函數y=Asin（ωx+φ）的圖像及性質

安徽省太和中學　岳　峻

函數y=Asin（ωx+φ）的圖像及性質

安徽省太和中學岳峻

函數y=Asin（ωx+φ）的圖像問題有三種類型：描點畫圖（五點法）、圖像變換法（平移、伸縮、對稱）及圖像應用，特別是圖像的平移與伸縮變換，是高考常見的題型。由于三角函數的性質蘊含在其圖像中，我們在學習時須充分運用數形結合的思想，正確地讀圖、識圖、析圖、用圖，把圖像和性質結合起來，并會靈活運用。

一、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意義

例1函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分圖像如右圖所示，則函數f（x）的解析式為________。解析由圖像知f（x）的最小正周期為

二、三角函數的圖像變換

三、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的單調性

點評此類問題屬易錯題。正確解法是借助誘導公式轉化后求解，或利用復合函數的單調性規律求解。

四、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的對稱性

（2）f（x）=sin（3x-π）+1的圖像如右圖所示。

五、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性

例5求函數f（x）=sin（x-θ）（θ為參數）的奇偶性。

解析令f（-x）=f（x），則sin（-x-θ）=sin（x-θ），

此時-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），

同理，當θ=kπ（k∈Z）時，函數（fx）=sin（x-θ）（θ為參數）是奇函數。

當θ=kπ（k∈Z）時，函數（fx）=sin（x-θ）（θ為參數）是奇函數；

點評f（x）是偶函數?f（-x）=f（x）；f（x）是奇函數?f（-x）=-f（x）。探討含有參數的函數的奇偶性可以利用該性質。

六、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性

解析結合函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像特征可知，

七、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的最值

例7已知函數f（x）=sinx。若存在x1，x2，…，xm（m≥2，m∈N*）滿足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12，則m的最小值為________。

解析因為對任意的xi，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）max-f（x）min=2，

欲使m取最小值，應盡可能多地讓xi（i=1，2，…，m）取最值點。

因為0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，

|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12，

所以按照下圖所示取值即可滿足條件。

所以m的最小值為8。

點評一般來說，函數f（x）=asinx+b的值域為［-|a|+b，|a|+b］，函數f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0）的最小值為-A+b，最大值為A+b。