一問到底，追本溯源

丁芳

摘要："問題"是數學的心臟，在一節課中，只有課前精心設計問題，課堂善于發現問題，課后積極反思問題，才能使課堂達到高效。

關鍵詞：問題；設計問題；發現問題；反思問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2016）10-0034-02

"問題"是數學的心臟，在一節課中，只有課前精心設計問題，課堂善于發現問題，課后積極反思問題，才能使課堂達到高效。

1.課前精心設計問題

在備課的時候，教師要抓住本節課的"核心概念"，圍繞"核心概念"去設計問題，所有的問題都應該是為"核心概念"服務的。

在"正弦定理"一節課中，其核心概念就是"正弦定理"。首先對這個"核心概念"的解讀是非常重要的，下面是我的理解：

"正弦定理"的探究是對三角形中"大邊對大角"的進一步的定量的刻畫，由感性到理性的升華的過程，是對直角三角形中邊角定量關系的一個推廣的過程，是特殊到一般的一個合情推理，是對運動變化中不變規律的一個發現。

"正弦定理"的證明是將"任意三角形"化歸為"直角三角形"的一個轉化過程，是一個構建的過程，是一個進行合理分類討論的過程。

"正弦定理" 的應用是從方程的角度來理解定理，用定理可以解決兩類解三角形問題（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。對于解三角形中解的個數問題，與全等三角形的判定定理有著實證與理論的關系，從而更加深刻地理解"全等三角形的判斷定理"。

針對"核心概念"解讀，我建構了以下的問題串：

正弦定理的探究

問題1：回顧任意三角形及直角三角形中的邊角關系；猜想直角三角形的"定量"的邊角關系是否可以推廣到任意三角形？

正弦定理的證明

問題2：求證在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

asinA=bsinB=csinC

正弦定理的再探究

問題3：這樣的正弦定理asinA=bsinB=csinC是不完整的，這個比值是什么呢？

正弦定理的再證明

問題4：求證在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等且為外接圓的直徑asinA=bsinB=csinC=2R，

正弦定理的應用

問題 5：從方程的角度，正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？

（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。

（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

2.課堂善于發現問題

課堂是教師與學生共同的課堂，無論老師做好多充分的準備與預設，總是有"意外"發生，這個時候老師就要善于發現問題，通過"問題"讓學生從表像抵達本質，從誤區走向正途，只有"及時""恰當"的問題，才能使得"事半功倍"。

在《數學歸納法》一節中，當學生看完"多米諾骨牌"的實驗視頻后，提出了這樣的一個問題：要使得多米諾骨牌全部倒下的條件？有個學生答：第一塊要倒下，第二是要擺好。顯然第二個條件并沒有回答到本質上。所以我繼續追問：什么叫擺好？學生回答：相鄰的兩塊骨牌距離不能太遠。看來還得幫她推一把，我繼續問到：相鄰的兩塊骨牌距離不能太遠的目的何在？學生回答：為了保證當前一塊當下的時候，能保證后一塊倒下。這才是"多米諾骨牌"游戲的原理，即為數學歸納法中的"歸納遞推"。

在《數列的概念與簡單表示法》一節中，在問題：數列與數集有什么區別？學生回答到：數列是可重復的，是有序的；而數集是互異的，是無序的。顯然最根本的原因還未找到，于是，繼續追問：這兩個區別中哪個是最關鍵的因素呢？學生回答：有序性。當然還未結束，這個有序性正是數列成為特殊函數的的根本，所以，繼續提問：這個有序性是如何表達的呢？你可以用以前的什么知識來刻畫數列的有序性呢？即序號 與 是一個對應關系，所以數列是一個特殊的函數。

在數學課堂中，除了以上的這樣的追問，還有一種更重要的方式是通過學生在黑板上的板演來發現問題。

在《數學歸納法》一節中，當場練習了這樣一道題：

提問：請大家說說這三種做法哪些對？哪些錯？錯在何處？

學生二就是反應了學生對數學歸納法的第二個步驟即"歸納遞推的"不理解，在第二步中，不僅要證明當n=k+1猜想成立，而且一定要利用"假設"即n=k時Sk=kk+1這個條件，這樣才證明了遞推關系的成立，才使得通過步驟（1）（2）能證明對Sn=nn+1對任意的n∈N都成立。第二個"歸納遞推"本質是證明一個"若p則q"形式的命題成立，其中條件p即為：當n=k時，猜想成立；結論q即為：當n=k+1猜想成立。

在課堂上之前也強調過這個問題，有些學生不以為意，通過學生的當場練習，即使糾錯，進一步地理解"數學歸納法"的"歸納遞推"的本質。

同時，發現這個問題，教師及時補充了一道后續的練習題：

優化設計第63頁提升第5題：某個與正整數有關的命題：如果當n=k時命題成立，則可以推出當n=k+1時該命題也成立。現已知n=5時命題不成立，那么可以推出（ ）

A當n=4時命題不成立B當n=6時命題不成立

C當n=4時命題成立D當n=4時命題成立

設計意圖就是為了進一步理解"歸納遞推"中的遞推關系，讓學生掃清知識盲點，及時地"迷途歸返"。

3.課后積極反思問題

俗話說：課堂永遠是有遺憾的。每一節課上完總是有那么點缺憾，唯一能做的是積極反思，彌補缺憾。一種是自查，第二是同事的寶貴意見，第三，通過翻閱相關的論文也是一種極好的方法。

一次在閱讀張奠宙教授的教育隨筆里談到："道德經"與數學歸納法。道德經的名句：道生一，一生二，二生三，三生萬物。這豈不是中國版的自然數公嗎？品味細細道德經"和"數學歸納法"的關系，真的非常貼切。一生二，二生三，相當于數學歸納法中n=1，n=2時，命題成立的要求。而"三生萬物"關鍵是必須要每個與n有關的命題都能"生"出與n+1有關的命題，這是數學歸納法中"無限遞推"的精髓。

讀罷，猶如沐浴春風，一語道破天機。課堂已然結束，下次的"數學歸納法"必然也要讓學生們"沐浴春風"。

在教學中，作為主導者的教師，只有在每個環節提出"好的問題"才能有高效的課堂。