大學概率統計教學的新問題及課程內容改革

馬　健

(北京航空航天大學數學與系統科學學院, 北京100191)

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大學概率統計教學的新問題及課程內容改革

馬健

(北京航空航天大學數學與系統科學學院, 北京100191)

分析大學概率統計教學環境變化引發的三個新問題，并提出相應的課程改革方法.一是中學課改帶來的學生概率統計基礎的變化，提出以高中基礎為起點，按照知識的內在邏輯，過渡到大學內容；二是實踐中統計軟件的普及對學生提出了新要求，可結合目前的概率統計課程內容，補充相應的軟件知識和方法，以適應學生后續需求；三是信息和軟件技術的發展為教學提供了新的教學手段，可借助這些新的手段對難點問題進行理解和教學.

大學概率統計；新問題；課程內容；改革

《工科類本科數學基礎課程教學基本要求(2006年)》[1](經濟、醫學類似，下同)基于傳統的概率統計教學環境，對大學概率統計教學提出了基本要求，在這一要求下形成了目前眾多的概率統計教材，以及基于這些教材的教學體系，主要包括隨機事件與概率、隨機變量及分布、多維隨機變量及分布、隨機變量的數字特征、大數定律和中心極限定理、數理統計的基本概念、參數估計和假設檢驗八個部分.

目前，這種教學的環境已經發生了變化.

第一個變化是，隨著概率統計應用的日益普及和深入，教育部門加強了中學階段的概率統計教育，在始于2003年的中學新課程改革中，高中數學加入了不少概率統計內容，如隨機事件與概率、隨機變量及分布、隨機變量的數字特征及數理統計基本知識、假設檢驗等，即大學概率統計的部分內容在高中已經進行了學習.這導致學生學習概率統計的基礎發生了變化，但目前的大學教材[2,3]一直假設學生概率統計基礎為零.

第二個變化是，由于統計軟件的發展和普及，學生畢業之后對概率統計的需求發生了變化，運用概率統計軟件處理復雜的概率統計實際問題，成為學生必備的技能.但這一點并沒有體現在目前的教學和教材中.

第三個變化是，信息技術的發展，為教學提供了更多的手段.概率統計課程的教學可以借助一些軟件有效地進行，原有的教學中不易理解不太直觀的部分可以通過軟件工具直觀方便地展示，這為學生透徹而便利的理解課程內容提供了一種有效的手段，而目前的教學和教材沒有充分地利用這些先進手段.

上述變化之下，大學概率統計課程該如何進行改革，以適應目前概率統計教學環境和學生需求，是值得探討的問題.

1　大學概率統計教學的新問題

1.1高中課程改革帶來的學生基礎變化

隨著概率統計的廣泛應用和深入普及，高中階段也加入了不少概率統計的內容.目前的高中數學教材[4,5]是根據2003年教育部《普通高中數學課程標準(實驗)》[6]編寫，在教學內容上，概率部分包括隨機現象與隨機事件、古典概型、幾何概型、超幾何分布、二項分布、條件概率、獨立、有限離散型隨機變量及其概率分布列、均值、方差等；統計部分包括簡單隨機抽樣、樣本值、樣本、用樣本估計總體的特征等.

這些內容一直以來屬于大學概率統計內容，因此大學和高中的內容出現了不少重復.當然，這種重復不是簡單的完全相同，而是有著明顯的區別.

在教學目的上，高中主要是讓學生了解從數據的角度考慮問題的思想方法，形成數據意識，體會概率模型的作用，建立數據思維的習慣和隨機觀念，同時了解提出問題、收集數據及處理數據這一過程.而大學是系統掌握概率基本知識，掌握一般的數據處理方法，為進一步學習及應用概率解決實際問題做準備.

在教學方法上，高中主要采用案例的方式，呈現一個比較完整的概率統計過程，在這一過程中蘊含概率統計知識、思想及方法，并體現概率統計的直觀.而大學目前是通過系統的數學推導和推理，從理論角度較為全面地學習概率統計的性質和規律，及概率統計的應用.

可以看出，和新課程之前大學生概率統計的零基礎不同,新課程后大學生在學習時已經有了一些概率統計基礎，但這種基礎和大學的相應內容又有不同，因此，目前的零基礎教材不適合他們，簡單地把重復內容刪除也不適合，大學概率統計教學內容如何適應高中課程變化，是一個新問題.

1.2學生后續工作和進一步學習對概率統計需求的變化

隨著社會的發展和科技的進步，事物的隨機性被越來越多地考慮，越來越多的領域從實踐數據中取得結論.如工程技術、生物醫學、經濟金融，甚至政治、歷史及語言領域都越來越多地采用統計的方法，通過分析數據得出結論，如通過研究紅樓夢前80回和后40回一些字詞的統計規律來判斷是否為同一作者所寫.

在這些領域對數據的處理中，都需要借助相關統計軟件如SPSS、SAS及EVIEWS來完成, 處理數據的手段基本都是統計軟件.但目前的大學概率統計課程對這方面沒有涉及,導致即使學生學過概率統計課程，卻在解決實際問題中，還是無法適應需要.

這突出表現在，第一，學生可能就沒有接觸過統計軟件，軟件的基本操作沒有掌握；第二，學生可能自學了一些軟件的基本操作，但對軟件使用中的具體問題模糊不清，比如在用SPSS進行假設檢驗時，很多學生看不懂參數的意義，也不懂得參數是怎么計算得來的，當然也就無法從檢驗的結果中分析數據的特征，一般都是按照僵化的標準得出相應的結論，而不是能夠靈活的分析；第三，由于對統計軟件沒有透徹掌握，以及不具備概率統計思想，學生感覺不到目前學習的統計理論與統計軟件及統計實踐有什么樣的聯系.這三種表現給予學生的總體感受就是“學過的用不上，用上的沒學過”.

因此，在概率統計課程中引入統計工具軟件，將概率統計知識與實際工作的軟件工具有機的融合在一起，使學生不僅具有概率統計理論知識，還具有相應的實踐能力，是概率統計教學面臨的新問題.

1.3概率統計教學手段的進步

傳統的概率統計課程，主要通過板書，PPT等手段進行教學，這些手段的主要功能是表達知識，即將原本存在的知識呈現給學生.但作為一種靜態表達的方式，在某些情況下，不夠充分和透徹，如二元正態分布，傳統的板書和PPT在表達二元正態分布、邊沿分布、條件分布時，就存在一定困難，還需要借助學生的想象來補充，而想象本身也有一定難度.

但信息技術的發展，為概率統計教學提供了新的手段，目前的軟件技術如Matlab、Excel等，不僅能夠通過圖形展示概念、含義，還可以提供實驗，模擬真實的概率統計現象，不僅能推導出概率統計結論，而且能觀察到概率統計結果.這使得學生對概率統計的理解更形象、深入，因此在教學中借助相關軟件，能使教學得到更好的效果，

基于Matlab的概率統計實驗已經有了比較充分的討論，但概率統計實驗是以某一概率問題為主題，運用軟件解決和討論這一問題.如何將Matlab作為教學手段，在課堂教學中，像粉筆、黑板、PPT一樣的運用，還沒有成熟.

作為教學工具的軟件和作為統計工具的軟件不同：作為統計工具的軟件是為了進行統計工作而使用的軟件，屬于需要掌握的學習內容，如SPSS，SAS等；作為教學工具的軟件是為了更好地呈現教學內容，為了使學生更好地理解教學內容而采用的教學手段，如Matlab等.

2　大學概率統計課程內容改革

2.1適應學生基礎變化的課程內容改革

高中概率統計內容在大學概率統計教材中存在四種不同的情況，在大學概率統計教學中，對不同情況應該采用不同的處理方法：

(1)完全重復的，不必再講：有一部分概率統計內容，大學和高中教材的敘述和內涵基本是相同的，如二項分布、兩點分布等.對這部分內容，大學課程不必再進行重復.

(2)內容升華的，提升至大學層次：有一部分內容，大學的講述及內涵和高中是不一致的，高中可能只是一種直觀的表述，或者是基于高中知識可以理解的呈現，如正態分布等.對這部分內容，可以高中為基礎，通過高中內容與大學要求之間的邏輯和聯系，將知識的內涵提升至大學層次.

(3)高中沒有的，全新講解：高中沒有涉及到的，大學可按照目前教材正常教學.

(4)大學沒有的，可不講解：有一部分高中內容，大學教材沒有涉及，如獨立性檢驗.基于目前大學概率統計的要求，這部分可以不講.當然，從概率統計學科的發展看，這些內容大多反映了時代發展特別是信息技術的進步，大學生可能也是需要的，這可以在大學概率統計課綱改革中討論.

以“隨機變量及其分布”一章為例，高中與大學重復的內容有：隨機變量、二項分布、超幾何分布、兩點分布. 高中沒講的內容有：泊松分布、連續型隨機變量概念及性質、均勻分布、指數分布、分布函數、密度函數.高中已講需要提升的內容有：離散型隨機變量，已講取值有限的，需補充無限可數的；正態分布，已講密度、參數意義，未講標準正態分布性質，其分布函數與一般分布函數之間的關系，分位點.

在大學講授隨機變量及其分布一章時，需考慮以上高中基礎的三種不同情況，以高中基礎為起點，實現大學概率統計教學目標.具體來說，可按如下順序講授本章內容：由頻率分布直方圖的極限情況引出總體密度函數，討論密度函數性質；由密度函數引出隨機變量的分布函數；給出連續型密度函數的定義，均勻分布、指數分布及其分布函數；由取值有限的離散型隨機變量延伸到無限可數的離散型隨機變量，泊松分布；離散型隨機變量及其分布函數.

其他大學與高中重復較多的章包括隨機事件的概率、隨機變量的數字特征、統計總體和樣本，每章的高中基礎不同，大學概率統計教學可采用不同的教學設計，合理的過渡到大學內容的教學.

2.2適應社會需求變化的課程內容改革

社會需求的變化主要是要求學生能夠應用概率統計軟件解決實際問題.《工科類本科數學基礎課程教學基本要求(2006年)》的統計部分有兩章，即參數估計和假設檢驗，但所提要求及基于此要求的教材只涉及基本理論，與學生畢業后的實際需求不能對接，對廣為應用的統計方法及其軟件實現沒有涉及，學生往往在后續的學習和工作中不得不對這些需要的知識和技能進行自學.但由于自學的效果有限，結果常常是對概率統計的應用一知半解，對統計方法的軟件實現知其然而不知其所以然，無法將學到的概率統計知識轉化為進一步學習和工作的能力.這在統計軟件越來越普及的情形下，降低了統計的實用性，也影響了學生的統計應用能力，限制了概率統計課程功能的發揮.

因此，有必要在統計部分，加入統計軟件內容，以加強理論聯系實際、提高實際工作能力.主要的統計軟件有SPSS，SAS，EVIEWS等，這些軟件雖側重各有不同，但其與概率統計知識的聯系基本一致，都是應用基本的概率統計知識進行統計，大學不同專業方向可以根據未來需求確定具體哪一個軟件，如社會科學領域可選SPSS，經濟學可選EVIEWS等.

目前的統計軟件實驗大多是統計軟件的操作，在具體問題中一般不討論參數的來源及含義，使學生不能將軟件與概率統計知識相連接.學過一遍概率統計，還要再探索一遍統計軟件，才能真正理解和靈活運用，這就人為地割裂了概率統計知識和軟件之間的有機聯系.因此可以在大學概率統計學習中將概率統計知識與統計軟件有機結合在一起學習，在講解統計原理的同時，對照軟件可講解每個參數的來源、軟件實現和含義.

如在學習未知方差正態分布的均值參數檢驗時，便可以將SPSS與概率統計知識有機結合：

示例1：(未知方差正態分布均值的t檢驗)某磚廠生產的一批磚中，隨機的抽取10塊進行抗斷強度試驗，測得結果(單位：kg/cm2)分別為：32.56、29.66、31.64、30.00、31.87、31.03、32.78、31.52、32.45、31.94，設磚的抗斷強度服從正態分布，問：這批磚的平均抗斷強度是否為32.50 kg/cm2.

可以在提出假設之后，將數據輸入到SPSS建立數據庫文件，操作“分析-均值比較-單一樣本T檢驗(S)”，會顯示如下結果：

One-Sample Statistics

One-Sample Test

其他估計和檢驗中，也可采用類似的方法，使學生在學習的過程中既掌握理論又掌握軟件，從而在統計實踐中可以靈活運用.

2.3適應教學手段變化的課程內容改革

由于教學手段的限制，在傳統概率統計教學中，有些知識在一定的條件下，不能很充分地表達，比如中心極限定理，證明方法用到概率后續知識，所以一般教材只給出結論和解釋，學生既沒有證明，也無法驗證，只能接受和默認.但軟件的發展在一定程度上提供了解決的方法，比如在工科中廣泛使用的Matlab軟件，可以充分地呈現概率統計知識，在表達中心極限定理時，可以通過變換和的隨機變量的個數，并通過改變隨機變量的分布，觀察和的分布規律.

示例2：(中心極限定理)：均勻分布的和的分布

Matlab程序:

clear;close; K=1000;a=2;b=8;N=K;M=1000;r=unifrnd(a,b,N,M); mu0=(a+b)*0.5*N;igma0=sqrt((b-a).^2/12*N);s=(sum(r)-mu0)/sigma0; mu=mean(s);sigma=std(s);[n,x]=hist(s,mu-5*sigma:0.5*sigma:mu+5*sigma); bar(x,n/M/sigma*2,'r');hold on;h=mu-5*sigma:0.1*sigma:mu+5*sigma; t=exp(-(h-mu).^2/2/sigma^2)/sqrt(2*pi)/sigma;plot(h,t,'K'); title('中心極限定理');legend('獨立RV和','正態分布');

hold off;

結果

示例2在區間[2,8]內產生1000個服從均勻分布的隨機變量的值，計算這1000個隨機變量的和，采用模擬的方法，繪出這個和標準化之后的模擬密度圖.學生可以直觀地體驗到，同分布隨機變量的和標準化后，近似服從標準正態分布，不僅表達充分，而且生動形象深刻.

另一方面，這些軟件還帶來了一個便利，即可以模擬概率統計實驗，從而探討規律，使得這些模擬實驗成為概率統計課程的一部分.

示例3：(模擬實驗)：拋硬幣模擬實驗

Matlab程序:

N=1000;for i=1:Na=randint(1,i); sum1(i)=sum(a); P(i)=sum1(i)/i; end n=1:N;

plot(n,P);xlabel('次數n');ylabel('頻率P');

結果:

通過Matlab模擬拋硬幣，學生會觀察到，拋硬幣次數比較少時，正面向上的頻率偏離0.5比較大，但隨著拋硬幣次數的增加，正面向上的頻率越來越在0.5的附近.這樣學生不僅理解了頻率的穩定性與波動性，而且理解了這是一種統計意義上的穩定性和波動性，具體直觀、本質深刻.

類似的，還有隨機模擬蒲豐投針、擲骰子等隨機現象，這些現象基于軟件這一新的教學手段，可以得到更直觀深刻的理解.

2.4編寫新教材，反映上述調整

教材是教學內容的載體和教學活動中介，也是課程改革的基礎，將上述對教學內容的改革和調整具體體現在教材上，才能方便教學和交流.因此，在一定探索的基礎上，可以將上述課程改革內容融合統一，形成一本解決上述問題的教材.

在大學與高中內容重復的部分，主要是隨機事件與概率、隨機變量及分布、隨機變量數字特征、樣本與統計部分，可以以高中為基礎，進行新內容的展開.這需要分析大學和高中相關知識之間的關系，在目前大學要求中，哪些部分已經在中學解決了，哪些還沒有解決，已經解決的和沒有解決的知識之間是什么關系，然后在高中基礎上，編寫屬于大學學習內容的教材.

參數估計和假設檢驗部分，補充相應的軟件理論與實踐.在目前理論的基礎上，加入軟件實現的部分，將軟件和理論融為一體，使學生即掌握了統計原理，又能在實踐中應用軟件，并從理論的角度理解軟件中涉及到的參數及相應結論，從而可以靈活地使用軟件.

其他部分增加以軟件為手段的教學，特別是傳統的概率統計難點及抽象點.借助軟件的圖形功能及模擬實驗，將概率統計知識直觀化，從而變得具體易懂.

3　結論與討論

目前大學概率統計教學環境發生了三方面的變化，學生基礎、應用軟件、教學手段.為適應教學環境的變化，在大學概率統計內容上，應進行相應的變革：第一，處理好大學概率統計要求與高中課程基礎之間的關系，做到不重復，銜接合理，符合知識內在邏輯；第二，在統計部分引入統計軟件，并與理論原理形成有機整體，使得學生能在理論指導下，通過軟件解決概率統計實際問題；第三，在教學過程中引入作為教學手段的軟件，使得概率統計知識能夠更好地呈現，并能通過教學軟件，以模擬隨機試驗的方式，反映概率統計規律.

除了這些內容改革之外，隨著時代的發展，在大學概率統計課程中是否需要引入更多的統計內容，如線性回歸、方差分析等，以及教學方法上的改革，本文沒有涉及，需要進一步的討論.

[1]教育部非數學類專業數學基礎課程教學指導分委員會.工科類本科數學基礎課程教學基本要求[J]. 大學數學, 2004,(1):1-6.

[2]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數理統計(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]邢家省,馬健.概率統計教程(第1版)[M].北京:機械工業出版社,2015.

[4]教育部.普通高中數學教材(選修2-3,B版)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[5]教育部.普通高中數學教材(必修3,B版)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[6]教育部 .普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003.

(責任編校：晴川)

New Problems in College Probability and Statistic Teaching and Curriculum Content Reform

MA Jian

(School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing 100191, China)

The paper analyzes three new problems in probability and statistic teaching because of environment change, and proposes curriculum reform methods according to the problems. The first one is the change of students’ knowledge base because of the new curriculum reform in middle school, and it is proposed that college contents begin at the senior school knowledge and develop logically; the second one is that the statistic software is mixed together with current curriculum content in order to meet students’ subsequent demand; the third one is new teaching tools developed with new information and software technology should be used in college probability and statistic teaching, especially in teaching the difficult study problems.

college probability and statistic; new problem; curriculum content; reform

2016-05-08

2015年北京航空航天大學教改項目“工科概率統計教學的新問題及課程改革”.

馬健(1975— )，男，河南項城人，北京航空航天大學數學與系統科學學院講師，博士.研究方向：概率統計學.

G642.0

A

1008-4681(2016)05-0114-04