用卡爾曼濾波方法進行氫鐘鐘差預報的方法與結果

程夢飛,李　博,齊　昕

北京衛星導航中心，北京，100094

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用卡爾曼濾波方法進行氫鐘鐘差預報的方法與結果

程夢飛,李博,齊昕

北京衛星導航中心，北京，100094

鐘差預報是實現時間同步的重要基礎，本文以原子鐘時間模型為理論基礎，研究主動型氫原子鐘與協調世界時UTC(k)的鐘差預報方案。線性最小二乘模型與卡爾曼濾波模型均可進行氫鐘參數估計和鐘差預報。線性最小二乘模型只能估計鐘的確定性參數，不能及時適應氫鐘信號的變化；卡爾曼濾波模型不僅可以濾除測量噪聲等部分噪聲，減小頻差和頻漂波動，提高信號的短期穩定度，及時適應氫鐘信號的變化，準確預報時差值、頻差值和頻率漂移值，而且有助于提高時間溯源精度和穩定度。

原子鐘時間模型；鐘差預報；線性最小二乘模型；卡爾曼濾波模型

1　引　言

原子鐘是時間頻率系統的基礎，主動型氫原子鐘因其優良的短、中長期穩定度和高的相位噪聲指標在衛星導航等領域應用廣泛。以原子鐘時間模型為理論基礎，將氫鐘輸出信號視為時標A，通過調整其頻率向協調世界時UTC(k)進行時間同步，鐘差數據預報結果對溯源精度有著重要的影響。

溯源過程中可以采用線性最小二乘擬合模型進行鐘差結果預報，該鐘差數學模型中只包含鐘差的確定性部分，無法量化隨機性部分(噪聲部分)對鐘差的影響。然而在高精度溯源中，誤差項對于鐘差數據預報結果有顯著影響，需要改進鐘差預報模型，在模型中加入對原子鐘時間模型隨機性部分的計算。卡爾曼濾波模型根據時差值、頻率偏差、頻率漂移和誤差項進行系統狀態值估計，每得到一個新的測量值，就可以對系統狀態估計值更新一次，實現鐘差的實時預報。因此，采用卡爾曼濾波模型替代線性最小二乘擬合模型進行鐘差數據預報，有助于提高溯源精度。

2　原子鐘時間模型

原子鐘模型可以準確描述主動型原子鐘在運行過程中輸出信號與協調世界時UTC(k)信號時差的變化規律，體現了鐘速與鐘漂在運行過程中對時差的影響，為頻率調整量的計算提供了依據。原子鐘時間模型分為確定性部分和隨機性部分(噪聲部分)[1]。其表達式為：

(1)

氫原子鐘相對于基準鐘具有頻率偏差和較為明顯的一次頻率漂移，二次及以上頻率漂移很小，可以忽略不計。因此，用原子鐘二次時間模型描述氫原子鐘：

(2)

原子鐘二次時間模型的隨機性部分由測量噪聲和相位噪聲組成，如下式所示：

εx(t)=Δε1(t)+Δε2(t)

(3)

其中，Δε2(t)為測量白噪聲，均值為零，方差為測量精度的平方；Δε1(t)為相位噪聲，根據經典相位噪聲理論，相位噪聲Δε1(t)由五種獨立噪聲(相位白噪聲n2、相位閃爍噪聲n1、頻率白噪聲n0、頻率閃爍噪聲n-1和頻率隨機游走噪聲n-2)線性疊加構成：

Δε1(t)=n2+n1+n0+n-1+n-2

(4)

3　線性最小二乘擬合模型

(5)

(6)

采用線性最小二乘擬合模型進行鐘差結果預報，該鐘差數學模型中只包含鐘差的確定性部分，無法量化隨機性部分對鐘差的影響。在高精度溯源中，誤差項對于鐘差數據預報結果有顯著影響，需要在模型中加入對原子鐘時間模型隨機性部分的計算。

4　卡爾曼濾波模型

4.1基本原理

卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器)，能夠從一系列的不完全及包含噪聲的測量中，估計動態系統的狀態。卡爾曼濾波要建立狀態方程和觀測方程，其實現過程包括兩個階段：預測與校正。在預測階段，濾波器使用上一狀態的估計，做出對當前狀態的估計；在校正階段，濾波器利用測試得到的觀測值，對狀態估計值進行校正，獲得一個更精確的新估計值，是一個反饋過程。卡爾曼濾波的流程如圖1所示。

圖1　卡爾曼濾波流程圖

4.2數學模型

原子鐘有三個狀態變量分別為：時差x(t)、頻差y(t)、頻率漂移率D(t)，而鐘差為X(t)，原子鐘的基本模型[3,4]可以由下式給出：

(7)

離散化的原子鐘狀態變量矩陣為X(k)，包括時差、頻差、頻率漂移率，建立原子鐘的狀態方程為：

X[k+1]=Φ·X[k]+η[k]

(8)

其中，Φ為轉移矩陣，η[k]為驅動噪聲。設η[k]的協方差矩陣為Q，則

(9)

原子鐘的觀測方程為：

Z[k]=H·X[k]+V

(10)

根據原子鐘的時間模型，分析原子鐘的狀態變量、狀態方程、觀測方程，建立卡爾曼濾波遞推方程，進行原子鐘的鐘差預報[3,4]，公式如下：

(11)

最小預測均方誤差

(12)

(13)

狀態修正

(14)

Pk,k=(I-Kk×Hk)×Pk,k-1最小均方誤差

(15)

4.3噪聲系數的計算

由卡爾曼濾波模型的五個方程(式(11)～(15))可知，進行卡爾曼濾波的關鍵是得出矩陣Q和R里的參數。測量噪聲方差可以由測量精度計算得到，而驅動噪聲方差矩陣里的原子鐘的噪聲方差可以由Allan方差反演法得到。

計算原子鐘鐘差的Allan方差[1]：

(16)

其中，N是時差xi的個數；τ為平滑時間，平滑時間為測量時間的整數倍。

由原子鐘噪聲理論[3,4]，原子鐘五種噪聲對Allan方差的貢獻如下式所示：

(17)

(18)

(19)

(20)

5　鐘差預報

將上海天文臺生產的SOHM-4型氫原子鐘輸出的信號視為某時標信號(時標A)，選取另一時標為協調世界時UTC(k)(時標B)，調整時標A，將其向時標B同步，以2016年1月8日至1月19日的鐘差數據為例，估計原子鐘二次時間模型的參數并進行鐘差預報。

5.1線性最小二乘擬合模型

圖2　1月8日至1月17日時差圖

圖3　1月10日至1月19日時差圖

由圖2、圖3以及頻率調整控制量的對比可知：用最小二乘法擬合10天的鐘差數據進行鐘差預報，在1月18日前后的預報結果之差為ΔU=0.58×10-13，與實際的頻差變化量-1.4×10-13不一致。因此，選取一段時間的時差數據，利用最小二乘擬合法進行鐘差預報，如果氫鐘發生頻率變化，最小二乘擬合法將無法準確預報頻率調整控制量。

5.2卡爾曼濾波模型

圖4　卡爾曼濾波前后的時間偏差值

圖5　卡爾曼濾波前后的頻率偏差值

圖6　卡爾曼濾波前后的頻率漂移值

圖7　卡爾曼濾波前后的Allan方差曲線

選取2016年1月10日至1月19日共計10天的時差數據，其中1月18日氫鐘頻差變化了約-1.4×10-13，如圖8～11所示，藍色實線表示卡爾曼濾波前的時差值、頻差值、頻率漂移值和Allan方差，紅色虛線表示卡爾曼濾波后的時差值、頻差值、頻率漂移值和Allan方差。將預報頻差fE作為頻率調整控制量，U=-fE=4.80×10-13。

圖8　卡爾曼濾波前后的時間偏差值

圖9　卡爾曼濾波前后的頻率偏差值

圖10　卡爾曼濾波前后的頻率漂移值

圖11　卡爾曼濾波前后的Allan方差曲線

由圖4～7、圖8～11以及頻率調整控制量的對比可知:(1)卡爾曼濾波器可以濾除部分噪聲，濾波后的頻差和頻漂波動明顯減小，短期穩定度得到提高。(2)卡爾曼濾波的適應性很強，計算得到的鐘差、頻差、頻漂等參數能及時反映氫鐘的實際性能，如圖9所示，氫鐘頻差在1月18日變化了-1.4×10-13，卡爾曼濾波法在1月18日前后的預報結果之差為ΔU=1.31×10-13，與實際的頻差變化量基本一致。在實際應用中，用卡爾曼濾波擬合鐘差數據進行鐘差預報，如果氫鐘發生頻率變化，仍將準確預報頻率調整控制量。

6　結　論

以原子鐘信號模型為理論基礎，進行鐘差預報，再進行頻率調整控制，從而實現兩個時標之間的溯源。線性最小二乘擬合模型和卡爾曼濾波模型均可進行氫鐘參數估計和鐘差預報。線性最小二乘擬合模型只能估計鐘的確定性參數：初始頻差和一次頻率漂移，擬合結果反映的是整段擬合數據的特性，當頻差出現變化時，若不能及時剔除頻差變化前的數據，無法準確預報鐘差。卡爾曼濾波模型不僅可以及時適應氫鐘信號的變化，準確預報時差值、頻差值、頻率漂移值，還可以濾除測量噪聲等部分噪聲，減小頻差和頻漂的波動，提高信號的短期穩定度。卡爾曼濾波模型有助于提高時間溯源精度和穩定度。

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Hydrogen Clock Bias Prediction Method and Its Result Based on Kalman Filter Model

Cheng Mengfei, Li Bo, Qi Xin

Beijing Satellite Navigation Center, Beijing 100094, China

Clock bias prediction is the foundation for time synchronization. Based on the atomic clock time model, the clock bias prediction schemes of Hydrogen Clock SOHM-4 and UTC(k) are studied in this paper. Both linear least square model and Kalman filter model can estimate Hydrogen clock's parameters and predict clock bias. However, the former model can only estimate the definite parameters of clock, but not adjust to the change of clock signal in time. The latter one can filter some noises like measuring noise, reduce fluctuations of frequency difference and drift, and improve the short-term stability of clock signals. In addition, it can adjust to the change of clock signal in time, and accurately predict values of clock bias, frequency difference and frequency drift. It comes to the conclusion that Kalman filter model is helpful in improving the accuracy and stability of time tracing.

atomic clock time model; clock bias prediction; linear least square model; Kalman filter model

2016-01-25。

程夢飛(1987—)，女，碩士研究生，主要從事衛星導航系統時間頻率方面的研究。

P228

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