活動，感悟概念內涵的通道

于蓉

摘 要：“認識面積”的學習標志著學生對空間與圖形的認識從一維世界正式跨入二維世界。面與面積是不同的概念，具有不同的內涵。審視教學目標，讓學生正確、順利觸摸概念的內涵的關鍵在于活動的設計。只有聚焦概念的內涵設計數學活動，我們才會確定哪些活動不可棄，哪些活動應增加，哪些活動應擱置，才能保證學生對概念的意義形成準確而清晰的理解，后續的問題解決、認知結構的完善才會有堅實的基礎。

關鍵詞：面；面積；概念內涵；活動設計

從嚴格意義上說，“認識面積”的學習標志著學生對空間與圖形的認識從一維世界正式跨入二維世界。作為最基本的二維度量概念，面積的認識一直是研究熱點。在眾多認識面積的觀摩課中，筆者發現了一些共同現象，引發了一些思考。

之一，面和面積怎能混為一談？面和面積是不同的概念，平面上三個以上點的連接可以形成面，或者平面上線的封閉也可以形成面；面積是指面的大小。教師在教學中常說，比一比面積的大小，若將語言鋪展開來會發現語義的重復：比一比面的大小的大小。教師對面和面積概念的混淆，必然影響學生對概念的理解。

之二，重疊法和觀察法一定要出現嗎？當學生認識面積后，在比一比環節，一定會組織學生用觀察法和重疊法比較面積，而且必然經歷“能夠比較大小——不能比較大小——探索其他方法”的“三部曲”。這樣的流程看似合情合理，但是筆者注意到，能夠用觀察法和重疊法比較的圖形，大小對比通常比較明顯，既不能激發學生的思考，也沒有孕伏后續學習所需要的經驗。

之三，本節課中方格的價值怎樣體現？教師對方格的處理方式有兩種，一是直接出現，借助方格，將形的大小比較轉化為數的多少比較，二是在選擇測量工具時，提供多樣的工具讓學生進行測量，然后比較，得到用小方格最合適。從課堂效果看，直接出現方格，學生不明就里：為什么一定要用方格？對于第二種方式，如果只是告訴，意義不大，如果讓學生充分活動，學生能夠體驗到方格在比較面積中的優勢，但耗時太多，以至于學生沒有足夠的時間探究面積的內涵。

帶著這些困惑，筆者重新審視教學目標以及數學活動的設計，越發覺得學生正確、順利建立面積概念的關鍵在于活動的設計。那么，設計怎樣的活動便于學生觸摸概念的內涵呢？

為建立“面”的概念設計活動

面與面積是不同的概念，也是構成面積概念的元素。在學生認識面積之前首先要認識面。認識面要觸及三個層次：首先，面是圍成立體圖形的平面圖形；其次，面是線運動的空間；第三，面是有內外之分的。這三點依賴教師的講述是無效的，需要讓學生在活動中感悟面的內涵。

活動一：蓋印章

1. 談話：你知道什么是“面積”嗎？看來，同學們對面積有著自己的理解，我們今天就一起來研究“面積”。

2. 引導：要知道什么是面積，我們首先來認識面。觀察你的周圍，你看到了哪些面？

指出：大家看到了很多的面，這些面其實都是物體的表面。

3. 蓋印章。

談話：這是一個長方體，長方體上有面嗎？（拿出長方體和印油）我們來做一個蓋印章的游戲。教師將一個長方體的一個面印在白紙上。

問：老師印出的圖形就是長方體的一個面，還可以印出怎樣的面？請學生將長方體的6個面印在白紙上。

思考：活動中充分利用學生蓋章的豐富經驗，將長方體的面請到了白紙上，這樣出示面的過程，既可以巧妙地暗示面與厚度無關，也可以讓學生感悟到面與立體圖形之間的關系。

活動二：涂色

1. 涂出下面圖形（如圖1）的面。

2. 學生遇到問題：最后一個圖形不可以涂出它的面。

3. 追問：為什么不可以涂出它的面？

學生指出因為有缺口不知道涂到哪里，能涂出面的，必須能圈起來。

小結：當圖形有確定而完整的邊線，我們才可以確定它的面有多大。

思考：涂色的活動是讓學生意識到面是和邊線有關系的，有了確定而完整的邊線，才可以區分面的里外，確定面的區域。

活動三：鋪小棒

1. 按要求擺小棒（如圖2）。

請拿出一根小棒，在后面再接上一根，你發現什么？再擺上一根，你想說什么？接著擺呢？

2. 請拿出一根小棒，再拿出一根小棒與它并排擺放，再拿出一根，你發現什么？再接著鋪下去，你想說什么？

思考：教學中教師一般借助課件展示點動成線、線動成面的過程，由于線與點的抽象，學生難以理解，只是在欣賞這個過程。我們可以將一根小棒看作一條線段，在小棒的后面接上小棒，學生會發現線的長度在增加，如果增加小棒與它并列放，學生會發現增加的不是長度，而是逐漸出現了一個面，在操作中理解面的形成過程，讓學生對面的理解更深入。

為建立“面積”的概念設計活動

作為量的教學，面積的教學涉及3個層次：面的守恒；圖形面積與邊界線的長短有關；面積是各部分的和，是可加可減，可測量的。

活動一：破壞的圖形

出示兩個圖形，哪個圖形的面大？（兩個長方形）

學生的意見不一致。通過重疊得出兩個圖形的面積一樣大。

師：我現在搞個破壞，將圖形撕成兩部分（見圖3），學生比較。

再比較這兩個圖形，它們還一樣大嗎？有學生認為不一樣大，有學生認為還是，教師不說話，將另一部分復位。學生都認同是一樣大了。

教師繼續撕下一塊重拼，學生認為，還是一樣大。

教師在三個圖形間加上等號。

小結：一個圖形通過剪拼，得到另一個圖形，它的面積是不變的。

思考：在學生比較兩個圖形的大小時，學生常會通過剪拼的方法來比較面的大小，而實際情況是，學生的意識里并未認同這一點（邱學華老師在英國和臺灣地區小學測量概念發展的研究中，運用類似的習題，臺灣地區正確率為80.6%，英國為66.9%）。用破壞的圖形這個活動讓學生感受到位置的改變并不影響圖形的大小，感受面的守恒，為下面問題的解決孕伏經驗。