基于狀態轉移矩陣的航天器多脈沖懸停方法

程博，袁建平，馬衛華

1.西北工業大學 航天學院，西安 7100722.北京宇航系統工程研究所，北京 100076 3.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072

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基于狀態轉移矩陣的航天器多脈沖懸停方法

程博1,2,3，袁建平1,3,*，馬衛華1,3

1.西北工業大學 航天學院，西安 7100722.北京宇航系統工程研究所，北京 100076 3.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072

基于航天器相對運動的狀態轉移矩陣描述，研究了空間相對懸停的多脈沖控制方法，解決了工程實踐中連續推力懸停軌道控制技術對航天器控制推進系統要求較高的難題。給出了兩航天器在圓、橢圓和雙曲線等圓錐曲線參考軌道上相對運動的狀態轉移矩陣描述。在此基礎上，定性分析了橢圓參考軌道偏心率對懸停精度的影響，推導了航天器多脈沖懸停速度脈沖控制量的計算方法。數值仿真算例顯示，該方法可有效實現一定懸停精度要求下的空間相對懸停控制，且隨著一個軌道周期內脈沖數的增加，相對懸停的效果得到提升。

航天器；相對運動；狀態轉移矩陣；多脈沖；懸停

隨著航天器在軌服務技術、深空探測技術等研究的深入推進和相關工程實踐的廣泛開展，作為其重要支撐技術的航天器懸停技術成為近年來逐漸興起的研究方向[1]。

航天器懸停是指通過力和力矩控制，使主動航天器相對目標航天器的位置始終保持不變，在目標航天器的質心軌道坐標系中，主動航天器相對目標航天器仿佛是靜止懸停于某個固定點上。主動航天器在力的作用下相對于目標航天器在一段時間內相對位置保持不變的軌道稱為懸停軌道[2]。目前國內外開展的航天器懸停技術應用研究主要有任務航天器相對小天體的懸停技術研究和任務航天器相對目標航天器的懸停技術研究[3-8]。

文獻[3]基于兩體引力模型，研究了航天器相對小行星在體固連坐標系和慣性坐標系下的懸停控制方法，并進行了懸停控制穩定性分析。文獻[4]假設太陽帆反射面積可變，給出了太陽帆在啞鈴形小行星引力場內懸停的動力學方程，并對可行懸停探測區域進行了分析。文獻[5]研究了R-bar和V-bar方向上主動航天器的懸停加速度，給出了懸停控制加速度的解析表達形式，并分析了參考軌道平面內外的懸停速度增量情況。文獻[6]推導的相對懸停控制力的解析表達式考慮了地球引力攝動的J2項影響，并對產生最大和最小控制力及燃料消耗的懸停點進行了分析。上述懸停應用研究的相對運動模型均基于連續推力條件，要求任務航天器的推進系統能夠提供大小和方向均連續可變的控制加速度。

在目前的工程實踐中，實現對航天器軌道控制推力的連續精確調節仍非常困難，因此有學者提出基于分段脈沖推力的思想，使主動航天器實現相對目標懸停的目的[2,7-8]。該方法基于線性化后的相對運動動力學解析解，計算出實現分段懸停所需要的速度脈沖大小、方向以及施加速度脈沖的時間點。文獻[7]基于C-W方程的解析解，對水滴形懸停軌道的沖量控制策略和進入方法進行了研究。文獻[8]等基于相對軌道要素的相對運動描述，給出了脈沖推力作用下的水滴懸停構型的形成機理和相關參數的影響分析。上述研究有效降低了空間相對懸停的工程實施難度，但其相對運動模型均是建立在圓或近圓參考軌道條件下，限制了懸停控制方法的應用范圍。

本文基于航天器相對運動的狀態轉移矩陣描述方法給出了航天器空間懸停的多脈沖方法，實現了脈沖推力作用下的空間懸停控制。本文給出的懸停控制方法利于工程實現，可采用具備多次啟停功能的大推力軌控發動機實現軌道機動的沖量控制[9-10]。同時，本文方法適用于圓、橢圓和雙曲線等圓錐曲線參考軌道的空間懸停任務。

1　相對懸停的軌道動力學

圖1　航天器懸停坐標系Fig.1　Coordinate system for hovering spacecraft

為了對航天器懸停的軌道動力學進行分析，首先建立主動航天器與目標航天器之間的相對運動關系，涉及的坐標系主要有J2000地心赤道慣性坐標系O-XYZ(簡稱“慣性坐標系”)和目標航天器質心軌道坐標系o-xyz(簡稱“軌道坐標系”)。如圖1所示，慣性坐標系的原點在地心O上，X軸在赤道面內指向春分點，Y軸在赤道面內與X軸垂直指向東，Z軸與X軸、Y軸構成右手正交坐標系。軌道坐標系的原點在目標航天器質心o上，x軸沿地心指向目標航天器方向，y軸在軌道平面上與x軸垂直，指向航天器的速度方向，z軸和x軸、y軸構成右手正交坐標系。

如圖1所示，在目標航天器軌道坐標系下，主動航天器相對目標航天器運動的動力學方程為[11-12]：

(1)

對于航天器的懸停任務，由于相對靜止的特點，主動航天器在目標航天器軌道坐標系中的相對速度以及相對加速度均等于零[2]，即

(2)

將式(2)帶入式(1)得：

(3)

式(3)為航天器懸停時應滿足的動力學方程，通過它可計算出實現懸停需施加在主動航天器上的控制加速度。由式(3)可以看出該控制加速度為時變的連續量。

2　相對運動狀態轉移矩陣

兩航天器相對懸停時，相對距離ρ及其分量與目標航天器軌道半徑相比為小量，故它們的模之比ρ/Rt、x/Rt、y/Rt和z/Rt的二階及二階以上項為高階小量，在進行近似計算時，可以略去。對式(1)進行簡化，略去二階以上小量后可得簡化的相對運動方程[12]：

(4)

分析方程(4)可知，求解該二階非齊次微分方程組較為復雜，且當主動航天器所受外力a為任意時間函數時，不存在一般解析解[12-13]。為得到兩航天器相對運動的解析表達形式，需要對相對運動方程(4)進行簡化和求解。

假設主動航天器不受外力作用，以自由狀態與目標航天器相對運動，可將方程(4)化成齊次形式，即

對于目標航天器，其角動量h的模為

(5)

目標航天器以開普勒軌道運行，其角動量守恒，應為常值，故由式(5)可得：

(6)

式中：k=μh-3/2，為常值參量。

應用變量代換法，將方程(4)中對時間的導數轉換成對目標航天器真近角θ的導數得：

(7)

若令ξ=1+ecosθ，則有下面等式成立：

(8)

將式(8)帶入式(7)得：

(9)

對式(9)進行變量代換：

(10)

則相對運動方程可寫成如下簡單形式：

(11)

對式(11)進行求解可得相對運動狀態的表達式[14]：

(12)

式中：J=(h/p2)(t-t0)；c=ξcosθ；s=ξsinθ；c′=-sinθ-esin(2θ)；s′=cosθ+ecos(2θ)。

由式(12)可得：

(13)

(14)

將式(14)代入Φθ表達式，并求Φθ0行列

式有：

(15)

(16)

值得注意的是，對于常見的橢圓參考軌道相對運動，其目標航天器軌道即參考軌道的幾何描述為：

(17)

分析式(17)可知，在目標航天器軌道半長軸at不變的情況下，若增大其偏心率，則目標航天器軌道半徑Rt將減小。因本文在進行相對運動動力學方程求解時進行了一階近似，舍去了ρ/Rt的二階及二階以上的小量。故在懸停距離ρ不變的情況下，增大參考軌道偏心率，將增加式(13)所描述的兩航天器相對運動的方法誤差。因此在實際工程應用中，應結合相對運動精度要求來確定狀態轉移矩陣的應用范圍。

3　基于狀態轉移矩陣的多脈沖懸停

基于第1節的推導可以得出連續推力作用下的空間相對懸停控制，但在實際的航天任務中，往往很難實現對主動航天器軌道控制推力大小和方向的連續自由控制，則兩航天器相對加速度始終為零的情況很難長時間保持。從空間懸停的基本目標出發，即實現兩航天器相對位置保持不變，舍去對相對加速度的控制，考慮采用沖量控制手段，在一個固定周期內使兩航天器相對運動始末的相對位置不變，相對速度為零。若該固定周期足夠短或滿足工程應用，則可近似認為實現兩航天器在空間的“持續”相對懸停，即兩航天器的多脈沖相對懸停。

(18)

式(18)的每個子陣均為三維方陣。則式(13)可寫成如下形式：

(19)

(20)

對于懸停的兩航天器，主動航天器相對目標航天器運動終止時刻的相對距離應與初始時刻相同。則由式(19)可得：

(21)

(22)

(23)

需要注意的是，這里的相對運動狀態均是基于式(10)變量代換之后的，實際計算時應將其轉回到目標航天器質心軌道坐標系下。

4　仿真分析

為了直觀展示本文給出的航天器多脈沖懸停方法的效果，本節給出了相關數值仿真結果。仿真中，目標航天器在橢圓開普勒軌道上飛行，其軌道參數如表1所示。

表1　目標航天器初始條件

4.1航天器多脈沖懸停

設初始時刻主動航天器相對目標航天器的位置ρ0(單位km)和速度v0(單位km/s)在目標航天器軌道坐標系下的分量分別為：

要求的理論懸停點d與兩航天器初始時刻的相對位置ρ0相同。分別選擇在一個軌道周期內進行5次、10次和20次脈沖懸停，且每次脈沖變軌時間相同。圖2給出了主動航天器相對目標航天器多脈沖懸停的相對運動軌跡的仿真結果。

從圖2可以看出，懸停脈沖數越多，相對運動軌跡越平滑，即越趨向于在懸停點的穩定懸停。同時，相對運動軌跡與懸停點之間有一定偏差，該偏差的產生是由于，本文給出的多脈沖懸停方法在計算相對運動初始時刻的速度脈沖時是以脈沖變軌初始時刻和結束時刻的相對位置相同為前提的，且基于狀態轉移矩陣的相對運動描述是在舍去了二階項的基礎上得出，與非線性表達方法相比存在方法誤差，多次脈沖變軌產生了誤差累積，于是表現出相對運動軌跡與設定的懸停點之間存在一定的偏差。但從仿真結果來看，偏差相對較小，總體可控。

圖2　多脈沖懸停相對運動軌跡Fig.2　Trajectory of the relative motion of multiple-pulse hovering

4.2參考軌道偏心率對懸停的影響

設多脈沖懸停的懸停點平均誤差為：

(24)

式中：N為懸停脈沖數；Δri為各懸停點的懸停誤差矢量。圖3給出了參考軌道偏心率e與Δr之間的變化規律。

圖3　參考軌道偏心率對懸停的影響Fig.3　Influence of eccentricity of reference orbit

從圖3可以看出，隨著目標航天器軌道偏心率e增大，Δr不斷增大，且增加的速度不斷加快。本文第2節給出的相對運動描述方法本身適用于任意偏心率橢圓參考軌道，但隨著參考軌道偏心率的增大，本文給出的多脈沖變軌方法的累積誤差及懸停點誤差積累的速度不斷增加，導致在較大偏心率參考軌道情況下，多脈沖懸停的精度有所下降。工程應用時可根據對懸停精度的要求進行綜合考慮。

5　結束語

基于航天器相對運動的狀態轉移矩陣描述方法，本文給出了航天器空間懸停的多脈沖方法，解決了基于連續推力作用的空間懸停軌道控制技術在工程實踐中對航天器控制推進系統要求較高的難題，實現了脈沖推力作用下的空間懸停控制。本文給出的空間懸停控制方法適用于圓、橢圓和雙曲線等圓錐曲線參考軌道的空間懸停任務，應用范圍廣。參考軌道偏心率會對懸停效果產生一定影響。本文建立了基于相對運動狀態轉移矩陣的懸停脈沖控制量線性計算方法，計算簡便，利于工程實現和在軌應用。

對文中給出的航天器多脈沖懸停方法進行數值仿真分析，結果顯示，在一定精度范圍內，本文方法可實現主動航天器相對目標航天器的空間相對懸停，且隨著一個軌道周期內脈沖數的增加，懸停效果得到提升。

本文給出的航天器多脈沖懸停方法推導過程中進行了一階近似，且未考慮地球引力攝動的影響，相對懸停存在一定誤差，且該誤差存在累積效應，會對懸停精度產生影響，后續應進一步研究消除相對懸停誤差的有效方法，以提升懸停精度，但對于懸停精度要求不高的工程任務，本文給出的方法具有應用價值。

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(編輯：高珍)

Spacecraft multiple-pulse hovering method based on state transition matrix

CHENG Bo1,2,3，YUAN Jianping1,3,*，MA Weihua1,3

1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China 3. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi′an 710072, China

Based on a state transition matrix, a method for spacecraft multiple-pulse hovering was presented. The relative motion dynamics model and the state transition matrix were introduced to describe the relative motion of two spacecraft in circular, elliptical and hyperbolic reference orbits. A method of achieving the orbit-transfer velocity increment for hovering was deduced using the state transition matrix. The numerical simulation shows that the proposed method can achieve spacecraft relative hovering effectively. With the increasing of impulse number, the precision of relative hovering is promoted. Moreover, the precision of relative hovering is influenced by the eccentricity of reference orbit.

spacecraft；relative motion；state transition matrix；multiple-pulse；hovering

10.16708/j.cnki.1000-758X.2016.0061

2016-03-11；

2016-06-19；錄用日期：2016-08-22；

時間：2016-09-2113:41:17

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160921.1341.001.html

程博(1983-)，男，博士研究生，cheng_bob@163.com,研究方向為飛行器動力學

袁建平(1957-)，男，教授，jyuan@nwpu.edu.cn，研究方向為飛行器設計、航天飛行動力學與控制

V412.4

A

http:∥zgkj.cast.cn

引用格式：程博, 袁建平, 馬衛華. 基于狀態轉移矩陣的航天器多脈沖懸停方法[J]. 中國空間科學技術, 2016,36(5)：81-87.

CHENGB,YUANJP,MAWH.Spacecraftmultiple-pulsehoveringmethodbasedonstatetransitionmatrix[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2016,36(5)：81-87(inChinese).