全面認識反函數

安徽省淮北一中　王洪洲

全面認識反函數

安徽省淮北一中王洪洲

反函數是一個較抽象的概念，而教材只給出一種描述性的定義，增加了我們理解反函數的難度。本文從反函數的有關性質、求法和巧妙應用等幾個環節入手，對反函數進行全面認識。

性質1函數y=f（x）在某一區間上存在反函數?該函數在該區間上是一一映射。

性質2原函數的圖像與其反函數的圖像關于直線y=x對稱。

性質3原函數的定義域是其反函數的值域，原函數的值域是其反函數的定義域。

性質5原函數與其反函數的單調性相同，原函數與其反函數的奇偶性相同。

一、反函數的存在問題

例1函數f（x）=x2-2ax-3在區間［1，2］上存在反函數，則a∈（）。

A.（-∞，1］ B.［2，+∞）

C.（-∞，1］∪［2，+∞） D.［1，2］

解析由性質1可知，函數f（x）=x2-2ax-3在區間［1，2］為單調函數，所以a?（1，2），故選C。

評注函數y=f（x）在這一區間上單調與其在該區間上存在反函數不等價。

二、求反函數的問題

解析求反函數有三步驟。

步驟三：對調x、y，注明反函數的定義域，

評注求反函數的“三部曲”是基礎，是理解反函數的“根”。

三、與反函數的定義域和值域有關的求值問題

例3函數f（x）=x2-1（x≥1）的反函數為y=f-1（x），則y=f-1（2）的值為（）。

解析函數f（x）=x2-1的定義域是［1，+∞），值域是［0，+∞），

選項B、D都不對。

四、與反函數圖像有關的問題

例4已知函數y=log2x的反函數是y=f-1（x），則y=f-1（1-x）的圖像是（）。

五、反函數的巧用

例5對定義在區間I上的函數g（x），記g（I）=｛y|y=g（x），x∈I｝，已知定義域為［0，3］的函數y=f（x）有反函數y=f-1（x），且f-1（［0，1））=［1，2），f-1（（2，4］）=［0，1），若方程f（x）-x=0有解x0，則x0=_______。

解析由性質1和性質3可知：

當x∈［0，1）時，f（x）∈（2，4］；x∈［1，2）時，f（x）∈［0，1）。

而y=f（x）的定義域為［0，3］，

故當x∈［2，3］時，f（x）的取值應在（-∞，0）∪［1，2］∪（4，+∞）中。

故若f（x0）=x0，只有x0=2。

A.［1，e］B.［1，1+e］C.［e，1+e］D.［0，1］

所以存在x∈［0，1］，使f（x）=x有解，

化簡為x2-x+a=ex，

令F（x）=x2-x+a，G（x）=ex，x∈［0，1］

若上式成立，則y=F（x）與y=G（x）的圖像有交點。如右圖，a即為y=F（x）與y軸交點的縱坐標，隨著a的變化，y=F（x）的圖像上下移動。數形結合可得a∈［1，e］，故選A。

在對應過程中，反函數中的變量關系與原函數發生了反向變化。反函數提供了觀察變量關系的一個新視角。對反函數知識的學習能激活發散思維，培養創新意識。