各強度參數的增大而減小。壓力硬化系數和粘聚強度在整個速度范圍內對侵徹深度均有影響,并且壓力硬化系數影響較為顯著。最大剪切強度在彈體初速較低時影響不大,隨著初速增大,靶體出現密實區,應考慮混凝土材料的剪切飽和性質,與文獻[5,8]中結論一致。

由圖7(d)可得,侵徹深度隨著壓縮系數減小而減小,即隨著壓縮系數的減小,混凝土材料由壓縮轉為膨脹狀態,增加空腔表面應力,從而減少侵徹深度。

圖7 混凝土材料強度參數及壓縮系數對侵徹深度的影響Fig.7 The influences of concrete strength and densification parameter on the depth of penetration

5 結論

本文同時考慮混凝土的壓縮和擴容特性,建立了動態球形空腔膨脹理論,其中完整的靶體響應為密實區-擴容區-開裂區-彈性區,基于上述理論得到了空腔表面應力與膨脹速度的表達式,使用侵徹方程計算不同工況的侵徹深度并與試驗值作對比,最后對混凝土強度參數和壓縮系數對彈體侵徹深度的影響規律進行研究。可得如下結論:

1)由計算結果可得,本文所提模型可以較好預測侵徹深度,具有一定的合理性。

2)混凝土強度參數中壓力硬化系數對侵徹深度的影響較大,最大剪切強度在彈體初速較低時影響較小,隨著彈體初速增大應考慮混凝土材料的剪切飽和性質。

3)隨著k值的不斷減小,混凝土材料由壓縮轉為膨脹狀態,導致空腔表面應力增加,侵徹深度降低。

References)

[1]Bishop R F,Hill R,Mott N F.The theory of indentation and hardness[J].Proceedings of the Physical Society,1945,57(3): 147-155.

[2]Goodier J N.On the mechanics of indentation and cratering in solid targets of strain-hardening metal by impact of hard and soft spheres[C]//Proceedings of the 7th Symposium on Hypervelocity Impact.Tampa,FL,US:AIAA,1965:215-219.

[3]Forestal M J,Luk V K.Dynamic spherical cavity-expansion in a compressible elastic-plastic solid[J].Journal of Applied Mechanics,1988,55(2):275-279.

[4]Forrestal M J,Tzou D Y.A spherical cavity-expansion penetration model for concrete targets[J].International Journal of Solids Structure,1997,34(31/32):4127-4146.

[5]Satapathy S.Dynamic spherical cavity expansion in brittle ceramics[J].International Journal of Solids Structure,2001,38(32/33):5833-5845.

[6]Longcope D B,Forrestal M J.Penetration of targets described by a Mohr-Coulomb failure criterion with a tension cutoff[J].Applied Mechanics,1983,50(2):327-333.

[7]Forrestal M J,Luk V K.Penetration into soil targets[J].International Journal of Impact Engineering,1992,12(3):427-444.

[8]李志康,黃風雷.混凝土材料的動態空腔膨脹理論[J].爆炸與沖擊,2009,29(1):95-100.LI Zhi-kang,HUANG Feng-lei.A dynamic spherical cavity-expansion theory for concrete materials[J].Explosion and Shock Waves,2009,29(1):95-100.(in Chinese)

[9]Thomas G,Yann M,Laurent D.Triaxial behaviour of concrete under high stresses:influence of the loading path on compaction and limit states[J].Cement and Concrete Research,2008,38(3):403-412.

[10]Vua X H,M Y,Daudevillea L,et al.Experimental analysis of concrete behavior under high confinement:effect of the saturation ratio[J].International Journal of Solids and Structures,2009,46(5):1105-1120.

[11]He T,Wen H M,Guo X J.A spherical cavity expansion model for penetration of ogival-nosed projectiles into concrete targets with shear-dilatancy[J].Acta Mechanica Sinica,2011,27(6): 1001-1012.

[12]Guo X J,He T,Wen H M.Cylindrical cavity expansion penetration model for concrete targets with shear dilatancy[J].Journal of Engineering Mechanics,2013,139(9):1260-1267.

[13]Nikolaevskij V N.Mechanics of porous and fractured media [M].Singapore:World Scientific,1990.

[14]Vermeer P A,de Borst R.Non-associated plasticity for soils,concrete and rock[J].HERON,1984,29(3):1-64.

[15]Holmquist T J,Johnson G R,Cook W H.A computational constitutive model for concrete subjected to large strains,high strain rates,and high pressures[C]//14th International Symposium on Ballistics.Quèbec,Canada:ADPA,1993.

[16]Forrestal M J,Frew D J,Hickerson J P,et al.Penetration of concrete targets with deceleration-time measurements[J].International Journalof Impact Engineering,2003,28(5):479-497.

[17]Forrestal M J,Altman B S,Cargile J D,et al.An empirical equation for penetration depth of ogive-nose projectiles into concrete targets[J].International Journal of Impact Engineering,1992,15(4):395-405.

[18]Forrestal M J,Frew D J,Hanchak S J,et al.Penetration of grout and concrete targets with ogive-nose steel projectiles[J].International Journal of Impact Engineering,1996,18(5): 465-476.

[19]Wen H M,Xian Y X.A unified approach for concrete impact [J].International Journal of Impact Engineering,2015,77: 86-96.

[20]Wen H M,Yang Y.A note on the deep penetration of projectiles into concrete[J].International Journal of Impact Engineering,2014,66:1-4.

A Note on the Dynamic Spherical Cavity Expansion of Concrete with Shear Dilatancy

ZHANG Xin-xin1,YAN Lei2,WU Hai-jun1,HUANG Feng-lei1
(1.State Key Laboratory of Explosion Science and Technology,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China; 2.Shandong Special Industry Group Co.Ltd,Zibo 255201,Shandong,China)

Considering the compression and dilatation of the concrete,a model of dynamic spherical cavity expansion is constructed,where the complete response of target is densification region-dilatation regioncrack region-elastic region,and the dilatant-kinematic relation is used for the dilatation region.The expression of cavity stress and expansion speed is obtained with the theory above,and the depths of penetration in different conditions are calculated.The effects of the concrete strength and dilatation on penetration depth are analyzed.The results indicate that the proposed model is reasonable to predict the depth of penetration;the stress hardening parameter has a great influence on the depth of penetration,and the shear saturation should be considered with the increase in the projectile volecity;with the decrease in the densification parameter,the condition of the concrete turns into dilatation from compression,resulting in the increase in cavity stress and the decrease in depth of penetration.

ordnance science and technology;concrete;dynamic spherical cavity expansion;shear-dilatancy;penetration

O385

A

1000-1093(2016)01-0042-08

2015-06-24

國家自然科學基金項目(11390362、11572048);國防基礎科研項目(B1020132071)

張欣欣(1987—),男,博士研究生。E-mail:xxwade2020@163.com;武海軍(1974—),男,教授,博士生導師。E-mail:wuhj@bit.edu.cn